準(zhǔn)靜態(tài)工況下斜齒輪裂紋擴(kuò)展特性與壽命研究

屈 陽， 劉明勇， 鄧恩喜， 胡成龍

(湖北工業(yè)大學(xué)農(nóng)機(jī)工程研究設(shè)計(jì)院， 湖北 武漢 430068)

齒輪輪齒折斷在失效形式中所占比例最高[1]。受齒輪加工制造工藝、工作環(huán)境以及保養(yǎng)維護(hù)等因素影響，齒輪工作一段時(shí)間后輪齒會產(chǎn)生裂紋，而裂紋會隨著齒輪的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間推移而逐步擴(kuò)展，最終輪齒發(fā)生斷齒。

Zouari[2]等以齒根最大彎曲應(yīng)力作為載荷，研究了齒根裂紋萌生和擴(kuò)展。李有堂[3]通過改變裂紋初始角度，分析了裂紋的擴(kuò)展規(guī)律。王曦等[4]建立含初始裂紋的齒輪動態(tài)耦合模型，模擬變載荷下齒根裂紋的擴(kuò)展軌跡。吳金亮[5]通過斜齒輪接觸節(jié)點(diǎn)施加固定載荷，討論了齒根裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子以及裂紋擴(kuò)展壽命。王延忠[6]研究了面齒輪三維裂紋的擴(kuò)展特性以及疲勞壽命，分析了載荷、粗糙度等因素對裂紋壽命的影響。徐德濤等[7]基于有限元方法研究了直齒輪齒根初始裂紋尺寸、方向以及位置對裂紋擴(kuò)展路徑的影響。趙國平等[8]以齒輪材料內(nèi)部微觀晶體的大小作為表面初始裂紋萌生的尺寸，分析了齒輪接觸區(qū)疲勞裂紋萌生及擴(kuò)展過程全壽命。李剛[9]應(yīng)用線彈性斷裂力學(xué)理論，研究斜齒輪靜態(tài)工況下載荷大小等因素對齒根裂紋擴(kuò)展軌跡及壽命的影響。高云[10]應(yīng)用齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定裂紋萌生位置，模擬了斜齒輪齒根裂紋擴(kuò)展特性，并預(yù)測了裂紋擴(kuò)展壽命。劉東一[11]研究了萌生于靠近輪齒端面齒根處的裂紋擴(kuò)展機(jī)理。劉懷舉等[12]通過Python腳本建立齒面裂紋擴(kuò)展有限元模型，研究了初始裂紋角度對裂紋擴(kuò)展壽命和疲勞壽命的影響。大多數(shù)學(xué)者側(cè)重于研究齒輪二維裂紋，少數(shù)學(xué)者更關(guān)注研究斜齒輪齒根三維裂紋，但基本采用齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定裂紋萌生位置和初始裂紋角度，以齒頂加載以及靜態(tài)工況的方式模擬齒輪實(shí)際工況下裂紋的擴(kuò)展。

本文通過準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒輪接觸分析，確定裂紋萌生位置以及初始裂紋角度，建立含初始裂紋的斜齒輪接觸模型，模擬準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒輪嚙合過程中齒根三維裂紋的擴(kuò)展軌跡，分析了裂紋擴(kuò)展特性，預(yù)測裂紋擴(kuò)展壽命，并研究載荷，裂紋形狀等因素對齒根初始裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子分布的影響。

1 含初始裂紋的斜齒輪接觸模型建立

1.1 斜齒輪接觸分析

應(yīng)用如表1所示的幾何參數(shù)建立斜齒輪三維模型。 為了減小計(jì)算量，截取大小齒輪的6個(gè)齒進(jìn)行接觸分析；網(wǎng)格單元選用6面體C38R進(jìn)行網(wǎng)格劃分,對輪齒接觸面以及齒根位置做網(wǎng)格加密處理。現(xiàn)對從動輪中心5個(gè)自由度約束，釋放僅在施加z軸旋轉(zhuǎn)的自由度，施加轉(zhuǎn)速0.5 r/s;對主動輪中心同樣約束5個(gè)自由度，僅在主動輪中心點(diǎn)施加沿z軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩1000 N·m，建立斜齒輪接觸彈性模型，不考慮齒面摩擦和溫升等因素(圖1)。

表1 斜齒輪幾何模型基本參數(shù)

圖1 斜齒輪約束及載荷施加方式

1.2 裂紋萌生位置的確定

以主動輪2齒為研究對象。由圖2可知，最大主應(yīng)力值集中分布在齒根中間部分，將主動輪沿x-y平面由齒寬中部切開(圖3a)，提取嚙合過程中齒根中間部分9個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖3b展示了最大主應(yīng)力隨時(shí)間變化的曲線。結(jié)果表明：最大主應(yīng)力值的位置出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)66430，故將此節(jié)點(diǎn)作為齒根裂紋萌生的起始位置。

圖2 主動輪齒根應(yīng)力分布云圖

圖3 齒根應(yīng)力-時(shí)間變化曲線

建立含初始半橢圓裂紋的主動輪接觸模型(圖4)。其中：齒根初始裂紋b、a分別代表裂紋深度(短軸半徑)和長軸半徑；第1、2和3點(diǎn)分別代表了半橢圓裂紋前緣的左、中、右3個(gè)端點(diǎn)[15]。

圖5中：AB表示初始裂紋，A為節(jié)點(diǎn)66 430。提取節(jié)點(diǎn)最大主應(yīng)力方向，基于最大周向應(yīng)力理論[1]可知：節(jié)點(diǎn)最大應(yīng)力的角度即為初始裂紋角度θ=63.7°。

圖4 主動輪模型 圖 5 初始裂紋參數(shù)表達(dá)

齒輪嚙合過程中，由于輪齒間的接觸壓力大于微觀晶粒內(nèi)部發(fā)生塑性變形的極限應(yīng)力，周而復(fù)始的晶粒塑性變形將最終導(dǎo)致疲勞裂紋的萌生，可將晶粒的大小近似視為初始裂紋尺寸[8]；故設(shè)置初始裂紋a=0.4 mm，b=0.2 mm，初始裂紋角度為63.7°，建立含初始裂紋的斜齒輪接觸模型，其他參數(shù)均不改變。

2 裂紋擴(kuò)展軌跡以及擴(kuò)展壽命分析

2.1 裂紋擴(kuò)展軌跡

以初始裂紋a=0.4 mm，b=0.2 mm作為研究對象，主動輪中心施加扭矩1000 N·m，從動輪中心施加轉(zhuǎn)速0.5 r/s；將最大周向正應(yīng)力理論作為裂紋開裂判斷依據(jù)[1]，模擬準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒根裂紋擴(kuò)展軌跡并進(jìn)行分析；裂紋擴(kuò)展總共經(jīng)歷了30步，其擴(kuò)展軌跡如圖6所示。

圖6 齒根裂紋擴(kuò)展軌跡

由圖6可得，從初始裂紋擴(kuò)展到第15步階段，裂紋在齒根表面始終沿著齒寬方向水平擴(kuò)展；當(dāng)裂紋擴(kuò)展到第20步時(shí)，可明顯觀察到沿齒寬方向裂紋擴(kuò)展軌跡發(fā)生了改變，出現(xiàn)沿齒頂方向的擴(kuò)展趨勢。由于裂紋擴(kuò)展過程中KⅡ(Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子)、KⅢ(Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子)的值發(fā)生改變，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展方向發(fā)生了變化；第20步后裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，直至裂紋擴(kuò)展結(jié)束。由第30步擴(kuò)展軌跡可知：此時(shí)沿齒寬方向擴(kuò)展的裂紋長度要大于沿齒厚方向擴(kuò)展的裂紋長度，即裂紋擴(kuò)展過程中齒寬方向的擴(kuò)展速率大于齒厚方向，故KⅠ曲線表現(xiàn)為中間小兩端大的分布規(guī)律。

圖7a展示了齒根裂紋擴(kuò)展軌跡的仿真結(jié)果，圖7b[13]為北京建筑大學(xué)祝赫鍇模擬齒輪嚙合過程中齒根裂紋擴(kuò)展軌跡的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[14]。當(dāng)裂紋沿齒寬方向擴(kuò)展結(jié)束后，沿著齒厚方向朝著另一側(cè)齒根方向繼續(xù)擴(kuò)展，最終將發(fā)生斷齒行為；裂紋擴(kuò)展軌跡的仿真結(jié)果與北京建筑大學(xué)祝赫鍇的齒輪試驗(yàn)件疲勞試件裂紋路徑相近[14]，驗(yàn)證了上述仿真結(jié)果的正確性。

圖7 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

2.2 裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測

圖8展示了齒根裂紋擴(kuò)展過程中KⅠmax(應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值)的變化趨勢。在裂紋擴(kuò)展過程中，隨著擴(kuò)展步數(shù)不斷增加，KⅠmax值也隨之增加，呈現(xiàn)先慢后快的增加趨勢；當(dāng)擴(kuò)展步數(shù)達(dá)到25步之后，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值超過應(yīng)力強(qiáng)度因子極限值KIC=2730 N·mm-3/2后，裂紋隨即達(dá)到失穩(wěn)擴(kuò)展階段。此時(shí)，由式(2)可得，失穩(wěn)擴(kuò)展階段裂紋的擴(kuò)展長度為18.14 mm。

圖8 Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值變化曲線

齒輪材料為42CrMo，材料常數(shù)C=1.20×10-8，m=2.0，不考慮表面粗糙度、殘余應(yīng)力和輪齒修形量等因素對裂紋擴(kuò)展壽命的影響。通常疲勞裂紋的擴(kuò)展由裂紋萌生、裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展和裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展這3個(gè)階段組成。當(dāng)裂紋處于失穩(wěn)擴(kuò)展階段時(shí)，齒輪即將產(chǎn)生輪齒斷裂行為[13]。

通?；诮?jīng)典的Paris公式來計(jì)算齒根裂紋的擴(kuò)展壽命：

(1)

式中:a為裂紋長度；C，m為材料常數(shù)；ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力幅度，ΔK=Kmax-Kmin;N為載荷循環(huán)次數(shù)。

圖9為式(2)計(jì)算的裂紋擴(kuò)展壽命變化曲線?？梢姡涸邶X根裂紋初始擴(kuò)展階段，裂紋擴(kuò)展速率較低；當(dāng)沿齒寬方向的裂紋擴(kuò)展達(dá)到2.4 mm左右，裂紋擴(kuò)展速率逐漸加快，與理論裂紋擴(kuò)展速率曲線[12]相符合。通過計(jì)算可知，當(dāng)裂紋擴(kuò)展達(dá)到18.14 mm，此時(shí)KⅠmax值已經(jīng)超過斷裂韌性極限值KIC，隨即進(jìn)入裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段，齒輪將發(fā)生斷齒。由于失穩(wěn)階段的擴(kuò)展速率很高，時(shí)間極短，所以此階段的壽命可忽略不計(jì)，故只計(jì)算穩(wěn)定擴(kuò)展階段的壽命，即預(yù)測齒根裂紋擴(kuò)展的循環(huán)壽命約為2.6×106次。

圖9 裂紋擴(kuò)展壽命曲線

圖10a的橫坐標(biāo)軸采用歸一化裂紋前緣長度描述裂紋因子所在的位置，即半橢圓裂紋前緣節(jié)點(diǎn)到起始點(diǎn)的弧長與整個(gè)弧長的比值[15]。圖10a為初始裂紋、第15步以及第25步裂紋的KⅠ變化曲線，圖10b為裂紋擴(kuò)展過程中裂紋前緣3點(diǎn)的KⅠ值。

(a)裂紋前緣KⅠ分布曲線

(b)第1、2和3點(diǎn)圖10 裂紋擴(kuò)展過程KⅠ應(yīng)力強(qiáng)度因子變化曲線

如圖10b所示，裂紋擴(kuò)展過程中，初始裂紋、第15步以及第25步的裂紋第1、3點(diǎn)KⅠ值均高于第2點(diǎn)值，故圖10a中KⅠ值曲線表現(xiàn)中間小兩端大的分布規(guī)律。綜上所述，裂紋擴(kuò)展過程中裂紋前緣兩端KⅠ值遠(yuǎn)大于中點(diǎn)值，故沿齒寬方向的擴(kuò)展速率大于沿齒厚方向的擴(kuò)展速率，因此KⅠ曲線呈現(xiàn)中間小兩端大的變化趨勢。

3 齒根裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

觀察裂紋擴(kuò)展軌跡可知：齒根裂紋擴(kuò)展過程中主要是以張開型為主導(dǎo)的復(fù)合型裂紋，故本文只針對Ⅰ裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化進(jìn)行研究。

為了方便計(jì)算，將計(jì)算KⅠ(Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子)的公式[1簡化為

(2)

式中：σ為外加的名義應(yīng)力，MPa；a為裂紋尺寸，mm。

3.1 載荷大小

為了研究載荷大小對初始裂紋Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，從動輪轉(zhuǎn)速始終保持不變，主動輪中心施加不同轉(zhuǎn)矩(即800、1000、1200、1500 N ·m)，其變化曲線如圖11所示。

圖11 不同載荷下初始裂紋前緣KⅠ分布曲線

由圖11a可知：載荷與KⅠ之間呈現(xiàn)近似正比的線性關(guān)系，即隨著載荷的增大，KⅠ值隨之增加；隨著扭矩的不斷加大，KⅠ拋物線形式的曲線由平緩變得越來越陡峭。如圖11b所示：第1、2和3點(diǎn)的KⅠ值隨載荷的增加而增加，當(dāng)扭矩小于1500 N ·m時(shí)，第3點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子略大于第1點(diǎn)，說明第3點(diǎn)的擴(kuò)展速率大于第1點(diǎn)；當(dāng)扭矩高于1500 N ·m，第1點(diǎn)的擴(kuò)展速率大于第3點(diǎn)的擴(kuò)展速率。第1和3點(diǎn)的KⅠ值趨于相同，遠(yuǎn)大于第2點(diǎn)的KⅠ值，故不同載荷的KⅠ曲線仍保持兩端大中間小的分布規(guī)律。

3.2 初始裂紋角度

齒根裂紋初始角度為90°時(shí)，KⅠ值最大[3]，而文獻(xiàn)[5]、[7]分別研究了齒根裂紋初始角度為45°、60°裂紋的擴(kuò)展特性。為了研究齒根初始裂紋不同擴(kuò)展方向?qū)Β裥蛻?yīng)力強(qiáng)度因子的影響，主動輪施加扭矩1000 N·m，分別選取初始裂紋角度為45°、60°、90°進(jìn)行分析，其變化曲線如圖12所示。

圖12 不同初始裂紋角度下KⅠ的變化曲線

由圖12可得:初始裂紋角度為90°(即沿水平方向擴(kuò)展)時(shí)，KⅠ值最大；隨著初始裂紋角度增大，KⅠ值隨之增加，此變化規(guī)律與文獻(xiàn)[3]相同；初始裂紋角度的變化不會影響裂紋沿齒寬方向以及齒厚方向的擴(kuò)展速率，應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線仍保持兩端小中間大的分布規(guī)律。

當(dāng)初始裂紋角度為60°和63.7°時(shí)，兩者的KⅠ變化曲線基本重合，說明以齒根最大主應(yīng)力提取的裂紋萌生位置，與齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定的初始裂紋萌生位置趨于相同，驗(yàn)證了初始裂紋角度為63.7°的正確性。

3.3 裂紋形狀

主動輪扭矩保持1000 N·m不變，保持初始裂紋a=0.4 mm固定不變，分別取b=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6 mm，研究不同形狀的半橢圓裂紋對初始裂紋前緣KⅠ的變化規(guī)律(圖13)。

(a)裂紋前緣

(b)第1、2和3點(diǎn)圖13 不同長軸半徑b時(shí)初始裂紋前緣KⅠ分布曲線

由圖13b可得:同一載荷下，隨著長半軸b的增大，裂紋的第1、3點(diǎn)的值緩慢減小，而第2點(diǎn)的值卻持續(xù)變大，說明裂紋長半軸b與裂紋前緣尖端的KⅠ值成正比關(guān)系，而與裂紋兩端的KⅠ值成反比關(guān)系。當(dāng)長半軸b為0.6 mm時(shí)，第2點(diǎn)的KⅠ值略大于第1和3點(diǎn)的值，因此圖13a的曲線趨勢發(fā)生了變化，由兩端大中間小的分布規(guī)律變化為兩端小中間大的分布規(guī)律，即裂紋沿齒厚方向的擴(kuò)展速率大于沿齒寬方向的擴(kuò)展速率。

4 結(jié)論

1)通過齒輪接觸分析提取齒根最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)位置，確定了裂紋萌生位置以及初始裂紋角度。

2)研究初始齒根裂紋的擴(kuò)展軌跡可知：初始裂紋沿齒寬方向擴(kuò)展到一定長度時(shí)，擴(kuò)展方向發(fā)生改變，即沿著齒頂方向繼續(xù)擴(kuò)展，直到裂紋達(dá)到失穩(wěn)擴(kuò)展階段；由此可預(yù)測齒輪材料為42CrMo，工況為1000 N·m下，裂紋擴(kuò)展的循壞壽命約為2.6×106次。

3)觀察裂紋擴(kuò)展軌跡可知：齒根裂紋從其擴(kuò)展過程看主要是以張開型為主導(dǎo)的復(fù)合型裂紋；KⅠ曲線表現(xiàn)為兩端大中間小的變化規(guī)律，說明沿齒寬方向的裂紋擴(kuò)展速率大于沿齒厚方向的速率。

4)載荷與KⅠ值呈現(xiàn)近似正比的線性的關(guān)系，即載荷越大KⅠ值越大；KⅠ值隨著裂紋初始角度的增加而增加，但不會影響裂紋擴(kuò)展速率的變化規(guī)律；當(dāng)裂紋深度a固定，裂紋寬度b與裂紋前緣尖端的KⅠ值成正比關(guān)系，與裂紋兩端的KⅠ值成反比關(guān)系，即裂紋前緣尖端KⅠ值隨著的b增加而增加，裂紋兩端的KⅠ值隨著的b增加而減小，因此裂紋尖端擴(kuò)展速率發(fā)生變化，故KⅠ曲線逐漸呈中間大兩端小的變化趨勢。