準(zhǔn)二維空間中的隱秘渦旋量子液滴*

陳逸熙 蔡曉妍 劉彬2)? 江迅達(dá)2) 黎永耀2)

1) (佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院物理與光電工程學(xué)院,佛山 528225)

2) (佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院,物理與光電工程學(xué)院粵港澳智能微納光電技術(shù)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,佛山 528225)

本文探究了弱囚禁條件下玻色-玻色混合凝聚體中的準(zhǔn)二維隱秘渦旋量子液滴及其動(dòng)力學(xué)特性.前期研究表明,在完全自由的三維空間中,隱秘渦旋量子液滴難以穩(wěn)定;在二維系統(tǒng)中,當(dāng)囚禁尺度是窄囚禁條件時(shí),系統(tǒng)僅支持拓?fù)浜?S1,2=±1 的隱秘渦旋量子液滴;因此當(dāng)橫向囚禁尺度較弱時(shí),準(zhǔn)二維空間中李-黃-楊修正項(xiàng)仍然采用三維空間中的表達(dá)式來描述,此時(shí)隱秘渦旋量子液滴能否保持穩(wěn)定是一個(gè)重要的科學(xué)問題.本文采用虛時(shí)間方法獲得了拓?fù)浜?S1,2 達(dá)到 ± 4 的隱秘渦旋量子液滴;進(jìn)一步論證了隱秘渦旋量子液滴的有效面積 Aeff 和化學(xué)勢(shì) μ 與總粒子數(shù) N 之間的依賴關(guān)系;并采用線性穩(wěn)定性分析結(jié)合實(shí)時(shí)傳輸方法獲得了總粒子數(shù)臨界值 Nth 分別與拓?fù)浜?S1 和非線性系數(shù) δg 之間的依賴關(guān)系.在動(dòng)力學(xué)部分,本文研究了由兩個(gè)不同拓?fù)浜傻碾[秘渦旋量子液滴構(gòu)造的復(fù)合渦旋模式,即嵌套渦旋量子液滴.結(jié)合量子液滴的密度分布具有“平頂型”的特點(diǎn),采用Thomas-Fermi 近似對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了有效驗(yàn)證.

1 引言

自玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensates,BEC)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)以來,其作為一個(gè)宏觀量子態(tài)得到了人們的廣泛研究,其中自局域態(tài)的穩(wěn)定性及動(dòng)力學(xué)問題是冷原子領(lǐng)域和非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)問題,例如物質(zhì)波孤子的研究[1-16].通常原子間的接觸相互作用表現(xiàn)為排斥相互作用,因此一旦失去外勢(shì)的囚禁,氣體就會(huì)膨脹而彌散在空間中,盡管可以通過Feshbach 共振技術(shù)將排斥相互作用調(diào)成吸引相互作用,但是在高維情況下,原子間的吸引相互作用會(huì)使BEC 展現(xiàn)出動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性,從而在很短的時(shí)間內(nèi)導(dǎo)致BEC 的坍塌.為實(shí)現(xiàn)高維自由空間中的穩(wěn)定自局域態(tài),最常用的方法是對(duì)三次非線性吸引作用進(jìn)行修正,如引入競(jìng)爭(zhēng)型非線性、飽和非線性或非局域非線性等[17-23];另一方面,通過引入自旋-軌道耦合[24-27]、諧振子勢(shì)[28]或晶格周期勢(shì)[29,30]等也有助于獲得穩(wěn)定的非線性自局域態(tài).

近年來,基于李-黃-楊(Lee-Huang-Yang,LHY)修正項(xiàng)所描述的量子液滴的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)突破了高維系統(tǒng)中僅有吸引相互作用時(shí)不能形成穩(wěn)定自局域態(tài)的限制[31,32].這里用于解釋量子液滴形成機(jī)制的LHY 修正項(xiàng)源于絕對(duì)零度附近的量子漲落效應(yīng),其提供了一個(gè)高階的排斥效應(yīng)去阻止因吸引相互作用引起的坍塌,是20 世紀(jì)50 年代由3 位著名的華人科學(xué)家李政道、黃克孫和楊振寧所建立[33].研究表明: 量子液滴的表現(xiàn)形式及動(dòng)力學(xué)演化模型可以采用平均場(chǎng)近似下的Gross-Pitaevskii (GP)方程中加入LHY 修正項(xiàng)來描述[34-49].隨后,量子液滴在極性原子氣體和非極性的玻色氣體中獲得廣泛關(guān)注,如玻色-費(fèi)米組成的異核原子系統(tǒng)中利用自旋軌道耦合形成的量子液滴被研究[50];偶極的Dy 凝聚體中,短程三體排斥力可以穩(wěn)定自束縛量子液滴[51];由Na 和Rb 混合的量子液滴在實(shí)驗(yàn)上被實(shí)現(xiàn)[52];彎月型超稀量子液滴[53]和半離散渦旋量子液滴被研究[54].結(jié)構(gòu)空間的引入也為量子液滴的研究帶來新思路,如一維和二維光晶格中量子液滴的動(dòng)力學(xué)及多穩(wěn)特性的研究[55-57].

特別地,在二維模型中,當(dāng)橫向囚禁尺度相當(dāng)窄時(shí)(遠(yuǎn)小于1 μm),二維渦旋量子液滴是穩(wěn)定的[58],當(dāng)撤掉這個(gè)囚禁條件,在完全自由的三維空間中,當(dāng)兩個(gè)分量具有相同拓?fù)浜蓵r(shí)可以形成穩(wěn)定的渦旋量子液滴.但是,當(dāng)兩個(gè)分量的拓?fù)浜蓴?shù)相反時(shí),即形成隱秘渦旋模式,Kartashov等[59]證明在該條件下隱秘渦旋模式是不能穩(wěn)定存在的.然而,在前期研究中發(fā)現(xiàn),當(dāng)橫向囚禁尺度是窄囚禁條件時(shí),即此時(shí)的LHY 修正項(xiàng)是對(duì)數(shù)函數(shù)形式,隱秘渦旋模式是可以穩(wěn)定存在的,但僅僅支持拓?fù)浜蒘1,2=±1的模式.因此,一個(gè)有趣的問題是當(dāng)橫向囚禁尺度變得寬松,即弱囚禁條件,隱秘渦旋模式能否穩(wěn)定存在? 若能,能否突破S1,2=±1 的限制.實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)的二維囚禁系統(tǒng),橫向囚禁尺度往往都大于1 μm,因此遠(yuǎn)大于量子液滴窄囚禁的尺度,在此條件下,LHY 修正項(xiàng)就不能再由對(duì)數(shù)函數(shù)來描述,而必須采用全三維空間中的LHY 修正項(xiàng)表達(dá)式.與對(duì)數(shù)函數(shù)不同的是,全三維空間的LHY修正項(xiàng)僅表現(xiàn)出排斥相互作用[60],因而其非線性動(dòng)力學(xué)與窄囚禁時(shí)的機(jī)制存在差別.本論文研究在弱囚禁條件下,當(dāng)LHY 修正項(xiàng)采用全三維空間中的表達(dá)式,系統(tǒng)能否支持隱秘渦旋模式的存在.

本工作證明在弱囚禁條件下,玻色-玻色混合凝聚體形成的量子液滴不僅可以支持隱秘渦旋模式的存在,而且突破了S1,2=±1 的限制.同時(shí),也確定了這些模式的穩(wěn)定閾值.最后,研究了由不同拓?fù)浜傻碾[秘渦旋量子液滴形成的嵌套渦旋模式的動(dòng)力學(xué)特性.

2 理論模型

基于以上的研究背景,結(jié)合參考文獻(xiàn)[61]中的補(bǔ)充材料,系統(tǒng)的GP 方程組可以表示成如下形式:

其中nj=|Ψj|2(j=1,2),Ψ1,2代表兩組分BECs 的波函數(shù),E=EMF+ELHY表示平均場(chǎng)的能量和LHY修正項(xiàng)的能量,具體可以表示為

將定態(tài)解和諧振子勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式代入方程組(3),并對(duì)方程組在z方向上進(jìn)行積分,可以得到降維后的準(zhǔn)二維GP 方程組,形式如下:

式中,S1,2分別代表兩分量的渦旋拓?fù)浜蓴?shù),μ表示化學(xué)勢(shì),將表達(dá)式(7)代入方程組(6),可獲得徑向波函數(shù)?1,2滿足的徑向方程組,形式如下:

在數(shù)值模擬的過程中,關(guān)于穩(wěn)定性的判斷,采用線性穩(wěn)定性分析方法結(jié)合實(shí)時(shí)傳輸方法進(jìn)行驗(yàn)證.下文將介紹線性穩(wěn)定性分析方法的具體思路[62,63].首先,假設(shè)擾動(dòng)解的具體形式為

式中λ表示不穩(wěn)定增長(zhǎng)率,w1,2和v1,2表示不穩(wěn)定增長(zhǎng)率所對(duì)應(yīng)的本征模式,m表示對(duì)渦旋拓?fù)浜蓴?shù)的擾動(dòng).將(9)式代入GP 方程組(6)并線性化后有:

其中F11—F44的具體表達(dá)形式詳見附錄部分.與一維線性穩(wěn)定性分析不同的是,這里有對(duì)渦旋拓?fù)浜蓴?shù)的擾動(dòng),且在渦旋拓?fù)浜蓴?shù)擾動(dòng)值至少取m=0,1,2,3 時(shí),若不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率λ沒有虛部出現(xiàn),則說明此時(shí)的隱秘渦旋量子液滴解穩(wěn)定,反之則不穩(wěn)定.

3 結(jié)果分析

在上述模型中,采用虛時(shí)間方法[64]求解歸一化方程組(6)的定態(tài)解,并獲得了拓?fù)浜勺畲鬄镾1,2=±4的穩(wěn)定隱秘渦旋量子液滴,突破了窄囚禁條件下S1,2=±1 的限制.圖1 是隱秘渦旋量子液滴的典型例子,展示了S1,2分別為±3 和±4 時(shí)的隱秘渦旋量子液滴,其中圖1(a1),(a2),(c1),(c2)分別表示兩分量的密度分布,可以看出隱秘渦旋量子液滴的密度分布具有環(huán)形分布的特點(diǎn).圖1(b1),(b2),(d1),(d2)分別展示了其對(duì)應(yīng)的相位分布,可以清晰看出兩個(gè)分量的相位結(jié)構(gòu)相反.同時(shí),從密度分布圖可以看出,隨著拓?fù)浜珊涂偭Ｗ訑?shù)的增加,隱秘渦旋量子液滴的內(nèi)半徑逐漸增大.與文獻(xiàn)[60]中的結(jié)果一致,隨著總粒子數(shù)的增加,隱秘渦旋量子液滴密度分布也展現(xiàn)出“平頂型”的特征.

圖1 隱秘渦旋量子液滴的典型例子 (a1),(a2)總粒子數(shù) N=2500 時(shí),拓?fù)浜蔀镾1,2= ±3 的兩分量密度分布圖;(b1),(b2) 分別對(duì)應(yīng)其相位分布;(c1),(c2)總粒子數(shù) N=30000 時(shí),拓?fù)浜蔀镾1,2= ±4 的兩分量的密度分布圖;(d1),(d2) 分別對(duì)應(yīng)其相位分布.系統(tǒng)參數(shù)為g=10 和δg=0.5Fig.1.Typical examples of stable hidden vortices of QDs: (a1),(a2) Density patterns of the two components with(N,S1,2)=(2500,±3);(b1),(b2) the corresponding phase diagrams of the hidden vortices of QDs are in panels (a1) and (a2),respectively;(c1),(c2) density patterns of the two components with (N,S1,2)=(30000,±4);(d1),(d2) the corresponding phase diagrams of the hidden vortices of QDs are in panels (c1) and (c2),respectively.The other parameters are g=10 and δg=0.5.

為進(jìn)一步研究隱秘渦旋量子液滴的特性,定義其有效面積為

圖2(a)展示了隱秘渦旋量子液滴的有效面積與總粒子數(shù)之間的依賴關(guān)系.圖中黑色點(diǎn)虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域,紅色實(shí)線表示穩(wěn)定區(qū)域,藍(lán)色的點(diǎn)表示穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的總粒子數(shù)臨界值Nth,其中穩(wěn)定與不穩(wěn)定的隱秘渦旋量子液滴的典型例子將在圖3 中展示.從圖2(a)可以看出,在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),隱秘渦旋量子液滴的有效面積隨著總粒子數(shù)的增加而線性增大,其主要原因是: 當(dāng)總粒子數(shù)足夠大時(shí),其密度分布會(huì)展現(xiàn)“平頂型”,記峰值密度,若繼續(xù)增加總粒子數(shù),峰值密度保持不變,此時(shí)峰值密度與有效面積的乘積即為總粒子數(shù),即有N≈2Aeffnmax.根據(jù)已有數(shù)據(jù)分析,在δg=0.5 時(shí),有峰值密度nmax≈0.0217,圖2(a)中紅色實(shí)線的斜率大約為2 3.87,即大約為1/(2nmax),因此很好地說明了有效面積與總粒子數(shù)之間的線性增大規(guī)律.

圖2 (a) 隱秘渦旋量子液滴的有效面積 Aeff 與總粒子數(shù) N 之間的依賴關(guān)系,Nth 表示穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的臨界值,紅色實(shí)線表示穩(wěn)定區(qū)域,黑色點(diǎn)虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域;(b) 藍(lán)色點(diǎn)表示固定 δg=0.5 時(shí),臨界值 Nth 與拓?fù)浜?S1 之間的依賴關(guān)系;黑色“★”表示臨界值下的隱秘渦旋量子液滴的內(nèi)半徑大小 Rin;(c) 固定 S1,2=±1 時(shí),不同 δg 值下的臨界值 Nth;(d) 固定 S1,2=±1 時(shí),化學(xué)勢(shì) μ 與總粒子數(shù) N 之間的依賴關(guān)系Fig.2.(a) The dependence of the effective area Aeff on the norm N of the hidden vortices of QDs,Nth is the threshold norm,red solid curve shows the stable region and the black dash curve shows the unstable region;(b) the blue dot represents the dependence of the threshold Nth on the topological charge S1 when δg=0.5,the black star represents the inner radius of the hidden vortices of QDs at the threshold norm;(c) the threshold norm Nth for hidden vortices of QDs with S1,2=±1 as a function of δg;(d) the dependence of the chemical potential μ on the total norm N with S1,2=±1.

在模擬的過程中發(fā)現(xiàn),存在臨界值Nth,當(dāng)總粒子數(shù)N ＞Nth時(shí),隱秘渦旋量子液滴是穩(wěn)定的,反之則不穩(wěn)定.對(duì)穩(wěn)定性的驗(yàn)證采用檢驗(yàn)本征值λ的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率與實(shí)時(shí)傳輸相結(jié)合的方法.圖2(b)探討了固定 δg時(shí),臨界值Nth與拓?fù)浜蒘1之間的依賴關(guān)系,從藍(lán)色點(diǎn)可以看出隨著拓?fù)浜蓴?shù)的增加,臨界值逐漸增加;同時(shí)也展示了臨界值下的隱秘渦旋量子液滴的內(nèi)半徑大小Rin[見黑色“★”],可以看出隨著拓?fù)浜蓴?shù)的增加,內(nèi)半徑Rin逐漸增大.圖2(c)展示了固定拓?fù)浜蒘1,2=±1 時(shí),臨界值Nth與δg之間的關(guān)系,同樣可以看出隨著 δg的增加臨界值也增加.

進(jìn)一步探究固定S1,2=±1 時(shí),化學(xué)勢(shì)μ與總粒子數(shù)N之間的關(guān)系.從圖2(d)可以看出,μ-N之間的依賴關(guān)系滿足Vakhitov-Kolokolov 判據(jù),即滿足 dμ/dN＜0;同時(shí)發(fā)現(xiàn)隨著總粒子數(shù)的增加,其化學(xué)勢(shì)μ→-0.0018 不變.下面給出其理論解釋.

當(dāng)總粒子數(shù)足夠大,隱秘渦旋量子液滴形成時(shí)其密度分布具有“平頂型”的特征,此時(shí)可以采用Thomas-Fermi (TF)近似,即忽略動(dòng)能項(xiàng)的影響,系統(tǒng)的能量密度可以表示為

此時(shí)系統(tǒng)的總能量為能量密度與有效面積的乘積,即有

(13)式也很好地解釋了當(dāng)渦旋量子液滴的密度分布達(dá)到“平頂型”時(shí),總能量隨著總粒子數(shù)線性增長(zhǎng).當(dāng)總粒子數(shù)N一定時(shí),系統(tǒng)將選擇nmax使得總能量最低,即有 dE/dnmax=0,可得

例如,取 δg=0.5,可得峰值密度nmax≈0.0217,從圖1 中的顯示色條可以看出此理論分析與數(shù)值結(jié)果一致.

根據(jù)方程組(8),可以得到在TF 近似下化學(xué)勢(shì)與峰值密度之間的關(guān)系為

結(jié)合 (14) 式,可知μ→-0.0018,與圖2(d)的數(shù)值結(jié)果一致.

圖3 分別展示了S1,2=±1 時(shí),具有不同總粒子數(shù)N的隱秘渦旋量子液滴不穩(wěn)定傳輸與穩(wěn)定傳輸?shù)牡湫屠?其分別對(duì)應(yīng)圖2(a)中的點(diǎn)“A”和點(diǎn)“B”.圖(a1)—(a3)分別展示了總粒子數(shù)N=300

時(shí),Φ1分量傳輸?shù)絫=0,t=7300和t=10000 時(shí)密度分布情況,顯然此參數(shù)下隱秘渦旋量子液滴是不穩(wěn)定的;圖(b1)—(b3)分別展示了總粒子數(shù)N=1500 時(shí),Φ1分量穩(wěn)定傳輸?shù)絫=0,t=5200和t=10000時(shí)密度分布情況.圖3(a4),(b4)分別展示了渦旋拓?fù)浜傻臄_動(dòng)值m=0,1,2,3 時(shí)擾動(dòng)本征值λ的實(shí)部與虛部之間的關(guān)系,可以看出當(dāng)擾動(dòng)本征值的虛部為0 時(shí),隱秘渦旋量子液滴傳輸穩(wěn)定,反之當(dāng)擾動(dòng)本征值的虛部不為0 時(shí),傳輸不穩(wěn)定,表明線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果與實(shí)時(shí)傳輸?shù)慕Y(jié)果一致.

圖3 (a1)—(a3) N=300 時(shí),Φ1 分量傳輸?shù)?t=0,t=7300 和 t=10000 時(shí)密度分布情況,顯然此時(shí)傳輸不穩(wěn)定;(a4)渦旋拓?fù)浜蓴?shù)的擾動(dòng)值m=0,1,2,3時(shí)不穩(wěn)定增長(zhǎng)率 λ的實(shí)部和虛部的關(guān)系圖;(b1)—(b3) N=1500 時(shí),Φ1分量傳輸?shù)?t=0,t=5200 和 t=10000 時(shí)密度分布情況,顯然此時(shí)傳輸穩(wěn)定;(b4)渦旋拓?fù)浜蓴?shù)的擾動(dòng)值 m=0,1,2,3 時(shí)不穩(wěn)定增長(zhǎng)率 λ 的實(shí)部和虛部的關(guān)系圖Fig.3.(a1)—(a3) The density pattern of the Φ1 component with N=300 and t=0,7300,10000,which is obviously unstable;(a4) perturbation eigenvalues for the corresponding hidden vortices of QDs with N=300 and S1,2=±1 for different azimuthal index m=0,1,2,3;(b1)—(b3) the density pattern of the Φ1 component with N=1500 and t=0,5200,10000;(b4) perturbation eigenvalues for the corresponding hidden vortices of QDs with N=1500 and S1,2=±1 for different azimuthal indexm=0,1,2,3.

4 動(dòng)力學(xué)

嵌套渦旋指的是在多組分系統(tǒng)中,每個(gè)組分?jǐn)y帶不同的拓?fù)浜汕仪短自谝黄鸬臏u旋結(jié)構(gòu).目前,對(duì)由隱秘渦旋量子液滴形成的嵌套渦旋尚未被研究,在這一部分主要探討兩個(gè)隱秘渦旋量子液滴之間形成的嵌套渦旋量子液滴.研究發(fā)現(xiàn),較大拓?fù)浜蓴?shù)的隱秘渦旋量子液滴具有較大的內(nèi)半徑Rin[參見圖2(b)中的黑色“★”],因此其內(nèi)部具有較大的空間來嵌套外半徑較小的其他渦旋量子液滴.如果嵌入的渦旋量子液滴的外半徑與被嵌入的渦旋量子液滴的內(nèi)半徑之間有足夠的空間,那么此兩個(gè)嵌套在一起的嵌套渦旋量子液滴可以穩(wěn)定共存一段時(shí)間.

圖4 給出了嵌套渦旋量子液滴的典型例子,這里僅展示Φ1分量.圖4(a1)—(a3)和(c1)—(c3)分別展示了一組拓?fù)浜尚〉碾[秘渦旋量子液滴(N=800,S1,2=±1),被嵌入到內(nèi)半徑較大的隱秘渦旋量子液滴中(N=30000,S1,2=±4 和N=30000,S1,2=?4),結(jié)果表明其形成的嵌套渦旋量子液滴可以穩(wěn)定共存且達(dá)到t=10000;圖4(a4),(c4)分別展示了嵌套渦旋量子液滴分別傳輸?shù)?1 0000 時(shí)的相位分布,結(jié)果顯示其相位分布結(jié)構(gòu)完好.圖4(b1)—(b3)和(d1)—(d3)分別展示了N=800,S1,2=±1的隱秘渦旋量子液滴被嵌到N=26000,S1,2=±4和N=26000,S1,2=?4 的隱秘渦旋量子液滴中的傳輸結(jié)果,可以看出當(dāng)兩個(gè)隱秘渦旋量子液滴的內(nèi)外半徑之間的距離較小時(shí),形成的嵌套渦旋量子液滴是不能夠長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定共存的,因相互吸引并最終融合在一起;圖4(b4),(d4)分別展示嵌套渦旋量子液滴傳輸?shù)絫=4500 和t=6400 時(shí)的相位分布.其密度分布和相位結(jié)構(gòu)與初始狀態(tài)相比均發(fā)生了變化,反映了此時(shí)形成的嵌套渦旋量子液滴是不穩(wěn)定的.

圖4 嵌套渦旋的典型例子 (a1)—(a3) N=800,S1,2=±1 和N=30000,S1,2=±4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(a4) 液滴傳輸?shù)?t=10000 時(shí)的相位分布;(b1)—(b3) N=800,S1,2=±1 和N=26000,S1,2=±4嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(b4) 液滴傳輸?shù)?t=4500 時(shí)的相位分布;(c1)—(c3) N=800,S1,2=±1 和N=30000,S1,2=?4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(c4) 液滴傳輸?shù)?t=10000 時(shí)的相位分布;(d1)—(d3) N=800,S1,2=±1 和N=26000,S1,2=?4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(d4) 液滴傳輸?shù)?t=6400 時(shí)的相位分布Fig.4.Typical examples of the nested vortex QDs: (a1)—(a3) The hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside(N,S1,2)=(30000,±4),which has a larger inner radius;(a4)output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=10000;(b1)—(b3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside (N,S1,2)=(26000,±4);(b4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=4500;(c1)—(c3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside (N,S1,2)=(30000,?4);(c4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=10000;(d1) —(d3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside(N,S1,2)=(26000,?4);(d4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=6400.

5 結(jié)論

本文主要研究弱囚禁條件下玻色-玻色混合凝聚體中的隱秘渦旋量子液滴及其動(dòng)力學(xué)特性.當(dāng)橫向囚禁尺度相當(dāng)窄時(shí)(遠(yuǎn)小于1 μm),二維渦旋量子液滴是穩(wěn)定的,同時(shí)也僅支持拓?fù)浜蒘1,2=±1的隱秘渦旋量子液滴的存在,此時(shí)系統(tǒng)中的LHY修正項(xiàng)由對(duì)數(shù)函數(shù)來描述.當(dāng)撤掉囚禁,在完全自由的三維空間中,雖然能形成穩(wěn)定的渦旋量子液滴,但是不能形成穩(wěn)定的隱秘渦旋量子液滴.然而,實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)的二維囚禁系統(tǒng),一般其橫向囚禁尺度遠(yuǎn)大于1 μm (弱囚禁),此時(shí)LHY 修正項(xiàng)就不再由對(duì)數(shù)函數(shù)來描述,而是采用全三維空間中的LHY 修正項(xiàng)表達(dá)式,因此量子液滴將具有與窄囚禁下不同的非線性動(dòng)力學(xué)特性.本文以此為出發(fā)點(diǎn),采用虛時(shí)間方法獲得了弱囚禁下拓?fù)浜蓴?shù)達(dá)到S1,2=±4的隱秘渦旋量子液滴,其密度分布具有環(huán)形結(jié)構(gòu)特征,并給出了不同拓?fù)浜蓴?shù)下的隱秘渦旋量子液滴的穩(wěn)定與不穩(wěn)定的粒子數(shù)臨界值Nth.研究表明: 在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),隱秘渦旋量子液滴的有效面積隨著總粒子數(shù)的增加而線性增大;穩(wěn)定隱秘渦旋量子液滴的化學(xué)勢(shì)與總粒子數(shù)之間的關(guān)系滿足Vakhitov-Kolokolov 判據(jù),即滿足 dμ/dN＜0,并隨著總粒子數(shù)的增加趨于-0.0018 不變;文中結(jié)合量子液滴“平頂型”的特征,采用Thomas-Fermi近似對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證,其理論分析與數(shù)值結(jié)果一致.最后,本文利用兩個(gè)不同拓?fù)浜傻碾[秘渦旋量子液滴構(gòu)造了新的復(fù)合渦旋模式,即嵌套渦旋;結(jié)果表明當(dāng)嵌入的渦旋量子液滴的外半徑與被嵌入的渦旋量子液滴的內(nèi)半徑之間有足夠的空間時(shí),兩個(gè)嵌套在一起的嵌套渦旋量子液滴可以穩(wěn)定共存.因此,量子液滴在弱囚禁條件下對(duì)隱秘渦旋的支持要優(yōu)于完全自由和窄囚禁條件的量子液滴,其為隱秘渦旋的穩(wěn)定存在提供了一個(gè)更寬松的環(huán)境.本文的研究結(jié)果為其他系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)隱秘渦旋量子液滴提供參考,并為渦旋量子液滴的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供理論依據(jù).

附錄

F11—F44的具體表達(dá)式如下: