提高初中生利用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題能力的教學(xué)研究

廣西北流市沙垌鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 岑平海

在初中數(shù)學(xué)中，“一元二次方程”是一個(gè)非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，特別是用它來(lái)解決實(shí)際生活當(dāng)中的問(wèn)題，非常有效，而且只要熟練掌握，可以為我們的生活帶來(lái)極大的方便。然而，“一元二次方程”對(duì)初中學(xué)生而言又是一個(gè)比較難學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此老師需要通過(guò)故事引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、舉一反三提高學(xué)生應(yīng)變能力、挖掘現(xiàn)實(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用這三個(gè)步驟，來(lái)培養(yǎng)和提高初中生運(yùn)用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

本文以人教版九年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)課本為參考，分析如何提高初中生利用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

一、故事引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

愛(ài)聽(tīng)故事是每個(gè)人的天性，對(duì)初三的學(xué)生而言，隨著他們學(xué)習(xí)壓力進(jìn)一步增大，像數(shù)學(xué)中“一元二次方程”這樣比較難學(xué)且枯燥的內(nèi)容，他們的學(xué)習(xí)興趣往往會(huì)受到壓制，因此我們可以通過(guò)形式各樣的數(shù)學(xué)故事，來(lái)引起他們對(duì)“一元二次方程”的關(guān)注，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。故事教學(xué)法有利于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)趣味的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，從而提高學(xué)生自主探索、創(chuàng)造、思考的能力。

如在講解“一元二次方程”時(shí)，我們可以為學(xué)生講解關(guān)于“一元二次方程”由來(lái)的故事：方程這個(gè)名詞最早見(jiàn)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，它成書(shū)于東漢末年，書(shū)中記錄了246個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的計(jì)算解決方法?！毒耪滤阈g(shù)》一共分為九章，“方程”是其中的一部分，對(duì)于“方程”的解釋，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽作了經(jīng)典注釋：“程，課程也。二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”這里所說(shuō)的“如物數(shù)程之”意思是指“有幾個(gè)未知數(shù)，就需要列出幾個(gè)等式”。對(duì)于一次方程組而言，因?yàn)樗總€(gè)未知數(shù)的系數(shù)如果用“算籌”（一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子）來(lái)表示，就如同方陣，因此被稱作是“方程”。

在《九章算術(shù)》勾股章中的第20題，有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)二十步有木，出南門(mén)十回步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木。問(wèn)邑方幾何?！庇媒裉斓脑捳f(shuō)，大意是：如圖1，DEFG是一座正方形小城，北門(mén)H位于DG的中點(diǎn)，南門(mén)K位于EF的中點(diǎn)，出北門(mén)20步到A處有一樹(shù)木，出南門(mén)14步到C，再向西行1775步到B處，正好看到A處的樹(shù)木（即點(diǎn)D在直線AB上），小城的邊長(zhǎng)為 步。

圖1

提示：因?yàn)椤鰽HD、△ACB它們都是直角三角形，所以它們是相似三角形，這里我們可以用到初中八年級(jí)所學(xué)到的知識(shí)“相似三角形比例關(guān)系公式”，即如果兩個(gè)三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的三邊分別為A、B、C，另一個(gè)三角形的三邊為M、N、X，那么我們可以得到A:M=B:N=C:X。然后再結(jié)合我們學(xué)習(xí)到的一元二次方程的知識(shí)，這道題是不是很容易求解呢？

總結(jié)：這道題看起來(lái)很難，但是經(jīng)過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)，只要我們充分利用好“相似三角形比例關(guān)系公式”和“一元二次方程”的相關(guān)知識(shí)，這道題就會(huì)迎刃而解。通過(guò)這道題，既可以讓學(xué)生從故事中感受到我國(guó)古人的高度智慧和才華，感受到中華民族的偉大，也鍛煉了他們運(yùn)用“一元二次方程”知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

圖2

總之，通過(guò)關(guān)于“一元二次方程”故事的引入，可以讓學(xué)生知道“一元二次方程”的起源、發(fā)展、衍變過(guò)程，認(rèn)識(shí)到歷代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在對(duì)這個(gè)問(wèn)題上進(jìn)行了無(wú)數(shù)努力，付出了辛勤的汗水，激勵(lì)學(xué)生們樹(shù)立一種鍥而不舍的數(shù)學(xué)探究精神，并引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的濃厚興趣，提高他們對(duì)“一元二次方程”的應(yīng)用能力。

二、舉一反三，提高學(xué)生應(yīng)變能力

在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時(shí)，舉一反三、靈活變通是學(xué)生必備的一種數(shù)學(xué)思維和解題能力，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、鞏固他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有著十分重要的作用。那么，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，該怎樣培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題的“舉一反三”能力呢？這就要求老師善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類，讓他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，既能夠掌握基本的理論知識(shí)，做到“知其然”，又掌握到類似問(wèn)題的解題思路和方法，做到“知其所以然”，讓他們跳出原來(lái)的思維束縛，對(duì)同類問(wèn)題能夠舉一反三，提高解題效率和準(zhǔn)確度。

對(duì)于一元二次方程應(yīng)用題而言，主要有四個(gè)類別：增長(zhǎng)率問(wèn)題、行程問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、工程問(wèn)題，不同類別的題目都有相應(yīng)固定的解題思路和方法，但解題的步驟萬(wàn)變不離其宗，都有六個(gè)步驟：（1）仔細(xì)審題，明確題意；（2）找出已知量和未知量以及相等關(guān)系；（3）設(shè)未知數(shù)；（4）用所設(shè)未知數(shù)表示相關(guān)的量；（5）列等式；（6）解方程；（7）檢驗(yàn)所得的根是否符合題意和實(shí)際要求。

如這樣一個(gè)題目：某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，進(jìn)價(jià)30元，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(jià)X(元)滿足關(guān)系：P=100-2X，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？

分析：很明顯這是一個(gè)關(guān)于“一元二次方程”的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題求解，題目中已經(jīng)給出了一個(gè)等量關(guān)系：P=100-2X，因此我們可以圍繞這個(gè)關(guān)系來(lái)找到解決問(wèn)題的突破口。已知量：進(jìn)價(jià)30為元，每天的利潤(rùn)為200元，未知量：每件的售價(jià)，每天售出的件數(shù)。

提示：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單件商品利潤(rùn)×所售商品件數(shù)

解題思路和過(guò)程：我們可以設(shè)每件的售價(jià)為x元，那么每天的銷售量則為(100-2x)件，單件的利潤(rùn)為(x-30)，所以總的利潤(rùn)為(x-300)(100-2x)元，因此我們可以得到一元二次方程：(x-300)(100-2x)=200，經(jīng)過(guò)整理得到：x-350x-15000=0，解這個(gè)方程即可得到答案。需要注意的是100-2x≥0，x≥0，所以x的取值范圍是0≤x≤50。

當(dāng)老師引導(dǎo)學(xué)生把上述題目解決后，可以再出一道同類型的題目，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考進(jìn)行解答，從而培養(yǎng)他們舉一反三的數(shù)學(xué)解題能力。

如：某商店將進(jìn)價(jià)為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高商品售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，如果這種商品按每件的銷售價(jià)每提高0.5元其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將每件售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為640元？

分析：這也是一個(gè)關(guān)于“一元二次方程”的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，已知量：進(jìn)價(jià)8元，提高售價(jià)前的售價(jià)為10元，銷售件數(shù)為200件，總利潤(rùn)為640元，并且還知道每件的銷售價(jià)每提高0.5元其銷售量就減少10件，未知量：提高售價(jià)后每件商品的定價(jià)。

同樣的，關(guān)于“一元二次方程”的增長(zhǎng)率問(wèn)題、行程問(wèn)題、工程問(wèn)題，我們也可以通過(guò)同類題型的歸納總結(jié)，訓(xùn)練學(xué)生“舉一反三”用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、挖掘現(xiàn)實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用

培養(yǎng)和提高初中生利用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題的能力，實(shí)際上是鍛煉初中生對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)“學(xué)以致用”的能力。學(xué)以致用，對(duì)初中生而言是一個(gè)十分重要的學(xué)習(xí)應(yīng)用技能。初中生在生理上正處于青春發(fā)育期，這一時(shí)期他們的最大特點(diǎn)是：生理上蓬勃成長(zhǎng)、急驟變化，智力迅速發(fā)展，情緒和情感的內(nèi)容十分豐富，心理的穩(wěn)定性也在逐步提高。因此，培養(yǎng)和提高他們“學(xué)以致用”的能力，可以為他們今后的學(xué)習(xí)和生活，乃至人生發(fā)展奠定非常重要的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性的學(xué)科，和我們的日常生活息息相關(guān)，“學(xué)以致用”的需求性更強(qiáng)，因此老師在講解“一元二次方程”問(wèn)題時(shí)，要特別注意從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘有意思的數(shù)學(xué)問(wèn)題，和“一元二次方程”掛鉤，從而提高初中生利用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

如有這樣一個(gè)問(wèn)題：微信紅包是溝通人們之間感情的一種方式，已知小明在2016年“元旦節(jié)”收到微信紅包為300元，2018年為675元，若這兩年小明收到的微信紅包的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_______。

分析：很明顯這是一個(gè)關(guān)于“一元二次方程”增長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，同時(shí)和我們?nèi)粘Ｉ罹o密相關(guān)。已知量：2016年和2018年元旦收到的紅包錢(qián)數(shù)分別為300元、675元，并且題目已經(jīng)設(shè)出了未知數(shù)x(增長(zhǎng)率)，因此這個(gè)問(wèn)題很好解決。

提示：增長(zhǎng)率=增量/原總量*100%

解題思路和過(guò)程：增長(zhǎng)率為x，2016年元旦節(jié)的紅包為300元，那么2017年元旦節(jié)的紅包為300（1+x）元，2018年元旦節(jié)的紅包為300（1+x）元，因此我們可以列出等式：300（1+x）=675。

除了微信紅包問(wèn)題，新冠肺炎更是當(dāng)今社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)話題，我們可以將其和“一元二次方程”數(shù)學(xué)問(wèn)題緊密結(jié)合起來(lái)。如：有一個(gè)人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了____個(gè)人。

分析：這是一個(gè)關(guān)于“一元二次方程”的傳播問(wèn)題，已知量：兩輪傳染后新冠肺炎的感染人數(shù)，未知量：平均一個(gè)人傳染的人數(shù)。

提示：一元二次方程傳播問(wèn)題公式 為：a（1±χ）=b，a為 基 準(zhǔn) 量，也就是變化之前的量；b為變更量，即：變化之后的量；χ為增長(zhǎng)率（也可以為降低率，此時(shí)χ前面是負(fù)號(hào)）。

解題思路和過(guò)程：設(shè)平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，那么第一輪傳染后的總?cè)藬?shù)為（1+x）人，第二輪傳染后的總?cè)藬?shù)為（1+x）人，因此可以得到等式：（1+x）=169，解得x=12（取正值），因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12個(gè)人。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，利用“一元二次方程”解決實(shí)際問(wèn)題是初中生必須要掌握的重要技能之一，只要我們通過(guò)故事引導(dǎo)、舉一反三、緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)這幾種常用的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，就能夠提高初中生對(duì)于“一元二次方程”問(wèn)題的學(xué)習(xí)興趣，提高他們舉一反三、學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用思維和能力，為他們今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。希望通過(guò)我們?nèi)w數(shù)學(xué)老師的共同努力，繼續(xù)探索更多、更好、更加創(chuàng)新的利用“一元二次方程”解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)教學(xué)方案，從而提高初中數(shù)學(xué)的教學(xué)水平和質(zhì)量。