二次函數(shù)、二次方程和二次不等式

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有關二次函數(shù)的內(nèi)容與近現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展聯(lián)系緊密，是我們進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎.從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同時也研究了它的許多重要的結論，并付諸應用. 高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關.

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學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖象特征.從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理；從圖象特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合.

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■ 已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=fx-■是偶函數(shù).

（1）求f（x）的解析式.

（2）已知t<2，g（x）=[f（x）-x2-13]·x，求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最大值和最小值.

（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

破解思路 （1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的基本方法，可設一般式、頂點式、兩根式，若是結合圖象處理可簡化解題過程.

（2）確定函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域，可直接利用它的圖象Sscpy/QWy1E2PkfmFjvrzg==和性質求解；也可利用單調(diào)性的定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域.

經(jīng)典答案 （1）因函數(shù)y=fx-■是偶函數(shù)，對稱軸方程為x=-■，故b=1. 又因為二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11. 因此， f（x）的解析式為f（x）=x2+x+11.

（2）g（x）=（x-2）·x，當x≤0時，g（x）=-（x-1）2+1；當x>0時，g（x）=（x-1）2-1，由此可知g（x）max=0. 當1≤t<2時，g（x）min=t2-2t；當1-■≤t<1時，g（x）min=-1；當t<1-■時，g（x）min= -t2+2t.

（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設為P（m，n2），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，那么m2+m+11=n2，從而4n2-（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43.

注意到43是質數(shù)，且2n+（2m+1）>2n-（2m+1），2n+（2m+1）>0.

所以可得2n+（2m+1）=43，2n-（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此可得，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，且它的坐標為（10，121）.

■ 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），設方程f（x）=x的兩個實數(shù)根為x1和x2.

（1）如果x1<2-1；

（2）如果x1<2，x2-x1=2，求b的取值范圍.

破解思路 在求解二次方程根的分布問題時，要靈活運用判別式、邊界函數(shù)值、對稱軸等來轉化運算過程. 本題條件x1<2

經(jīng)典答案 設g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，則g（x）=0的兩根為x1和x2.

（1）由a>0及x1<20，即4a+2b-1<0，16a+4b-3>0，即3+3·■-■<0，-4-2·■+■<0，兩不等式相加得■<1，所以x0>-1.

（2）由（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=■■-■，得2a+1=■. 又x1x2=■>0，故x1，x2同號. 故x1<2，x2-x1=2等價于00，2a+1=■或g（-2）<0，g（0）>0，2a+1=■，解之得b<■或b>■.

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？搖1. 集合A={（x，y）y=x2+mx+2}，B={（x，y）x-y+1=0，且0≤x≤2}，若A∩B≠■，則實數(shù)m的取值范圍是_______.

2. 已知關于x的方程x2-2tx+t2-1=0的兩個實根屬于區(qū)間（-2，4），則實數(shù)t的取值范圍是_______.