參考答案（6）

1 抽樣方法

1. 760 2. 900 3. 20

2 統(tǒng)計圖表

1. 由樣本的頻率分布直方圖知數(shù)據(jù)落在[6，10）內(nèi)的頻率為0.08×（10-6）=0.32，所以可以估計樣本數(shù)據(jù)落在[6，10）內(nèi)的頻數(shù)為0.32×200=64. 同理可估計樣本數(shù)據(jù)落在[10，14）內(nèi)的頻數(shù)為200×0.09×4=72，樣本數(shù)據(jù)落在[14，22）內(nèi)的頻數(shù)為200×（0.03×4+0.03×4）=48，可以排除B，C. 數(shù)據(jù)落在[2，10）內(nèi)的概率約0.02×4+0.08×4=0.40，A正確. 數(shù)據(jù)落在[10，18）內(nèi)的概率約為0.09×4+0.03×4=0.48，D不正確. 所以選A.

2. （1）畫出莖葉圖如圖1所示：①甲地樹苗高度的平均數(shù)為28 cm，乙地樹苗高度的平均數(shù)為35 cm，所以甲地樹苗高度的平均數(shù)小于乙地樹苗高度的平均數(shù)；②甲地樹苗高度的中位數(shù)為27 cm，乙地樹苗高度的中位數(shù)為35.5 cm，所以甲地樹苗高度的中位數(shù)小于乙地樹苗高度的中位數(shù).

■

圖1

（2）在5株樹苗中，記甲苗圃這株苗為a，乙苗圃中4株苗分別為b，c，d，e，則任取兩株共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10種情形.不含a的有6種bc，bd，be，cd，ce，de，所以小王沒有選擇到甲苗圃樹苗的概率為■=■.

3 排列組合、二項式定理

9lB+DUJ9R2eRbJs9Bd0k2yLrSkJme9O3wsLyJUq9xLY=1. 先安排三位老師站好，有A■■種排法；然后，再將三位學(xué)生分別安排到已安排好的三位老師形成的4個空當(dāng)，有A■■種排法. 故根據(jù)分步計數(shù)原理，得不同的排法共有A■■·A■■=144種，故選B.

2. 利用特殊元素法是解本題的關(guān)鍵，考慮到特殊元素“0”，將“0”分別置于個、十、百、千、萬位考慮，得5×C■■C■■C■■C■■C■■=5×12=60個. 故選C.

3. Tr+1=C■■（2x）■-■■=（-a）r·2■C■■x■，由6-3r=0得r=2，即T3為展開式的常數(shù)項，所以（-a）2·24C■■=15，解得a=±■.

4 古典概型

1. 甲、乙、丙三名同學(xué)按任意次序站成一排，不同的排法共有A■■=6種. 而甲站在兩端的排法有（C■■A■■）A■■=4種，所以所求概率為P=■=■.

2. 將A，B，C，D，E五種不同的文件隨機(jī)地放入編號依次為1，2，3， 4，5，6，7的七個抽屜內(nèi)，共有A■■種不同的放法. 而文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C，D被放在不相鄰的抽屜內(nèi)可用排除法. 文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且不考慮文件C，D是否被放在相鄰的抽屜內(nèi)，有A■■·A■■種不同的放法；文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C，D也被放在相鄰的抽屜內(nèi)，有A■■·A■■·A■■種放法，故所求的概率為P=■=■. 選B.

5 幾何概型

1. 由圓C：x2+y2+4y=0知圓的半徑為2，所以△CAB的周長為AC+CB+AB=2+2+AB=4+AB，且B是圓C上的動點，所以求△CAB的周長小于6的概率即求弦AB的長小于2的概率，進(jìn)而求∠ACB≤■的概率. 故所求的概率為■=■.

2. 試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積為2π，由定積分的幾何意義得陰影部分的面積為■sinxdx=-cosx■■= -cosπ+cos0=2，所以所求概率為P=■=■.

3. D

6 互斥事件、獨立事件的概率

1. 要么甲隊奪得，要么乙隊奪得，即■+■=■.

2. 設(shè)乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是x，y，依題意得：■xy=■，■（1-x）（1-y）=■， 即x=■，y=■或x=■，y=■（舍去）. 所以乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是■，■.

3. 記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件A，“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件B，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件C.于是甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為P=P（A·B·■）+P（A·■·C）+P（■·B·C）+P（A·B·C）=■×■×■+■×■×■+■×■×■+■×■×■=■.

7 分布列、期望、方差

1. （1）這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率為P=1-■=■.

（2）由題意知X=0，1，2，由已知得P（X=0）=■=■，P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，隨機(jī)變量X的分布列為：

■

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0×■+1×■+2×■=■.

2. （1）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為■，有一道題答對的概率為■，還有一道題答對的概率為■，所以得40分的概率為P=■×■×■×■=■.

（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故所求概率為P（ξ=20）=■×■×■×■=■；同樣可求得得分為25分的概率為P（ξ=25）=C■■×■×■×■×■+■×■×■×■+■×■×■×■=■；得分為30分的概率為P（ξ=30）=■；得分為35分的概率為P（ξ=35）=■；得分為40分的概率為P（ξ=40）=■. 于是ξ的分布列為：

■

故Eξ=20×■+25×■+30×■+35×■+40×■=■，該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為■.

3. （1）該同學(xué)這次水平測試中物理、化學(xué)、生物成績是否為A的可能結(jié)果有8種，分別為（W1，W2，W3），（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■），（■，■，W3），（■，W2，■），（W1，■，■），（■，■，■）.？搖

（2）由（1）可知，有兩個A的情況為（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■）三種，從而其概率為P=■.

（3）該同學(xué)參加這次水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少有一個A的事件概率大于85%，理由如下：該同學(xué)參加這次水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少有一個A的事件有如下七種情況：（W1，W2，W3），（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■）（■，■，W3），（■，W2，■），（W1，■，■），概率是P=■=0.875>85%.

8 統(tǒng)計案例

（1）高一在這次知識競賽的合格率為0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=80%.

（2）完成列聯(lián)表如下：

■

所以χ2=■≈9.5>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“這次知識競賽的成績與年級有關(guān)系”.

綜合測試

1. B

2. D

3. 由題易知P=■=■，故答案為C.

4. 由二項式展開得，x3的系數(shù)為C■■+C■■+…+C■■，由組合數(shù)性質(zhì)可知x3的系數(shù)為C■■；也可以由等比數(shù)列的性質(zhì)對左邊求和，得■=■，從而易知x3的系數(shù)為C■■，故選B.

5. 由題知向量集合M中共有20個元素，向量集合V中有40個元素，分別在M，V中各任取一個向量的取法為800種. 由V中向量特點知，只需要求出數(shù)量積為0的數(shù)目，從總數(shù)中減去數(shù)量積為0的數(shù)目后再除以2，即可得到數(shù)量積小于0的種數(shù). 而分別在向量集合M，V中各任取一個向量數(shù)量積為0的數(shù)目是48個，所以分別在向量集合M，V中各任取一個向量數(shù)量積<0的數(shù)目為■=376，所求概率為P=■=■，故選A.

6. 先讓數(shù)字1，3，5，7作全排列，有A44=24種；再排數(shù)字6，由于數(shù)字6不與3相鄰，在排好的排列中，除3的左、右2個空隙，還有3個空隙可排數(shù)字6，故數(shù)字6有3種排法；最后排數(shù)字2，4，在剩下的4個空隙中排2，4，有A24種排法，共有A44×3×A24=864種.

7. 由a，b，c成等差數(shù)列得2b=a+c，又a+b+c=1，Eξ=-1×a+1×c=c-a=■，聯(lián)立得a=■，？搖b=■，？搖c=■，所以Dξ=-1-■■×■+■■×■+■■×■=■，故答案為■.

8. 易見A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，所以P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3），則有P（B）=■×■+■×■+■×■=■，即事件B的概率是確定的，答案為②④.

9. （1）記抽到的卡片標(biāo)號為（x，y），所有的情況分別為：

共9種. 由表格可知OP的最大值為■.設(shè)事件A為“OP取到最大值”，則滿足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）兩種情況，所以P（A）=■.？搖

（2）設(shè)事件B為“P點在第一象限”，若0≤x≤3，0≤y≤3，則其所表示的區(qū)域面積為3×3=9，由題意可得事件B滿足0≤x≤3，0≤y≤3，x-2>0，x-y>0，即如圖1所示的陰影部分. 其區(qū)域面積為■×3×3-■×2×2=■，所以P（B）=■=■.？搖

■

圖1

10. （1）由試驗結(jié)果知，使用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為P■=■=0.3，使用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為P■=■=0.42.

（2）由y=-2，t<94，2，94≤t<102，4，t≥102，得隨機(jī)變量利潤X的取值為-2，2，4.用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，94），[94，102），[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，因此P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，所以X的分布列為：

■

所以X的數(shù)學(xué)期望EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

11. （1）設(shè)“甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院”為事件A，那么P（A）=■×■=■. 所以甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率為■.

（2）設(shè)“甲、乙兩人選擇同一個社區(qū)醫(yī)院”為事件B，那么P（B）=3×■×■=■，所以甲、乙兩人不選擇同一個社區(qū)醫(yī)院的概率是P（■）=1-P（B）=■.

（3）隨機(jī)變量ξ可能取的值為0，1，2，3，4.那么P（ξ=0）=C■■×■■=■；P（ξ=1）=C■■×■×■■=■；P（ξ=2）=C■■×■■×■■=■；P（ξ=3）=C■■×■■×■=■；P（ξ=4）=C■■×■■=■. 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

■

Eξ=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■=■.

12. （1）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為P=■.

（2）①

注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖

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圖2

注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖

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圖3

由圖可以看出，注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù).

②得到如下2×2列聯(lián)表：

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由表可得χ2=■≈24.56；由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”. ■