基于等效夾雜理論的混雜纖維復(fù)合材料有效彈性模量預(yù)測

秦飛飛，盛冬發(fā)

(西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,昆明 650224)

混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(HFRCs)是指在基體中添加兩種或兩種以上纖維的新型復(fù)合材料,該材料從20世紀(jì)70年代開始發(fā)展起來[1-2]。由于混雜纖維復(fù)合材料同時(shí)具備不同纖維的優(yōu)良特性,在航空航天、建筑材料、汽車制造、紡織工業(yè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

20世紀(jì)90年代開始,隨著人們生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識的提高,科研人員逐漸使用天然纖維替代部分人造纖維應(yīng)用于混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料。Petrucci等[3]采用玄武巖纖維、亞麻纖維、大麻纖維和玻璃纖維為增強(qiáng)纖維,取其中兩種增強(qiáng)纖維與環(huán)氧樹脂制成三相混雜復(fù)合材料,研究了混雜復(fù)合材料的沖擊性能。Li等[4]以鋼纖維、聚乙烯醇纖維和碳酸鈣晶須為增強(qiáng)相制備混雜纖維增強(qiáng)水泥基復(fù)合材料,研究發(fā)現(xiàn)鋼-聚乙烯醇纖維-晶須的加入緩解了復(fù)合材料的受壓開裂。Calabrese等[5]研究了環(huán)氧樹脂/玻璃纖維/亞麻纖維混雜復(fù)合材料在惡劣環(huán)境下的耐久性。研究表明加入玻璃纖維可以顯著提高亞麻纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料層壓板在海洋環(huán)境條件下抗老化性。Ghori等[6]研究了椰棗纖維和洋麻纖維增強(qiáng)環(huán)氧雜化復(fù)合材料的熱性能和力學(xué)性能。結(jié)果表明,復(fù)合材料的撓曲模量隨洋麻比增高而增大。Xun等[7]通過對玻璃/碳纖維增強(qiáng)塑料復(fù)合材料進(jìn)行水熱環(huán)境下拉伸性能測試,討論了溫度、層厚度、層角度對拉伸強(qiáng)度的影響。Khalid等[8]對不同重量百分比的玻璃纖維和黃麻纖維增強(qiáng)環(huán)氧復(fù)合材料進(jìn)行了沖擊性能試驗(yàn),研究發(fā)現(xiàn)黃麻纖維比玻璃纖維對復(fù)合材料沖擊強(qiáng)度的貢獻(xiàn)更大。徐虹等[9]制備了不同碳纖維和玄武巖纖維(BF)含量的混雜增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料,通過有限元模擬確定了混雜纖維復(fù)合材料剛度、強(qiáng)度和拉伸極限應(yīng)變最大時(shí)的混雜比。

目前,國內(nèi)研究人員對混雜纖維復(fù)合材料力學(xué)性能研究主要側(cè)重于試驗(yàn)及分析方面,而混雜纖維復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)研究相對較少。筆者將混雜纖維復(fù)合材料看作由兩種不同纖維嵌入基體的三相復(fù)合材料,根據(jù)黃敏杰等[10]給出的等效夾雜原理和分步均勻化方法,提出可預(yù)測三相復(fù)合材料的拉伸彈性模量的細(xì)觀力學(xué)模型。最后將此方法預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)中試驗(yàn)結(jié)果和有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對比,以此來驗(yàn)證筆者提出的細(xì)觀力學(xué)模型的合理性。

1 混雜纖維復(fù)合材料有效彈性模量分析

基于等效夾雜理論,得出單一纖維及基體內(nèi)的平均應(yīng)力和應(yīng)變,將其代入兩相復(fù)合材料均勻化平均應(yīng)力、應(yīng)變表達(dá)式,從而求解出兩相復(fù)合材料的有效彈性模量。最后采用分步均勻化方法將兩相復(fù)合材料當(dāng)作新基體,另一種纖維作為增強(qiáng)相,計(jì)算出三相混雜復(fù)合材料的有效彈性模量。

1.1 等效夾雜理論

在純基體中加入與其彈性模量不同的夾雜體,并且受到遠(yuǎn)場均勻應(yīng)變ε(∞)ij作用情況下,如圖1a所示。由于夾雜體的存在,基體的平均應(yīng)力、應(yīng)變較均勻純基體增加了擾動應(yīng)力、擾動應(yīng)變。含夾雜復(fù)合材料基體內(nèi)的平均應(yīng)變和應(yīng)力為：

圖1 復(fù)合材料夾雜均勻化

式中,ε(∞)ij為遠(yuǎn)場均勻應(yīng)變?yōu)閿_動應(yīng)變,為純基體受到的均勻應(yīng)力為擾動應(yīng)力。

由于基體與夾雜彈性性質(zhì)的差別,在外力場作用下夾雜內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變與基體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變不同,兩者分別相差一個(gè)攝動值和,夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力分別為：

根據(jù)Eshelby等效夾雜理論[11],引入一個(gè)等效本征應(yīng)變,夾雜的彈性常數(shù)轉(zhuǎn)化為與基體相同的彈性常數(shù),即：

式中,為纖維彈性常數(shù),為基體彈性常數(shù)為等效本征應(yīng)變。轉(zhuǎn)化過程見圖1所示。

攝動應(yīng)變與等效本征應(yīng)變的關(guān)系可以由Akamatsu的理論[12]得出：

式中,Sijkl為夾雜的Eshelby張量[13],與夾雜的形狀和基體的泊松比有關(guān)。

根據(jù)混合率方法,復(fù)合材料平均應(yīng)變和組分材料平均應(yīng)變的關(guān)系式為：

式中,c為夾雜的體積分?jǐn)?shù)。

求解式(6)、式(7)可得：

聯(lián)立式(5)、式(6)和式(8)可求得,根據(jù)式(1)～式(4)可得基體和夾雜內(nèi)平均應(yīng)力及平均應(yīng)變。

1.2 兩相復(fù)合材料有效彈性模量求解

復(fù)合材料視為由若干根圓柱形纖維(f)埋入基體(m)中,如圖2所示。對復(fù)合材料施加縱向均勻應(yīng)變邊界條件,以獲得復(fù)合材料有效彈性模量。由式(5)可得：

圖2 復(fù)合材料在均勻應(yīng)變邊界條件作用

式中,為基體彈性常數(shù),為纖維彈性常數(shù),εˉ011為等效特征應(yīng)變?yōu)槭┘拥木鶆驊?yīng)變邊界條件。

求解方程(9),可得等效特征應(yīng)變,將其代入式(1)～(4),即可求出纖維與基體的平均應(yīng)力和平均應(yīng)變。

纖維內(nèi)的平均應(yīng)力、應(yīng)變分別為：

基體內(nèi)的平均應(yīng)力、應(yīng)變分別為：

根據(jù)混合率方法得出兩相復(fù)合材料的平均應(yīng)力和平均應(yīng)變分別表示為：

將式(10)～(13)代入式(14)和式(15),可得到兩相復(fù)合材料的平均應(yīng)力和應(yīng)變,由此可得復(fù)合材料的縱向彈性模量,即：

式中,E11為復(fù)合材料的縱向彈性模量。

1.3 分步均勻化方法

混雜纖維復(fù)合材料屬于多類夾雜問題,可采用分步均勻化方法處理每一類纖維材料[14],逐步計(jì)算出混雜纖維復(fù)合材料的有效性能。分步均勻化的步驟是：首先向基體材料(彈性模量Cijkl和泊松比ν等材料屬性確定)中投入第一種纖維(設(shè)其彈性模量為),然后使用式(9)～(16)完成均勻化過程,得到均勻化復(fù)合材料的彈性模量,如圖3a所示。用均勻化后的復(fù)合材料作為新的基體(其彈性模量為),投入另一類纖維(設(shè)其彈性模量為),再次使用式(9)～(16)進(jìn)行均勻化,得到新的彈性模量,即為三相復(fù)合材料的有效彈性模量,如圖3b所示。

圖3 分步均勻化示意圖

1.4 算例驗(yàn)證

將細(xì)觀力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)[15]中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,以驗(yàn)證本預(yù)測方法的正確性。其中,BF、劍麻纖維(SF)、聚乳酸(PLA)拉伸彈性模量分別為88.9,9.4,2.1 GPa,根據(jù)材料參數(shù)計(jì)算出Eshelby張量,將其代入式(9)～(16)解出不同SF質(zhì)量分?jǐn)?shù)下的兩相復(fù)合材料縱向,預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)值對比結(jié)果見表1。從表1可以看出,理論預(yù)測值與試驗(yàn)值較為接近,表明細(xì)觀力學(xué)預(yù)測方法有較好的預(yù)測精度。

表1 不同SF含量的PLA復(fù)合材料拉伸彈性模量預(yù)測值與試驗(yàn)值

采用分步均勻化方法將劍麻纖維增強(qiáng)聚乳酸復(fù)合材料當(dāng)作新基體,式(9)～(16)解出不同混雜纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)下的三相復(fù)合材料縱向拉伸彈性模量,預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)值見表2。從表2可以看出,混雜纖維含量在27.27%以下時(shí),預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對誤差基本保持在15.26%以內(nèi)?；祀s纖維含量達(dá)到33.33%時(shí),預(yù)測值與試驗(yàn)值的誤差較大為22.43%。因此,本方法在混雜纖維含量低于27.27%時(shí)可認(rèn)為是較為有效的。

表2 不同混雜纖維含量時(shí)PLA復(fù)合材料縱向拉伸彈性模量預(yù)測值與試驗(yàn)值對比

2 預(yù)測值和有限元模擬對比

2.1 RVE尺寸參數(shù)

根據(jù)混雜纖維復(fù)合材料的增強(qiáng)纖維在基體中的分布具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的周期性,提出了復(fù)合材料在細(xì)觀結(jié)構(gòu)上具有周期性的假定[16]。使用ABAQUS有限元模擬軟件建立劍麻纖維和BF沿縱向分布于聚乳酸矩形截面的代表性體積單元模型,代表性體積單元的長寬厚依次為0.58 mm×0.58 mm×0.60 mm,混雜纖維復(fù)合材料有限元模型如圖4所示。

圖4 纖維質(zhì)量比1∶1的混雜纖維復(fù)合材料模型

2.2 模擬計(jì)算

采用ABAQUS軟件對代表體積單元拉伸模擬,如圖5所示。在三維有限元模型底面施加固定約束,限制模型底部位移和轉(zhuǎn)動。頂部施加均勻位移邊界條件,位移增量步為0.05。從后處理數(shù)據(jù)中提取代表體元橫截面各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)值,并對提取的數(shù)據(jù)平均計(jì)算繪制出不同纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,見圖6。進(jìn)而得出了混雜纖維復(fù)合材料的縱向拉伸彈性模量隨纖維含量變化的情況。

圖5 混雜纖維復(fù)合材料有限元軸向拉伸模擬

圖6 不同混雜纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線

2.3 預(yù)測值與模擬結(jié)果對比

將本方法預(yù)測結(jié)果與ABAQUS模擬結(jié)果和文獻(xiàn)[15]的試驗(yàn)值繪制于圖7。從圖7可以看出,本方法預(yù)測值較ABAQUS模擬值更接近試驗(yàn)值。ABAQUS模擬值與試驗(yàn)值偏差較大,原因可能是混雜纖維復(fù)合材料制備時(shí)增強(qiáng)纖維和基體連接可能存在微觀缺陷,而在有限元模擬中規(guī)定復(fù)合材料的纖維和基體黏結(jié)完好,從而造成模擬結(jié)果偏大。顯然,本方法在預(yù)測三相混雜復(fù)合材料的拉伸彈性模量時(shí)預(yù)測結(jié)果更為精確。

圖7 混雜纖維復(fù)合材料拉伸彈性模量隨纖維含量變化曲線

3 混雜纖維復(fù)合材料拉伸彈性模量影響因素分析

混雜纖維復(fù)合材料拉伸彈性模量的影響因素主要是混雜纖維的用量和混雜纖維的拉伸彈性模量。為分析以上因素對復(fù)合材料拉伸彈性模量的影響,以SF/BF混雜增強(qiáng)PLA復(fù)合材料為例,利用建立的細(xì)觀力學(xué)模型預(yù)測混雜纖維復(fù)合材料的拉伸彈性模量。該預(yù)測方法為混雜纖維復(fù)合材料性能設(shè)計(jì)提供了一種新方法。

3.1 混雜纖維含量的影響分析

圖8a、圖8b分別為混雜纖維增強(qiáng)PLA復(fù)合材料拉伸彈性模量隨BF,SF質(zhì)量含量變化規(guī)律,圖中f(SF)和f(BF)分別為SF,BF的固定質(zhì)量分?jǐn)?shù)。從圖8a、圖8b中可看出,保持一種纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)不變,混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的拉伸彈性模量隨另一種纖維含量的增加呈線性方式增大。從圖8a可以看出,隨著SF用量的增加,混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的拉伸彈性模量也在逐漸增加,但是這種增加效果隨BF用量增大而逐漸減弱。從圖8b可以看出,隨著BF用量的增加,混雜纖維增強(qiáng)PLA復(fù)合材料的拉伸彈性模量也在逐漸增加,并且這種增加效果隨BF用量增大而逐漸減弱。比較圖8a、圖8b可以得出,混雜纖維增強(qiáng)PLA復(fù)合材料拉伸彈性模量隨BF含量增加變化更為明顯,即BF含量變化對混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料拉伸彈性模量的影響大于SF。

圖8 混雜纖維增強(qiáng)PLA復(fù)合材料拉伸彈性模量隨纖維用量的變化

3.2 混雜纖維拉伸彈性模量變化的影響分析

為了分析SF和BF拉伸彈性模量對混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料拉伸彈性模量的影響,取SF拉伸彈性模量變化范圍為10～22 GPa,BF拉伸彈性模量變化范圍為80～92 GPa。運(yùn)用筆者的細(xì)觀力學(xué)計(jì)算模型對復(fù)合材料拉伸彈性模量進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果見圖9a、圖9b。圖中E(SF)和E(BF)分別為SF,BF的固定拉伸彈性模量。從圖9a、圖9b中可以看出,在纖維含量保持不變的情況下,混雜纖維增強(qiáng)PLA復(fù)合材料的拉伸彈性模量隨纖維拉伸彈性模量增大而線性增大。

圖9 混雜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料拉伸彈性模量隨BF、SF拉伸彈性模量的變化

4 結(jié)論

基于等效夾雜原理和分步均勻化方法,提出了一種預(yù)測三相混雜復(fù)合材料縱向拉伸彈性模量的細(xì)觀力學(xué)模型,并與已有的試驗(yàn)和有限元模擬結(jié)果對比,得出以下主要結(jié)論：

(1)基于等效夾雜理論可以有效預(yù)測兩相復(fù)合材料的有效拉伸彈性模量,將其與分步均勻化方法結(jié)合,提出了能夠預(yù)測三相混雜復(fù)合材料拉伸彈性模量的細(xì)觀力學(xué)模型。

(2)運(yùn)用細(xì)觀力學(xué)模型計(jì)算了SF/BF混雜增強(qiáng)PLA復(fù)合材料的拉伸彈性模量,將模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,兩者的最大相對誤差基本保持在15%以內(nèi)。與ABAQUS有限元模擬結(jié)果相比,模型計(jì)算結(jié)果更接近文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)結(jié)果,表明筆者提出的細(xì)觀力學(xué)模型具有合理性。

(3)對于混雜復(fù)合材料只需確定基體與纖維的拉伸彈性模量,纖維體積分?jǐn)?shù)及Eshelby張量,便可以用于計(jì)算植物纖維與人造纖維制成的三相混雜復(fù)合材料,為環(huán)保型復(fù)合材料的性能設(shè)計(jì)提供一定參考依據(jù)。