H-表示方法解Stein方程循環(huán)解

樊學玲，李 瑩，劉志紅，趙建立

(聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

本文將使用的符號如下，Rm×n表示所有m×n階實矩陣集合，C表示復數(shù)集合，Cn表示n維復列向量集合，Cm×n表示所有m×n階復矩陣集合，SCn表示n×n階復對稱循環(huán)矩陣集合，SC-n表示n×n階復反對稱反循環(huán)矩陣集合，?表示Kronecker積，In表示n階單位陣，BT表示矩陣B的轉置，M?表示M的M-P廣義逆。

X-AXB=C

(1)

的循環(huán)解。Stein方程不僅在控制論[4]，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析[5]中有重要的應用，其在應用數(shù)學[6，7]以及計算數(shù)學[8]方面也有重要應用，例如Stein方程在神經(jīng)網(wǎng)絡與圖像恢復[9]，微分方程數(shù)值求解[10]的過程中都發(fā)揮著重要的作用。

形如

的矩陣被稱為循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣屬于Toeplitz矩陣類，它們的某一行都可以由矩陣的任意行做一定的變換而得到。循環(huán)矩陣的這種獨特的矩陣結構，決定了其具有良好的性質，從而激發(fā)了學者們對循環(huán)矩陣的研究。許多學者發(fā)現(xiàn)循環(huán)矩陣不僅在現(xiàn)代科技以及工程領域上有著重要的應用，例如在毛[11]、王[12]、新[13]等人分別研究了循環(huán)矩陣在物理分子振動、數(shù)字圖像處理、數(shù)據(jù)結構計算等領域的廣泛運用。循環(huán)矩陣在應用數(shù)學和計算數(shù)學的矩陣分解、控制理論以及多目標決策[14]方面也有著廣泛的應用。本文解決的問題如下。

本文主要借助一種新的工具——矩陣的H-表示——來研究Stein方程(1)的對稱循環(huán)解以及反對稱反循環(huán)解。H-表示方法是將具有特殊結構的n維矩陣，通過H-表示方法將n2×1維向量映射為p×1維向量(p≤n2)，從而消除冗余，降低問題的復雜度[15]。H-表示在隨機系統(tǒng)中有廣泛應用，Zhang將H-表示分析方法推廣至SMJSs中[16]，通過H-表示分析法給出了時變連續(xù)和離散SMJSs的能觀性判據(jù)。本文主要借助H-表示方法，將對稱循環(huán)矩陣以及反對稱反循環(huán)矩陣轉化為具有獨立元素的向量，并結合矩陣的Kronecker積來求解矩陣方程(1)的特殊解。

本文內(nèi)容安排，第1部分預備知識；第2部分介紹矩陣的H-表示；第3部分首先給出對稱循環(huán)矩陣以及反對稱反循環(huán)矩陣的H-表示矩陣，然后利用H-表示方法來研究矩陣方程(1)的對稱循環(huán)解以及反對稱反循環(huán)解；第4部分首先給出與問題1、2相對應的數(shù)值算法，然后給出對應的數(shù)值算例，通過數(shù)值算例驗證了利用H-表示方法求解矩陣方程的精確性以及高效性；最后，第5部分對全文進行總結。

1 預備知識

矩陣的Kronecker積也稱為張量積，其定義如下。

定義1[17]設A=(aij)∈Cm×n，B=(bij)∈Cp×q，則

稱為A與B的Kronecker積，同時A?B也可以記作(aijB)，?i=1，…，m;j=1，…，n。

我們可以將矩陣按下面的方式排列為一個向量，設A=(aij)∈Cm×n，其列排式為

Vc(A)=(a11，…，am1，a12，…，am2，…，a1n，…，amn)T。

下面的性質是關于矩陣乘積的向量表達，它與矩陣的Kronecker積有關。

引理1[17](1) 設X∈Cn，Y∈Cn，則Vc(XYT)=Y?X。

(2) 設k∈C，X，Y∈Cm×n，則Vc(kX)=kVc(X)；Vc(X+Y)=Vc(X)+Vc(Y)。

(3) 設A∈Cm×p，B∈Cp×q，C∈Cq×n，則Vc(ABC)=(CT?A)Vc(B)。

引理2[18]設A∈Cm×n，b∈Cm，則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是AA?b=b，這時，Ax=b的通解是x=A?b+(I-A?A)y，其中y∈Cn是任意的。

2 矩陣的H-表示

本節(jié)將介紹H-表示方法，并將H-表示方法應用到對稱循環(huán)矩陣以及反對稱反循環(huán)矩陣中。

考慮復矩陣子空間X?Cn×n，對于任意的X=(xij)n×n∈X，總存在一個映射ψ:X∈XVc(X)。矩陣H-表示的定義如下。

定義2[15]在復數(shù)域C上，考慮p維復矩陣子空間X?Cn×n，假設e1，e2，…，ep為X的一組基，定義H=[Vc(e1)，Vc(e2)，…，Vc(ep)]。對于任意的X∈X，有

有ψ(X)=Vc(X)=[0，-x1，-x2，-x1，x1，0，-x1，-x2，x2，x1，0，-x1，x1，x2，x1，0]T，

3 關于Stein方程的循環(huán)解

本節(jié)將利用矩陣的H-表示方法來解決問題1、2。根據(jù)對稱循環(huán)矩陣以及反對稱反循環(huán)矩陣的特點，可以利用H-表示來提取其有效獨立元素，去除冗余，降低問題的復雜度。

首先對對稱循環(huán)矩陣X=SCn做H-表示如下，先為對稱循環(huán)矩陣子空間選取標準基底為

{e1，e2，e3，…，en}，

這里

那么，對于任意的Xn=(xij)n×n∈X，有

Hn=[Vc(e1)，Vc(e2)，Vc(e3)，……，Vc(en)]，

(2)

式中Hn∈Rn2×n。

對于問題1，有如下結論。

定理1 設A，B，C∈Cn×n，X-AXB=C有對稱循環(huán)解當且僅當

(MM?-In2)Vc(C)=0，

(3)

式中M=(In2-BT?A)Hn，Hn∈Rn2×n如(2)所示，如果(3)式成立，則所有對稱循環(huán)解的集合為

SC={X∈SCn|φ(X)=M?Vc(C)+(In-M?M)y，?y∈Cn}，

這里φ:Xn=(xij)n×n∈SCn并且其極小范數(shù)對稱循環(huán)解X1滿足

φ(X1)=M?Vc(C)。

(4)

證明設X為復矩陣X-AXB=C的對稱循環(huán)解，于是

利用引理2及M-P廣義逆的性質得

對于復矩陣方程Mφ(X)=Vc(C)，由引理2可以得到φ(X)的通解表達式為

φ(X)=M?Vc(C)+(In-M?M)y，?y∈Cn，

并且其極小范數(shù)對稱循環(huán)解X1滿足φ(X1)=M?Vc(C)。

下面對反對稱反循環(huán)矩陣X=SC-n做H-表示，當n為偶數(shù)時有n=2p，當n為奇數(shù)時有n=2p+1，則選取的標準基底為

{f1，f2，…，fp}，

式中當n為偶數(shù)時

當n為奇數(shù)時

fi=ηi+ηn-i(1≤i≤p)，

那么對于任意的X-n=(xij)n×n∈X，有

于是得到反對稱反循環(huán)矩陣的H-表示矩陣H-n為

H-n=[Vc(f1)，Vc(f2)，…，Vc(fp)]，

(5)

式中H-n∈Rn2×p。

與問題1相類似，可以得到問題2的解，證明過程略。

定理2 設A，B，C∈Cn×n，X-AXB=C有反對稱反循環(huán)解當且僅當

(6)

這里χ:Xn=(xij)n×n∈SC-n并且其極小范數(shù)反對稱反循環(huán)解X2滿足

(7)

4 算法及數(shù)值算例

算法1(問題1) 設X-AXB=C滿足具有對稱循環(huán)解的條件，本算法用于計算極小范數(shù)對稱循環(huán)解。

(1) 輸入A，B，C∈Cn×n，輸出BT，Vc(C);

(2) 輸入Hn，輸出矩陣M;

(3) 根據(jù)(4)式，輸出問題1的極小范數(shù)對稱循環(huán)解X1的有效元素的排列結果，可以進一步得到矩陣方程X-AXB=C的對稱循環(huán)解X1。

算法2(問題2) 設X-AXB=C滿足具有反對稱反循環(huán)解的條件，本算法用于計算極小范數(shù)反對稱反循環(huán)解。

(1) 輸入A，B，C∈Cn×n，輸出BT，Vc(C);

(3) 根據(jù)(7)式，輸出問題2的極小范數(shù)反對稱反循環(huán)解X2的有效元素的排列結果，可以進一步得到矩陣方程X-AXB=C的反對稱反循環(huán)解X2。

算法3(普通解法) 設X-AXB=C滿足具有對稱循環(huán)解或反對稱反循環(huán)解的條件，本算法用于計算普通解法下的極小范數(shù)對稱循環(huán)解或極小范數(shù)反對稱反循環(huán)解。

(1) 輸入A，B，C∈Cn×n，輸出BT，Vc(C);

(2) 輸出矩陣M′=In2-BT?A;

(3) 根據(jù)γ(X′)=M′?Vc(C)式，輸出普通解法下的極小范數(shù)對稱循環(huán)解或極小范數(shù)反對稱反循環(huán)解X′的有效元素的排列結果，可以進一步得到矩陣方程X-AXB=C的對稱循環(huán)解或反對稱反循環(huán)解X′。

注將矩陣方程轉化為Ax=b形式后，不再使用H-表示方法提取獨立元素，而是直接利用經(jīng)典矩陣理論進行求解的方法在本文中稱為普通解法。

圖1 對稱循環(huán)解誤差對比 圖2 反對稱反循環(huán)解誤差對比

表1 對稱循環(huán)解時間對比

表2 反對稱反循環(huán)解時間對比

由圖中數(shù)據(jù)可以看出，利用算法1和2所得到的不同規(guī)模的矩陣方程的解的誤差的數(shù)量級均小于-11，相比于普通解法降低了誤差，并且通過時間的對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著方程規(guī)模的增大，H-表示方法相對于普通解法在所耗費時間上的優(yōu)勢越來越明顯，充分說明了H-表示方法的有效性及優(yōu)越性。

5 結論

本文介紹了基于H-表示求解復矩陣方程X-AXB=C的循環(huán)解的新方法。利用矩陣的向量表達式以及H-表示，可以將復矩陣方程X-AXB=C轉化為具有獨立變量的Ax=b的形式，進而給出Ax=b的對稱循環(huán)解以及反對稱反循環(huán)解的通解表達式。利用數(shù)值例子驗證了這種方法的有效性以及優(yōu)越性。該方法還可以應用于其它多種代數(shù)結構上線性系統(tǒng)的特型解的計算。