一類分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性*

黎逸云,謝景力

(吉首大學數學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

分數階微積分因非常適合用來刻畫具有記憶和遺傳性質材料的過程,成為描述各類復雜力學與物理行為的數學模型[1-10].最近,不少學者在研究分數階微分方程時取得了許多有趣的成果[4-10].例如,張海燕等[6]研究了一類Hadamard分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性;Tariboon等[7]研究了一類Caputo和Hadamard型分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性.受這些文獻的啟發(fā),筆者擬研究如下一類Caputo和Hilfer-Hadamard型分數階微分方程非局部邊值問題解的存在唯一性：

(1)

2 預備知識

設C[J,R]是包含了從J到R上所有的連續(xù)函數的Banach空間,空間上函數x的范數定義為

‖x‖C=max{|x(t)|:t∈[a,b]}.

連續(xù)函數x在區(qū)間[a,b]上的加權空間定義為

其范數為

定義1[1]定義函數x:[a,+∞)→R的q階Riemann-Liouville型分數階積分為

其中Γ(·)是伽瑪函數.

其中[q]表示實數q的整數部分.

定義3[1]對于至少n次可微函數x:[a,+∞)→R,定義q階Caputo型分數階導數為

引理1[1]令q>0,x∈C[J,R],則分數階微分方程CDqx(t)=0的通解為

x(t)=c0+c1(t-a)+…+cn-1(t-a)n-1,

其中ci∈R,i=0,1,2,…,n-1(n=[q]+1).

引理2[1]假設x∈C[J,R],則對于?q>0階分數階微分,有

RLIq(CDqx)(t)=x(t)+c0+c1(t-a)+…+cn-1(t-a)n-1,

其中ci∈R,i=0,1,2,…,n-1(n=[q]+1).

定義4[1]定義函數x:[a,+∞)→R的q階Hadamard型分數階積分為

其中l(wèi)og(·)=loge(·).

引理4[1]假設q,p>0，0

引理5[2](Banach壓縮映射原理) 設E是Banach空間,D?E是閉集,T:D→D是一個壓縮映射,即對于?x,y∈D,有‖Tx-Ty‖≤k‖x-y‖(0

引理6[3](Krasnoselskii's不動點定理) 設D是Banach空間X中的一個非空有界凸子集.如果映射P,Q:D→X滿足:

(ⅰ)對于?x,y∈D,都有Px+Qy∈D;

(ⅱ)P是全連續(xù)的;

(ⅲ)Q是壓縮映射.

那么存在z∈D,使得z=Pz+Qz.

3 主要結果及其證明

(2)

的解，當且僅當x(t)滿足分數階積分方程

(3)

證明由引理2和引理3可知,問題(2)的等價積分方程為

(4)

由引理3和引理4(ⅰ)可得，

將c0,c1代入(4)式,即得(3)式.證畢.

定義算子T:C1-γ,log[J,R]→C1-γ,log[J,R]為

假設下列條件成立:

(H1)存在函數φ∈C1-γ,log[J,R],使得對于?t∈J,x1,x2∈C1-γ,log[J,R],有

|f(t,x1)-f(t,x2)|≤φ(t)‖x1-x2‖C1-γ,log.

(H2)存在函數ψ∈C1-γ,log[J,R],使得對于?t∈J,x∈C1-γ,log[J,R],有

|f(t,x)|≤ψ(t)(1+‖x‖C1-γ,log).

為了敘述方便,令

證明定義φ*=sup{|φ(t)|:t∈J},并設x1,x2∈C1-γ,log[J,R].對于?t∈J,有

對于0<α<1,有(s-a)α≤(b-a)α,于是

定理3假設條件(H1)和(H2)成立,則問題(1)至少存在1個解.

首先,定義Br上的算子P,Q為

其次,將證明分為以下幾個步驟：

(ⅰ)證明(Px1+Qx2)(t)∈Br.當t∈J時,對于?x1,x2∈Br,有

Mψ(1+r)+ω≤r,

(ⅱ)證明算子Q在Br內為壓縮映射.當t∈J時,對于?x1,x2∈Br,有

(ⅲ)證明算子P在Br上是連續(xù)的.設xn,x∈C1-γ,log[J,R],n=1,2,…,且‖xn→x‖C1-γ,log→0(n→+∞).即對于?t∈J,有xn(t)→x(t)(n→+∞).由于f是連續(xù)函數,因此

|f(s,xn(t))-f(s,x(t))|→0n→+∞.

根據Lebesgue控制收斂定理可知‖Pxn-Px‖C1-γ,log→0(n→+∞),故P在Br上連續(xù).

(ⅳ)證明算子P在Br上是緊的.先證明算子P在Br上一致有界.當t∈J時,對于?x∈Br,有

Lψ(1+r)+ω≤r,

即PBr?Br，故算子P在Br上一致有界.

再證明算子P在Br上等度連續(xù).對于?x∈Br,a≤t1

當t1→t2時,有

因此P在Br上等度連續(xù).

4 應用舉例

例1證明下列Caputo和Hilfer-Hadamard型分數階微分方程非局部邊值問題存在唯一解：

(5)

例2證明下列Caputo和Hilfer-Hadamard型分數階微分方程非局部邊值問題存在解：

(6)