掌握通性通法,以不變應萬變
——基本不等式的應用技巧

徐志蓮

(浙江省桐廬中學)

基本不等式及其應用作為高考中的一個重要知識點,一直是高考命題的一個熱點與亮點.利用基本不等式解決問題時,需要把握問題本質,掌握基本的通性通法,舉一反三,融會貫通,發(fā)散拓展,才能以不變應萬變.

不等式能與其他知識進行合理巧妙的交會與融合,可以有效考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).利用基本不等式解決最值問題時,要同時具備“一正、二定、三相等”這三個基本條件,而在具體問題中,這三個基本條件不直觀、不直接,需要進行適當?shù)淖冃尾拍艿靡詽M足.解決問題的基本技巧就是創(chuàng)造條件,合理變形,借助基本技巧與方法來化歸與轉化,實現(xiàn)利用基本不等式解決問題的目的.

1 雙變量首選——消元法

例1已知正數(shù)x,y滿足x＋4y＝x2y3,則的最小值為_________.

分析根據(jù)題目條件直觀分析,本題不滿足利用基本不等式來求解最值的條件——“積為定值”,并且題目條件的關系式與目標代數(shù)式之間的關系不清晰,所以考慮通過消元法處理,減少變量,使得關系更加清晰明了,進而通過等式的恒等變形與轉化,結合基本不等式來確定相應的最值問題.

解由正數(shù)x,y滿足x＋4y＝x2y3,整理可得y3x2－x－4y＝0,根據(jù)求根公式解關于x的一元二次方程,可得x＝(負值舍去),根據(jù)基本不等式,通過消元法處理,可得

點評在解決一些比較復雜的多變元代數(shù)式最值問題時,通常利用變量之間的關系進行合理的消元處理,通過減少變量的個數(shù),將所求問題轉化為只含一個變量的代數(shù)式問題,再借助單變量代數(shù)式的變形與轉化,更加直觀有效地利用基本不等式進行求解.

2 乘“1”后變形——代換法

例2已知a＞0,b＞0,且2a＋＝1,則＋b的最小值為( ).

分析根據(jù)題目條件,觀察條件代數(shù)關系式與目標代數(shù)關系式之間的聯(lián)系,在所求目標代數(shù)關系式后面乘以“1”后,借助已知條件中的關系式來代換常數(shù)“1”,構造對應的代數(shù)式,通過代數(shù)式的展開處理并加以恒等變形與轉化,進而利用基本不等式來確定代數(shù)式的最值.

點評“1”的代換法是拼湊成滿足基本不等式條件的關鍵所在,也是利用基本不等式求最值中比較常用的方法之一.

3 常量巧引進——配湊法

例3若a＞0,b＞0,且a2＋＝1,則的最大值為_________.

分析本題要求代數(shù)式的積的最大值,但不具備“和為定值”的基本條件,無法直接利用基本不等式求解.結合條件中的二次關系式,對目標代數(shù)式進行變形,構建滿足對應二次方程的條件,提供“和為定值”的情境,為利用基本不等式求解最值進行基本的鋪墊工作.

點評在利用基本不等式確定目標關系式的最值時,為創(chuàng)設滿足“積為定值”或“和為定值”這一基本條件,經常需要對關系式進行因式分解、平方轉化等恒等變形,即根據(jù)條件所給代數(shù)式和待求目標代數(shù)式的結構特征,引入常量進行必要的配湊處理,構建滿足應用基本不等式的條件.

4 整體性思維——換元法

例4已知實數(shù)a,b滿足a＞b≥0,則的最小值是_________.

分析根據(jù)題目條件,利用不等式的性質確定對應的關系式恒為正數(shù),且目標代數(shù)式的分母不是單項式,因而考慮對目標代數(shù)式進行恒等變形與轉化,再通過換元法處理,這樣可以使得相應的目標代數(shù)式更加簡潔直觀,為進一步利用基本不等式確定最值問題指明方向.

解由于實數(shù)a,b滿足a＞b≥0,則知a＋b＞0,a－b＞0,設a＋b＝x＞0,a－b＝y(tǒng),則a＝,b＝.

由基本不等式可得

點評求解本題的關鍵是根據(jù)題目中目標代數(shù)式的結構特征對分母換元.特別地,換元后的恒等變形往往是解決此類多元(一般以二元或三元為主)函數(shù)或代數(shù)式的最值或取值范圍問題的關鍵步驟.

利用基本不等式解決代數(shù)式的最值問題,關鍵在于掌握基本的通性通法,合理借助“拆”“拼”“湊”等技巧,將題目條件中的代數(shù)式或所求的目標代數(shù)式變形為“和為定值”或“積為定值”的形式.但是具體問題千變萬化,解法千奇百怪,方法還不具有唯一性,因而需要學生盡可能地掌握解決問題的通性通法.

鏈接練習

1.正實數(shù)a,b,c互不相等且滿足a2＋b2＋c2＝2ab＋bc,則下列結論成立的是( ).

A.2a＞b＞cB.2a＞c＞b

C.2c＞a＞bD.2c＞b＞a

鏈接練習參考答案

(完)