深度剖析結(jié)構(gòu)特征,巧妙構(gòu)造比較大小
——2022年新高考Ⅰ卷第7題探究

袁 安

(廣東省廣州大同中學(xué))

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022 年新高考Ⅰ卷7)設(shè)a＝0.1e0.1,＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

本題結(jié)構(gòu)簡潔,提供的信息不多,a是指數(shù)型函數(shù)的值,c是對數(shù)型函數(shù)的值,學(xué)生不能直接計算出各值的大小進而進行比較,各式也沒有統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)形式,不能構(gòu)造簡單的“同結(jié)構(gòu)”函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性比較,也不便用中間值法判斷,所以本題要對三個式子的整體結(jié)構(gòu)進行分析,巧妙配湊構(gòu)造函數(shù)或放縮進行思考.

本題在知識方面主要考查通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式恒成立等問題.試題需要學(xué)生根據(jù)各式的特點進行適當(dāng)?shù)淖冃?整理成有統(tǒng)一特征的式子后,再構(gòu)造“同變量”函數(shù)進行研究.充分考查學(xué)生邏輯推理、推理論證、運算求解等能力,較好地考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心思想與知識,對于學(xué)生運用所學(xué)知識,尋找合理解題策略有較高的要求.

2 多視角分析,多方法探究

2.1 作差,構(gòu)造“同變量”函數(shù)

分析通過認真觀察,可以發(fā)現(xiàn)每個值都可以看作是與0.1 有關(guān)的函數(shù)值,所以對原式進行重新整理,即a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9＝－ln(1－0.1).根據(jù)三個式子的特點構(gòu)造新函數(shù),用導(dǎo)數(shù)工具輔助解決問題.

因為k′(x)＝(－x2－2x＋1)ex,當(dāng)x∈[0,0.1]時,(－x2－2x＋1)＞0,ex＞0,所以k′(x)＞0,k(x)在[0,0.1]上單調(diào)遞增,故k(x)≥k(0)＝0,G′(x)≥0,從而G(x)在[0,0.1]上單調(diào)遞增,又G(0)＝0,所以G(0.1)＞G(0)＝0,所以a＞c.

綜上,c＜a＜b,故選C.

點評構(gòu)造“同變量”函數(shù),難點在于需要根據(jù)給出的式子特點,通過等價變換,找出它們是哪個函數(shù)的函數(shù)值.此類問題配湊、構(gòu)造比較煩瑣,有時配湊可能不合理,還需要進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整并進行再次構(gòu)造.這能充分考查學(xué)生觀察、分析問題以及綜合應(yīng)用多種知識研究解決問題的能力,要求學(xué)生有較強的數(shù)感,同時具備歸納猜想、邏輯推理與推理論證的能力.

2.2 放縮,構(gòu)造常用不等式

點評放縮法也是比較大小最常用的方法之一.本方法對能力要求較高,要總結(jié)出放縮法的常用不等式.

2.3 變換,構(gòu)造二項展開式

所以a＜b.同理,也可以比較a與c的大小,從而得到c＜a＜b,故選C.

點評通過乘方轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)結(jié)構(gòu)的式子,再配湊成二項展開式進行放縮也是證明不等式的常用方法.這種方法配湊技巧較強,展開式的計算過程較繁雜,且難度較大.

2.4 估值,構(gòu)造泰勒展開式

分析本題若使用泰勒展開式來進行估值計算,解題過程更加方便、快捷.

解法4由ex的泰勒展開式,得

點評泰勒展開式是大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容,用泰勒展開式進行估值時,過程更加簡捷,計算相對容易.教師可以將此方法介紹給班級中學(xué)有余力的學(xué)生,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲,使學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)有一定了解,為大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

常用的指數(shù)、對數(shù)、正弦、余弦形式的泰勒展開式如下:

3 試題的再拓展

在實際解題過程中,還有另一類題型:待比較的兩個或多個式子的結(jié)構(gòu)形式基本相同,或通過變形整理后結(jié)構(gòu)形式相同.這類題型往往是通過構(gòu)造“同結(jié)構(gòu)”函數(shù),應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、極值偏移等方法進行比較.

點評因此構(gòu)造函數(shù)f(x)＝.但本題求導(dǎo)后a,b不在同一個單調(diào)區(qū)間上,且離極值點的距離比較相近,但不對稱,所以用單調(diào)性、對稱性、極值偏移沒有辦法解決.觀察a,c,它們有相同的變量3,考慮能否再構(gòu)造“同變量”函數(shù)解決問題.

解由題可知,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝,則f′(x)＝,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,(e,＋∞)上單調(diào)遞減,fmax(x)＝f(e),即c最大,對于a,b,它們不在同一單調(diào)區(qū)間,不能直接比較大小,再認真分析,可以想辦法構(gòu)造以3為變量的“同變量”函數(shù),即

則g(x)單調(diào)遞增,所以g(3)＞g(e)＝0,從而f(3)－,即b＞a.

綜上,c＞b＞a,故選A.

本題結(jié)構(gòu)形式相同,很容易想到構(gòu)造“同結(jié)構(gòu)”函數(shù),利用單調(diào)性解決問題.但實際的解題過程中,發(fā)現(xiàn)a,b并不在同一個單調(diào)區(qū)間,也沒辦法通過轉(zhuǎn)化與化歸的方法把它們轉(zhuǎn)化至同一單調(diào)區(qū)間來比較大小.通過再觀察可以發(fā)現(xiàn)a,b兩數(shù)可以構(gòu)造成含相同變量3的值,所以想到作差構(gòu)造“同變量”函數(shù)來解決問題.這要求學(xué)生對構(gòu)造法有充分的認識,對學(xué)生分析、解決問題能力提出更高的要求.

4 小結(jié)

高考試題從命題角度、題型、難度等方面都進行了充分的考量,是知識、方法、思想、能力的具體展現(xiàn),具有典型性、示范性、指導(dǎo)性的作用,試題蘊含著豐富的背景和數(shù)學(xué)思想.高考試題除了有選拔功能外,還有良好的教學(xué)功能,試題的研究可以幫助我們了解高考方向,把握高考內(nèi)容和難度.因此我們要深入研究高考試題,領(lǐng)悟試題所蘊含的數(shù)學(xué)知識和方法,能通過分析、歸納、類比、拓展、猜想、論證等方法把握試題潛在的本質(zhì)規(guī)律,提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

(完)