前峰型降雨入滲過程雙層地基基質(zhì)吸力解析解*

徐瑞麟，秦衛(wèi)星,,3，何 勇，胡惠仁，陽 樂，王 聰，熊軒宇

(1.長沙理工大學(xué)國際工學(xué)院，湖南 長沙 410114;2.長沙理工大學(xué)水利與環(huán)境工程學(xué)院，湖南 長沙 410114；3.水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410114;4.長沙理工大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410114)

雨水入滲會增加地基中上部土體含水量，減小地基土體基質(zhì)吸力，降低地基承載性能，給工程安全造成不利影響[1-4].因此，快速準(zhǔn)確預(yù)測降雨入滲作用下地基基質(zhì)吸力演化特性，對雨季地基承載性能評價和地基防災(zāi)減災(zāi)具有重大現(xiàn)實意義.因簡單、直觀、高效等優(yōu)點，解析法一直是國內(nèi)外研究雨水入滲作用下非飽和土基質(zhì)吸力演化的主要手段.

Srivastava等[5]率先基于Richards一維非飽和滲流控制方程，引入Gardner土-水特征曲線模型，利用拉普拉斯變換，求得了等雨強入滲作用下均質(zhì)和雙層地基的瞬態(tài)滲流解析解.吳禮舟等[6]推導(dǎo)了滲流變形耦合作用下均質(zhì)土層和雙層土基質(zhì)吸力解析解，分析了均勻型降雨入滲過程地基基質(zhì)吸力的演化特性.李寧等[7]利用傅里葉變換分別推導(dǎo)了恒定雨強小于和大于土體飽和滲透系數(shù)時無限長斜坡的基質(zhì)吸力解析解，并給出了兩種情況下斜坡基質(zhì)吸力解析解的統(tǒng)一表達(dá)式.Zhan等[8]基于二維非飽和滲流控制方程，采用描述土體土水特征和滲透系數(shù)的指數(shù)模型，獲得了降雨入滲條件下無限長邊坡的基質(zhì)吸力解析解，并將其用于研究降雨入滲對非飽和土斜坡穩(wěn)定性的影響.邱清文等[9]基于非飽和滲流控制方程，采用單位梯度邊界作為土質(zhì)覆蓋層的底部邊界條件，推導(dǎo)了可考慮任意初始條件的基質(zhì)吸力解析解.此外，眾多學(xué)者基于Richards瞬態(tài)非飽和滲流方程，先后得到了前峰型、中峰型、后峰型降雨過程均質(zhì)地基基質(zhì)吸力瞬態(tài)解析解[10-12].由此可見，目前非飽和土體降雨入滲解析解研究已取得較豐碩成果，但多假定雨水以恒定均勻雨強入滲，僅有少部分針對均勻土的研究考慮了非均勻雨強入滲的影響，非均勻型降雨作用下雙層地基基質(zhì)吸力解析解尚未見報道.

為此，本研究以雙層非飽和地基為研究對象，以前峰型降雨為例開展了非均勻型降雨入滲過程雙層地基基質(zhì)吸力瞬態(tài)解析解研究.首先，筆者建立了前峰型降雨入滲作用下雙層地基水分運移概化模型，引入Gardner土-水特征函數(shù)[13]，化簡Richards非飽和滲流控制方程，利用拉普拉斯變換推導(dǎo)了前峰型降雨入滲過程雙層地基基質(zhì)吸力瞬態(tài)解析解.其次，筆者通過算例分析，對比了有限單元法模擬與解析解的結(jié)果，證明了解析解是正確的，該解析解可為研究非均勻型降雨入滲作用下地基基質(zhì)吸力演化特性提供便捷手段.

1 前峰型降雨入滲作用下雙層地基水分運移模型

1.1 雙層地基雨水入滲概化模型

(1)

基于上述假定，繪制雙層非飽和地基降雨入滲概化模型(圖1).

圖1 雙層地基降雨入滲概化模型Fig. 1 Schematic Model of Rainfall Infiltration into Two-Layered Foundation

1.2 控制方程

建立圖1所示雙層地基遭遇前峰型降雨鉛直入滲的Richards非飽和滲流控制方程：

(2)

其中：K′為非飽和土體滲透系數(shù)，cm/h；ψ為降雨歷時t′后z′處的基質(zhì)吸力，cm；θ為體積含水量，cm3/cm3.

為解決非飽和土基質(zhì)吸力與非飽和滲透系數(shù)高度非線性關(guān)系給式(2)解析解推導(dǎo)造成的困難，參照文獻(xiàn)[4-5]引入式(3)、(4)所示Gardner土-水特征函數(shù)來描述含水量、非飽和滲透系數(shù)、基質(zhì)吸力三者之間的關(guān)系.

K′=Kseαψ，

(3)

θ=θr+(θs-θr)eαψ.

(4)

其中：Ks為飽和滲透系數(shù)，cm/h；α為去飽和系數(shù)，cm-1；θr為殘余體積含水量，cm3/cm3；θs為飽和體積含水量，cm3/cm3；其他參數(shù)意義與前文一致.

將式(3)、(4)代入式(2)，可得

(5)

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

(6e)

(6f)

結(jié)合式(5)與式(6a)～(6f)，兩層地基的滲流控制方程可簡化為：

(7a)

(7b)

1.3 初始條件

K1(z,0)=qA1-(qA1-eα1ψ0)e-(L1+z)=K10(z)，

(8a)

(8b)

1.4 邊界條件

根據(jù)基本假定2，可知雙層地基下邊界條件為恒定孔隙水壓力，

[K1]z=-L1=eα1ψ0,

(9)

根據(jù)基本假定3，可知雙層地基上邊界條件為流量邊界，

(10)

在降雨入滲任意時刻，上、下層接觸面流量、基質(zhì)吸力相等，

(11)

(12)

2 控制方程求解

利用拉普拉斯正、逆變換，結(jié)合初始條件和邊界條件對非飽和滲流控制方程(7a)，(7b)進(jìn)行求解.

2.1 拉普拉斯正變換

(13a)

(13b)

同理，式(9)～(12)所示邊界條件可變換為

(14)

(15)

(16)

(17)

為方便解析解推導(dǎo)，采用文獻(xiàn)[5-6]類似的做法，假定兩層土體去飽和系數(shù)α1=α2，聯(lián)立式(14)～(17)，可得偏微分方程組(13a)、(13b)的解析解為

(18a)

(18b)

其中：

上式中：

Ds1=s{-[sinh (pL1)+2pcosh (pL1)]·[sinh (qL2)+2pcosh (qL2)]+

Ds2=s2{-[sinh (pL1)+2pcosh (pL1)]·[sinh (qL2)+2pcosh (qL2)]+

2.2 拉普拉斯逆變換

運用留數(shù)定理對式(18a)、(18b)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，得到前峰型雨水入滲過程雙層地基滲透系數(shù)表達(dá)式：

(19a)

(19b)

其中：X1、X2、XA1、XA2、XB1、XB2、XC1、XC2、Y1、Y2、YA1、YA2、YB1、YB2、YC1、YC2均為z和t的函數(shù).

X1=-0.5sinh [0.5(L1+z)]·{[sinh (0.5L1)+cosh (0.5L1)]·

[sinh (0.5L2)+cosh (0.5L2)]}-1，

(20a)

(20b)

(21a)

(21b)

其中

Dn表述式中：

λn的特征方程為

[sin (λL1)+2λcos(λL1)][sin (μL2)+2μcos(μL2)]-

(22)

當(dāng)β>1時，

(23a)

(23b)

其中

Dn表述式中：

λn的特征方程為

(24)

當(dāng)β<1時，

(25a)

(25b)

其中

Dn表述式中：

λn的特征方程為

(26)

(27a)

(27b)

其中：

As1=0.5tsinh (0.5(L1+z))+βsinh (0.5(L1+z))+0.5(L1+z)cosh (0.5(L1+z))；

Ds=-[sinh (0.5L1)+cosh (0.5L1)]·[sinh (0.5L2)+cosh (0.5L2)];

Ds1=-(L1+βL2)sinh (0.5L1)sinh (0.5L2)-(2β+L1+βL2)sinh (0.5L1)cosh (0.5L2)-(2+

L1+βL2)cosh (0.5L1)sinh (0.5L2)-[2(β+1)+L1+βL2]cosh (0.5L1)cosh (0.5L2)；

(28a)

(28b)

λn的特征方程為

(29)

當(dāng)β>1時，

(30a)

(30b)

λn的特征方程為

(31)

當(dāng)β<1時，

(32a)

(32b)

λn的特征方程為

(33)

通過式(20a)、(20b)獲得前峰型雨水入滲過程雙層地基滲透系數(shù)瞬態(tài)解后，就可根據(jù)式(3)、 (6c)、(6e)得到上、下層地基沿深度分布的基質(zhì)吸力瞬態(tài)解析解：

(34a)

(34b)

3 解析解考證

以某雙層非飽和地基為研究對象，地下水位距離地表5 m，上、下兩層地基土體厚度均為2.5 m.地基土體物理力學(xué)參數(shù)如下：下層地基土體飽和滲透系數(shù)Ks1為1 cm/h，上層地基飽和滲透系數(shù)Ks2為10 cm/h，兩層土體去飽和系數(shù)α相同，為0.01cm-1，飽和含水量θs相同，為0.4 cm3/cm3，殘余含水量θr相同，為0.06 cm3/cm3.該地基前期未遭遇降雨，前期雨強qa取為0 cm/h.后期遭遇歷時12 h，總降雨量為60 mm的暴雨，雨型為前峰型，起始雨強q0為0.8 cm/h，雨強變化系數(shù)a為-0.05 cm/h2.取長5 m、高5 m范圍內(nèi)的地基，建立如圖2所示的有限元數(shù)值模型.

圖2 降雨入滲下地基基質(zhì)吸力計算的有限元模型Fig. 2 Finite Element Model for Calculating the Matrix Suction of Foundation for Rainfall Infiltration

利用Geo-Studio軟件的滲流有限元計算模塊SEEP/W和前峰型條件下基質(zhì)吸力解析解表達(dá)式計算雨水入滲過程地基沿深度方向的基質(zhì)吸力,其分布演化規(guī)律如圖3所示.

圖3 前峰型降雨入滲過程地基基質(zhì)吸力演化Fig. 3 Evolution of Matrix Suction of Two-Layered Foundation for Advanced-Peak Rainfall Infiltration

從圖3可以看出，雨水入滲后成層地基基質(zhì)吸力沿深度分布呈現(xiàn)顯著分層非線性特征：(1)靠近地基表面附近的土體基質(zhì)吸力隨雨水入滲先迅速減小，在降雨4.2 h后地基表面基質(zhì)吸力達(dá)到最小值-289 cm，隨后逐漸升高，明顯不同于恒定均勻雨強入滲過程地基基質(zhì)吸力一直減小的特點[5]；(2)上層地基土體基質(zhì)吸力隨著降雨歷時增加而不斷減小，呈現(xiàn)先快后慢特點；(3)下層地基基質(zhì)吸力減小速度明顯滯后于上層地基，基質(zhì)吸力分布的深度隨降雨歷時推移而不斷增加.同時，可以看出數(shù)值模擬結(jié)果和解析解的大小和變化規(guī)律幾乎一致，表明推求的前峰型降雨入滲作用下雙層地基基質(zhì)吸力解析解是正確的.

4 結(jié)論

基于Richards瞬態(tài)非飽和滲流方程，筆者引入Gardner土-水特征函數(shù)，建立了前峰型降雨入滲作用下雙層非飽和地基水分運移模型，利用拉普拉斯變換推導(dǎo)了前峰型降雨過程雙層地基基質(zhì)吸力瞬態(tài)解析解，并用有限元模擬結(jié)果證明了其正確性.算例結(jié)果表明，降雨開始后靠近地基表面附近的土體基質(zhì)吸力隨雨水入滲先迅速減小，在降雨4.2 h后地基表面基質(zhì)吸力達(dá)到最小值-289 cm，隨后逐漸升高；上層地基土體基質(zhì)吸力隨著降雨歷時增加而不斷減小，呈現(xiàn)先快后慢特點；下層地基基質(zhì)吸力減小速度明顯滯后于上層地基，基質(zhì)吸力分布的深度隨降雨歷時推移而不斷增加.本研究獲得的解析解為快速預(yù)測非均勻型降雨入滲作用下雙層地基基質(zhì)吸力演化特性提供了便捷手段，可為雨季地基承載性能評價和防災(zāi)減災(zāi)提供技術(shù)支持.