類鋰離子體系自旋四重態(tài)費(fèi)米接觸項(xiàng)的精密計(jì)算*

魏向杰 孫鄧 王黎明? 嚴(yán)宗朝

1) (河南師范大學(xué)物理學(xué)院,新鄉(xiāng) 453007)

2) (Department of Physics,University of New Brunswick,Fredericton E3B 5A3,Canada)

費(fèi)米接觸項(xiàng)與原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)有密切關(guān)系,往往對(duì)原子能級(jí)的超精細(xì)劈裂起主要貢獻(xiàn).波函數(shù)在原點(diǎn)處的行為以及電子之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)是影響費(fèi)米接觸項(xiàng)計(jì)算精度的兩個(gè)主要因素.對(duì)于一般的原子體系來(lái)說(shuō),費(fèi)米接觸項(xiàng)的高精度計(jì)算不是一件容易的工作.本文利用Hylleraas 坐標(biāo)下的Rayleigh-Ritz 變分法求解了 鋰原子 和類鋰離 子體系(Z=4—10)自旋四 重態(tài) 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 的薛 定諤方程,得到的非相對(duì)論變分能量收斂精度達(dá)到10—13.根據(jù)所得到的高精度變分波函數(shù),計(jì)算了這些體系的費(fèi)米接觸項(xiàng),并研究了原子核的有限質(zhì)量對(duì)結(jié)果的影響.費(fèi)米接觸項(xiàng)的精度達(dá)到了10—10.本文結(jié)果可以作為其他理論方法的參考基準(zhǔn),同時(shí)也為相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究提供了參考數(shù)據(jù).

1 引言

一直以來(lái),少電子原子分子體系(氫原子、氦原子、氫分子離子等)的精密光譜研究為檢驗(yàn)基本物理理論、測(cè)定基本物理常數(shù)(里德伯常數(shù)R∞、精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α等)、確定原子核的電荷分布半徑和磁矩分布半徑等提供了有效的方法[1-4].鋰原子以及類鋰的鈹離子(Be+)作為三電子原子體系,受到了理論和實(shí)驗(yàn)研究者的廣泛關(guān)注.鋰原子精密光譜的一個(gè)重要應(yīng)用是確定原子核的性質(zhì),如核電核分布半徑和磁矩分布半徑(Zemach 半徑)等.例如,Yan 和Drake[5]發(fā)展了鋰原子能級(jí)的精密計(jì)算理論和方法.根據(jù)他們的方法,鋰原子最低的三個(gè)能級(jí)(2S,3S 和2P)間的躍遷頻率的同位素移動(dòng)的高精度理論計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比被用于確定鋰原子核同位素的電荷分布半徑,特別是具有“暈核”結(jié)構(gòu)的11Li 的電荷分布半徑[4](這里的電荷分布半徑指的是相對(duì)于某個(gè)電荷半徑為已知的同位素的相對(duì)電荷分布半徑,目前的理論計(jì)算值的精度還不足以確定鋰原子核的絕對(duì)電荷分布半徑).對(duì)于鈹離子(Be+),也有類似的應(yīng)用[4].Puchalski 和Pachucki[6]則發(fā)展了鋰原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)的高精度計(jì)算理論和方法,根據(jù)他們計(jì)算的鋰原子基態(tài)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)劈裂理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較發(fā)現(xiàn),7Li 原子核的Zemach 半徑比6Li 的大40%,為原子核結(jié)構(gòu)的研究提出了一個(gè)重要的問(wèn)題.最近,基于鋰離子(Li+)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)的研究也得到了相似的結(jié)論[7].

超精細(xì)結(jié)構(gòu)是原子精密譜研究的一個(gè)重要內(nèi)容.對(duì)于原子體系的磁偶極超精細(xì)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō),其最主要的來(lái)源是費(fèi)米接觸相互作用.因此,要想得到高精度的超精細(xì)結(jié)構(gòu)劈裂,必須要把費(fèi)米接觸項(xiàng)計(jì)算到足夠高的精度[6,7].對(duì)于類氫原子體系,費(fèi)米接觸項(xiàng)(Fermi contact term,fc)可以由解析計(jì)算獲得;而對(duì)于含有兩個(gè)電子或更多電子的原子體系,fc只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到,其數(shù)值精度嚴(yán)重依賴波函數(shù)在原點(diǎn)處的質(zhì)量.除此之外,電子間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)也會(huì)對(duì)fc產(chǎn)生重要影響.通過(guò)使用全局化方法[8,9],可以降低fc對(duì)波函數(shù)在原點(diǎn)附近行為的依賴性;而通過(guò)使用Hylleraas 型變分波函數(shù),則可以充分照顧到電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)fc的影響[10].目前,利用全局化方法和Hylleraas 變分波函數(shù),鋰原子基態(tài)(1s22s2S)非相對(duì)論fc的理論計(jì)算值的精度已經(jīng)達(dá)到了10—8[6,11];對(duì)于鋰原子的其他幾個(gè)較低的自旋雙重態(tài),fc的值也可以達(dá)到很高的精度[11].對(duì)于鋰原子的自旋四重態(tài),Yan[12]用Hylleraas 變分波函數(shù)計(jì)算了 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S和1s2s5s4S這三個(gè)態(tài)的fc,精度高達(dá)10—8;King[13]也做了類似的計(jì)算(包括1s2s6s4S),但是與Yan 的結(jié)果相比,精度稍差.Zhuo 及其合作者[14,15]用組態(tài)相互作用方法計(jì)算了類鋰離子體系(Z=7—10)幾個(gè)較低的自旋四重P 態(tài)(1 snlnl′4Po和1s2pnp4P)的費(fèi)米接觸項(xiàng)以及其他超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).對(duì)于fc,他們的結(jié)果的精度在10—5(通過(guò)和本研究小組的結(jié)果對(duì)比而發(fā)現(xiàn)).本文對(duì)鋰原子及類鋰離子體系(Z=4—10)的1s2s3s4S,1 s2s4s4S和 1s2s2p4P的費(fèi)米接觸項(xiàng)做了計(jì)算,一方面彌補(bǔ)了在Z=4—6這個(gè)區(qū)域中相關(guān)數(shù)據(jù)的缺失;另一方面,對(duì)于文獻(xiàn)上已有的結(jié)果,在精度上有明顯的提高(1—3 個(gè)量級(jí)).除此之外,還研究了原子核的有限質(zhì)量對(duì)fc的影響.本文所有fc的精度都在10—10以上,可以作為其他計(jì)算方法的基準(zhǔn),同時(shí)也為相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究提供了有價(jià)值的參考數(shù)據(jù).

2 理論方法

2.1 非相對(duì)論哈密頓量

在質(zhì)心坐標(biāo)系中,三電子原子體系的非相對(duì)論哈密頓量為[16](本文使用原子單位,即?=e=me=1)

其中,M代表原子核的質(zhì)量,μ=meM/(me+M)代表電子的折合質(zhì)量.(1)式中能量的單位是 2RM,而RM=(1-μ/M)R∞.原子核的有限質(zhì)量對(duì)能量的影響通過(guò)能量單位 2RM(mormal mass shift)和(1)式中的最后一項(xiàng)(specific mass shift)體現(xiàn)出來(lái).

2.2 三電子體系Hylleraas 型變分波函數(shù)

本文使用瑞利-李茲變分法求解體系的薛定諤方程,選擇三電子體系的Hylleraas 型基函數(shù)構(gòu)造變分波函數(shù).Hylleraas 型基函數(shù)是目前求解兩電子和三電子原子體系薛定諤方程的精度最高的基函數(shù)[17].把體系的變分波函數(shù)做如下展開(kāi):

而

其中,A表示三電子體系的反對(duì)稱化算符,?i(r1,r2,r3)表示基函數(shù)的軌道部分:

而

表示三個(gè)角動(dòng)量函數(shù)耦合出的基函數(shù)的角向部分;χ(1,2,3)表示自旋函數(shù),對(duì)于自旋四重態(tài)(S=3/2,MS=3/2),有

使用(2)式的變分波函數(shù),根據(jù)瑞利-李茲變分法[17],可以得到廣義本征值方程:

其中H和O分別表示哈密頓矩陣和交疊矩陣.求解廣義本征值方程(7),即可得到體系的能量本征值和本征波函數(shù)的最佳近似值.為了提高變分能量的收斂率,參考Yan 的方法[12],根據(jù)以下條件把變分基底分為5 組:

每組基底的規(guī)模用下面的條件控制:

其中,jμ,jμν和Ωi均取非負(fù)整數(shù).

2.3 費(fèi)米接觸項(xiàng)與全局化方法

費(fèi)米接觸項(xiàng)的定義為

其中σz是泡利矩陣.從(10)式可知,fc的數(shù)值精度對(duì)體系波函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的取值有比較強(qiáng)的依賴關(guān)系,這在數(shù)值計(jì)算中是不利的.為了克服這一缺點(diǎn),Hiller 及其合作者以及Drachman 發(fā)展了“全局化方法”[8,9].本文采用Drachman 的全局化方法[9],其主要思想是用一個(gè)等價(jià)的表達(dá)式代替δ函數(shù)的期望值,即

其中

不難發(fā)現(xiàn),利用全局化方法計(jì)算得到的fc比直接利用定義(10)式計(jì)算在精度上可以提高1—2 個(gè)量級(jí).

3 結(jié)果與討論

使用2.2 節(jié)中描述的變分基底,首先用瑞利-李茲變分法求解鋰原子和類鋰離子體系(Z=4—10)的 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S 和 1 s2s2p4P 的薛定諤方程,得到了這些體系的變分能量和變分波函數(shù).把變分基底的規(guī)模從N=210 (N表示基函數(shù)的數(shù)目)逐步擴(kuò)大到N=27130,在每一組基底下,用牛頓法對(duì)5 組非線性參數(shù)進(jìn)行充分優(yōu)化,以得到盡可能低的變分能量.在N＜10000 的情況下,優(yōu)化參數(shù)能夠帶來(lái)比較明顯的效果,但是,隨著變分基底的進(jìn)一步增大,優(yōu)化參數(shù)帶來(lái)的能量降低很有限.這時(shí),主要靠增大基底的規(guī)模帶來(lái)能量的進(jìn)一步降低.

表1 列出了鋰原子 1 s2s3s4S 態(tài)的變分能量(原子核質(zhì)量取為無(wú)窮大)在不同基底下的值,從收斂序列可以確認(rèn)變分能量的收斂精度達(dá)到了10—13.對(duì)于其他兩個(gè)態(tài),變分能量也達(dá)到了相似的精度.表2列出了從鋰原子到Ne7+離子的 1 s2s3s4S,1s2s4s4S和 1 s2s2p4P 的變分能量,并與文獻(xiàn)上已有的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.相較于Yan[12]的結(jié)果,本研究組的結(jié)果在精度上提高了1—3 個(gè)量級(jí);相較于Barrois等[18]的結(jié)果,則提高了5—6 個(gè)量級(jí).精度提高的主要原因是使用了更多的變分基函數(shù).

表1 鋰原子 1 s2s3s 4S 態(tài)的非相對(duì)論變分能量的收斂情況,核質(zhì)量取為無(wú)窮大Table 1.Study of the convergence of nonrelativistic variational energies of the 1 s2s3s 4S state of lithium atom,suppose the mass of the nucleus is infinite.

表1 和表2 中的變分能量都是在原子核質(zhì)量取無(wú)窮大的假設(shè)下得到的,即在方程(1)中取μ/M=0.對(duì)于原子核質(zhì)量取有限值的情況,可以通過(guò)直接對(duì)角化方程(1)中的哈密頓量來(lái)得到體系的能量,也可以用微擾法來(lái)處理有限核質(zhì)量帶來(lái)的影響,即把方程(1)中的最后一項(xiàng)當(dāng)作微擾算符來(lái)處理.為了得到各種同位素的能量,使用計(jì)算公式

其中,EM表示核質(zhì)量為M的同位素的變分能量;ε0表示核質(zhì)量取無(wú)窮大時(shí)體系系的能量;ε1,ε2和ε3分別表示一階、二階和三階質(zhì)量極化系數(shù);λ=-μ/M.質(zhì)量極化系數(shù)可以通過(guò)微擾論計(jì)算得到.用微擾論計(jì)算了一階、二階和三階質(zhì)量極化系數(shù),數(shù)據(jù)列于表3.根據(jù)表2 和表3 中的數(shù)據(jù),只要知道了核質(zhì)量,就可以根據(jù)方程(13)計(jì)算出該同位素的非相對(duì)論能量.

表2 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態(tài)的非相對(duì)論能量,核質(zhì)量取為無(wú)窮大 (原子單位)Table 2.Nonrelativistic energies of the 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions,suppose the mass of the nucleus is infinite (in a.u.).

表3 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態(tài)的質(zhì)量極化系數(shù)(原子單位)Table 3.Mass polarization coefficients of the 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions (in a.u.).

根據(jù)變分法得到的高精度波函數(shù)以及方程(10)和方程(11),即可得到fc的數(shù)值.表4 列出了鋰原子的fc隨基底逐漸增大而收斂的情況.根據(jù)收斂序列,可以確定fc的收斂精度達(dá)到了10—10.表5 列出的是從鋰原子到Ne7+三個(gè)最低的自旋四重態(tài)的fc.這些結(jié)果的收斂精度普遍達(dá)到了10—10.與早期使用Hylleraas 變分波函數(shù)計(jì)算的鋰原子費(fèi)米接觸項(xiàng)[12,21]相比,本研究組的結(jié)果在精度上提高了2—5 個(gè)量級(jí).精度提高的原因有兩點(diǎn): 一是在變分波函數(shù)中包括了更多的基函數(shù);二是使用了Drachman 全局化方法[9],這種方法有利于加速結(jié)果的收斂.通過(guò)比較Zhuo等[14,15]使用組態(tài)相互作用方法計(jì)算的N4+,O5+,F6+和Ne7+的1 s2s2p4P 態(tài)的費(fèi)米接觸項(xiàng),發(fā)現(xiàn)他們的結(jié)果的精度在10—5左右.

表4 和表5 中的fc是在核質(zhì)量取無(wú)窮大的情況下得到的,與核的有限質(zhì)量對(duì)變分能量的影響類似,核的有限質(zhì)量對(duì)fc的影響也可以通過(guò)質(zhì)量極化系數(shù)表示為

表4 鋰原子 1 s2s3s 4S 態(tài)的費(fèi)米接觸項(xiàng)的收斂情況,核質(zhì)量取為無(wú)窮大Table 4.Study of the convergence of nonrelativistic variational energies of the 1 s2s3s 4S state of lithium atom,suppose the mass of the nucleus is infinite.

其中,表示無(wú)窮大核質(zhì)量情況下計(jì)算得到的費(fèi)米接觸項(xiàng),表示有限核質(zhì)量下的費(fèi)米接觸項(xiàng),表示費(fèi)米接觸項(xiàng)的一階質(zhì)量極化系數(shù).方程(14)精確到O(λ).計(jì)算得到的費(fèi)米接觸項(xiàng)的一階質(zhì)量極化系數(shù)列于表6.根據(jù)表5 和表6 所列的數(shù)據(jù)可以看出,原子核的有限質(zhì)量對(duì)fc的影響主要來(lái)自于即normal mass shift,質(zhì)量極化效應(yīng)的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)要小很多.

表5 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態(tài)的費(fèi)米接觸項(xiàng),核質(zhì)量取為無(wú)窮大Table 5.Fermi contact terms of 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions,suppose the mass of the nucleus is infinite.

表6 類鋰離子1s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和1s2s2p 4P態(tài)的費(fèi)米接觸項(xiàng)的一階質(zhì)量極化系數(shù)Table 6.First-order mass polarization coefficients of Fermi contact terms of 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1s2s2p 4P states of lithium-like ions.

4 結(jié)論

本文利用Hylleraas 坐標(biāo)下的瑞利-李茲變分法對(duì)鋰原子及類鋰離子(Z=4—10)的自旋四重態(tài) 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S 和 1 s2s2p4P 的非相對(duì)論薛定諤方程進(jìn)行了高精度求解,得到的變分能量的精度達(dá)到了10—13,并給出了變分能量的一階、二階和三階質(zhì)量極化系數(shù).與文獻(xiàn)上已有的結(jié)果相比,本文的結(jié)果在精度上提高了1—6 個(gè)數(shù)量級(jí).使用高精度的變分波函數(shù),計(jì)算了這些態(tài)的費(fèi)米接觸項(xiàng),fc的精度達(dá)到了10—10,是目前已有結(jié)果中最精確的.本文的結(jié)果可以作為其他計(jì)算方法參照的基準(zhǔn),也為以后要開(kāi)展的相對(duì)論修正和QED 修正計(jì)算工作打下了基礎(chǔ),同時(shí)也為相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究提供了有價(jià)值的參考數(shù)據(jù).