例談函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

孫叢叢 閆麗平

(山東省榮成市第二中學(xué))

數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過:“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則,無數(shù)內(nèi)容,一種方法,到處可用.”函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法,函數(shù)思想是通過構(gòu)造函數(shù)或建立函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題,達(dá)到解決問題的目的.而方程思想是構(gòu)造方程或建立方程,通過解方程或運(yùn)用方程的特點(diǎn),利用已構(gòu)建的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)解決問題.函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,猶如親兄弟,彼此身上存在對(duì)方的影子,相互滲透.熟練應(yīng)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段必備的數(shù)學(xué)能力,也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).在高考中,一般在數(shù)列、三角函數(shù)、不等式及解析幾何等知識(shí)的交叉處命題,對(duì)思想方法和相關(guān)能力進(jìn)行考查.下面通過具體實(shí)例研究如何利用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)學(xué)問題.

1 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)與方程思想應(yīng)用的完美體現(xiàn),通過構(gòu)造函數(shù),利用該函數(shù)的單調(diào)性求的最大值.眾所周知,數(shù)列是定義域在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù),而等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都具有隱含的函數(shù)關(guān)系,因此解決數(shù)列最值問題或參數(shù)范圍問題的方法如下:1)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式借助函數(shù)單調(diào)性判斷,求出最值;2)當(dāng)表達(dá)式不易判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí),可借助an＋1－an的正負(fù)判斷單調(diào)性.借助函數(shù)與方程的思想研究、解決數(shù)列中的最值問題,不僅能獲得簡便的解法,而且能促進(jìn)思維能力的發(fā)展,提高發(fā)散思維水平.

2 函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2已知關(guān)于x的方程sin2x＋acosx－2a＝0有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析上式可轉(zhuǎn)化為1－cos2x＋acosx－2a＝0.令t＝cosx,t∈[－1,1],則方程可轉(zhuǎn)化為t2－at＋2a－1＝0,令f(t)＝t2－at＋2a－1,則問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(t)在[－1,1]上有零點(diǎn)的問題,則f(－1)f(1)≤0或解得0≤a≤4－.

點(diǎn)評(píng)研究含參數(shù)的三角函數(shù)方程的問題,通常有兩種解法:一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù),將方程有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題;二是換元,將復(fù)雜的方程問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的二次方程,進(jìn)而利用二次方程根的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)解決.

3 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1,若對(duì)于x∈[1,3],f(x)＜－m＋4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( ).

解析由f(x)＜－m＋4,可得m(x2－x＋1)＜5.

當(dāng)x∈[1,3]時(shí),x2－x＋1∈[1,7],所以不等式f(x)＜－m＋4等價(jià)于

點(diǎn)評(píng)在解決不等式的問題時(shí),可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,這樣就可以借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題.比如,不等式恒成立問題、有解問題、比較大小問題,往往可以利用構(gòu)造新函數(shù)的思想解決.充分應(yīng)用函數(shù)與方程的思想解決不等式問題,讓我們站在更高的角度思考不等式的應(yīng)用,有助于學(xué)生更好地理解和運(yùn)用不等式知識(shí).

4 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

例4已知橢圓＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn),離心率為

(1)求橢圓E的方程;

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A,F分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)F作直線交橢圓E于M,N兩點(diǎn),求四邊形OMAN面積的最大值.

點(diǎn)評(píng)最值問題一直是高考的熱點(diǎn),在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解這類范圍、最值問題的一般思路為根據(jù)題意結(jié)合圖形尋找函數(shù)關(guān)系,借助函數(shù)值域、最值的探求方法解決問題.

通過上述例題的分析,我們看到函數(shù)與方程之間存在密切聯(lián)系,兩者之間的辯證統(tǒng)一形成了函數(shù)與方程思想,為解決函數(shù)和方程問題提供了思路.因此,高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要重視函數(shù)與方程思想,通過完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu),提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決和探究能力,提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

鏈接練習(xí)

1.已知f(x)＝log2x,x∈[2,16],對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m,使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為( ).

A.(－∞,－2] B.[2,＋∞)

C.(－∞,－2]∪[2,＋∞) D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

鏈接練習(xí)參考答案

1.D. 2.B. 3.(1)an＝2n;(2).

(完)