探求多元等式條件下最值問(wèn)題的若干策略

李學(xué)友 劉 芳

(湖北省荊門(mén)市第一中學(xué))

用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問(wèn)題是一種常見(jiàn)的策略,但有些題目的條件隱、式子晦.結(jié)構(gòu)復(fù)雜,需要有扎實(shí)的基本功和一定的解題技巧.這些能力的來(lái)源是接受規(guī)范的解題方法指導(dǎo)和一定量的典型題目訓(xùn)練.本文通過(guò)具體例題介紹一些常用的解題方法,以期給讀者一些幫助.

1 等式變形

點(diǎn)評(píng)在研究題目后發(fā)現(xiàn),結(jié)論式子中的分母分別是a和b＋1,如何利用好等式條件將分母進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,由a＋b＝1 變形得a＋(b＋1)＝2就是一個(gè)解題的技巧.所以最小值為25.

點(diǎn)評(píng)本解法瞄準(zhǔn)待求的結(jié)論,先對(duì)給出的條件變形,然后再依據(jù)條件式的特點(diǎn),對(duì)待求式進(jìn)行多輪的變形轉(zhuǎn)化,達(dá)到解題目的.

2 三角換元

點(diǎn)評(píng)如果條件中含有兩個(gè)正項(xiàng)和為1(或某個(gè)特定的值),這就是選用三角換元的重要信號(hào),通過(guò)換元變形,就可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.

3 多次放縮

點(diǎn)評(píng)本題的待求式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,解題過(guò)程中兩次運(yùn)用了基本不等式進(jìn)行放縮,由于連續(xù)放縮時(shí),取等號(hào)的條件一致或互相之間沒(méi)有影響,故而是完全可行的.

點(diǎn)評(píng)本題在將已知條件有效代入并化簡(jiǎn)變形后,出現(xiàn)了使用基本不等式解題的契機(jī),但有關(guān)項(xiàng)不是正數(shù),需要利用絕對(duì)值放縮,注意此處的放縮不影響后面基本不等式的使用條件.

4 替換轉(zhuǎn)化

當(dāng)且僅當(dāng)x＋s＝3時(shí),待求式取得最小值6.

點(diǎn)評(píng)本解法通過(guò)對(duì)所給等式和結(jié)論式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和替換后,為利用基本不等式解題創(chuàng)造了條件,化解了問(wèn)題難點(diǎn).如果沒(méi)有抓住x＋s＞0的特點(diǎn),把x＋t當(dāng)成變?cè)?可能造成解題混亂.

點(diǎn)評(píng)本解法通過(guò)挖掘已知條件,抓住條件式與待求式的關(guān)系,構(gòu)造出可用基本不等式求解的表達(dá)式,化解了問(wèn)題的難點(diǎn).

5 精準(zhǔn)換元

點(diǎn)評(píng)通過(guò)將欲求的表達(dá)式換元后代入已知等式,得到了一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,然后利用方程有實(shí)數(shù)解的原理,根據(jù)根的判別式列出不等式,通過(guò)解此不等式得出答案.

通過(guò)對(duì)幾個(gè)典型題目的分析,列舉了常用的解題方法,可以看到,基本不等式是解決含有多元等式條件的最大值或最小值問(wèn)題的重要方法,當(dāng)然還需要許多其他方法進(jìn)行配合.需要注意的是,含有條件等式問(wèn)題只是諸多利用基本不等式求最值中的重要一類(lèi),還有其他多種題型,限于篇幅,在此不再贅述.

(完)