不等式恒成立,雙參取值范圍
——2022年高考數(shù)學(xué)浙江卷第9題

尹淑華

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

含多個參數(shù)的不等式恒成立問題,是高考數(shù)學(xué)浙江卷中的一種特色題型,主要考查數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力等.本文結(jié)合一道含參絕對值不等式恒成立的綜合創(chuàng)新題,拓展解題方法,鏈接高考真題,充分展示問題的內(nèi)涵與外延,以期指導(dǎo)數(shù)學(xué)備考與解題研究.

1 真題呈現(xiàn)

例1(2022年浙江卷9)已知a,b∈R,若對任意x∈R,a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,則( ).

A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3

C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3

2 真題剖析

此題以含雙變參的絕對值不等式恒成立創(chuàng)設(shè)情境,題目條件簡潔明了,求解時需要借助恒成立的絕對值不等式來確定雙變參的取值范圍,而雙變量之間的函數(shù)關(guān)系以及不等式恒成立關(guān)系導(dǎo)致問題具有復(fù)雜性與多變性.

3 真題破解

3.1 函數(shù)思維

方法1 (圖像直觀分析法)

由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a|x－b|≥|2x－5|－|x－4|,作出函數(shù)f(x)＝|2x－5|－|x－4|＝的圖像,如圖1 中實(shí)線部分所示,而a|x－b|≥f(x),結(jié)合函數(shù)y＝a|x－b|的圖像(如圖1 中虛線部分),可知1≤b≤3且a≥1.

圖1

結(jié)合各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)信息可知a≥1,b≤3,故選D.

點(diǎn)評對題目條件中的絕對值不等式進(jìn)行恒等變換、分離參數(shù),構(gòu)建函數(shù)并作出函數(shù)的圖像,利用含參函數(shù)圖像的極端點(diǎn)效應(yīng),借助數(shù)形結(jié)合思想方法確定雙參數(shù)的取值范圍.

方法2 (函數(shù)最值分析法)

設(shè)函數(shù)f(x)＝a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|,x∈R,要使得f(x)≥0在R上恒成立,則a＞0,否則f(0)＝a|b|－1＜0.選取x＝b,由f(b)＝|b－4|－|2b－5|≥0,可得|b－4|≥|2b－5|,兩邊同時平方整理可得(b－1)(b－3)≤0,解得1≤b≤3,排除選項(xiàng)A和C.

科學(xué)家分析了超過13.3萬人的數(shù)據(jù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，每周服用325毫克標(biāo)準(zhǔn)劑量阿司匹林2片或更多，患原發(fā)性肝細(xì)胞癌的風(fēng)險降低49%；服用5年以上，風(fēng)險降低59%。研究顯示，服用阿司匹林越久，患肝癌風(fēng)險降低得越多。但停藥后，其效果會逐漸減退。停藥8年后，這種益處就消失了。

點(diǎn)評根據(jù)題目條件中的絕對值不等式恒成立整體構(gòu)建函數(shù),利用不等式恒成立確定參數(shù)a為正數(shù).選取特殊值進(jìn)行消參處理,通過求解不等式確定參數(shù)b的取值范圍,由此加以排除,并利用函數(shù)的最值情況進(jìn)一步確定參數(shù)a的取值范圍.抓住函數(shù)思維,利用函數(shù)與不等式之間的關(guān)系、函數(shù)最值等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

3.2 反證法思維

方法3 (反證法)

若a＜1,則當(dāng)x→＋∞時,可得a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝a(x－b)＋(x－4)－(2x－5)＝(a－1)x－ab＋1＜0,這與條件a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0矛盾,故有a≥1.

若b＞3,則當(dāng)x＝b,3＜b＜4時,有a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝|b－4|－2b＋5＝9－3b＜0;當(dāng)x＝b,b＞4時,有a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝|b－4|－2b＋5＝1－b＜0,這與條件a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0矛盾,故有b≤3.

綜上,可知a≥1,b≤3,故選D.

點(diǎn)評根據(jù)題目條件中絕對值不等式恒成立,通過假設(shè)兩變參的取值范圍,結(jié)合自變量的特殊取值情況加以分析,推理分析得出與條件產(chǎn)生矛盾的結(jié)論,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.

3.3 極端思維

方法4 (極端效應(yīng)法)

當(dāng)x→＋∞時,由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a(x－b)＋(x－4)－(2x－5)≥0,整理有(a－1)x≥ab－1(常數(shù)),則a－1≥0,即a≥1.

選取特殊值x＝b,由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得|b－4|≥|2b－5|,兩邊同時平方并整理可得(b－1)(b－3),解得1≤b≤3.

綜上,可知a≥1,b≤3,故選D.

點(diǎn)評根據(jù)題目條件中絕對值不等式恒成立的條件,通過分析自變量取正無窮的極端效應(yīng),確定參數(shù)a的取值范圍,再利用特殊值法構(gòu)建含參數(shù)b的不等式,進(jìn)而求解不等式確定參數(shù)b的取值范圍.

3.4 特殊思維

方法5 (特殊值驗(yàn)證法)

選取特殊值x＝4,則由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a|4－b|－3≥0,顯然a≠0且b≠4,觀察各選項(xiàng)可知只有a≥1,b≤3符合這個結(jié)論,故選D.

點(diǎn)評選取特殊值代入題目條件中的絕對值不等式,通過含參不等式恒成立確定對應(yīng)參數(shù)的取值情況,并結(jié)合各選項(xiàng)中的參數(shù)取值范圍加以驗(yàn)證.借助特殊值法解題時有可能不能直接確定對應(yīng)參數(shù)的取值范圍,這時需要根據(jù)選項(xiàng)中各相關(guān)參數(shù)的不同取值范圍加以驗(yàn)證與判斷.

4 鏈接高考

以雙變參的不等式恒成立創(chuàng)設(shè)問題情境,是高考數(shù)學(xué)浙江卷的一種特色題型,在以往高考浙江卷中也出現(xiàn)過,只是變換了不等式的類型.

例2(2020年浙江卷9)已知a,b∈R 且ab≠0,對于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0,則( ).

A.a＜0 B.a＞0

C.b＜0 D.b＞0

解析當(dāng)a＝b＝－1時,代入條件關(guān)系式可得(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0上恒成立,此時a＜0且b＜0.當(dāng)a＝1,b＝－1時,代入條件關(guān)系式得(x－1)2(x＋1)≥0在x≥0上恒成立,此時a＞0且b＜0,至此,可以排除選項(xiàng)A,B.

當(dāng)a＝－1,b＝1時,代入條件關(guān)系式可得(x－1)(x＋1)2≥0在x≥0上不恒成立,此時a＜0且b＞0,至此,可以排除選項(xiàng)D.

綜上,選C.

點(diǎn)評當(dāng)然,該問題的破解還可以利用三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解,或借助不等式思維,利用不等式的性質(zhì)或不等式組的求解分類討論等.

5 小結(jié)

5.1 聯(lián)系知識,形成網(wǎng)絡(luò)

函數(shù)、方程與不等式這三者之間,往往各自獨(dú)立又相互聯(lián)系,經(jīng)?？梢约右院愕茸冃闻c巧妙轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)不同知識點(diǎn)之間的跨越,從而形成這三者之間的網(wǎng)絡(luò)體系與綜合應(yīng)用.借助問題的設(shè)置與知識的聯(lián)系,構(gòu)建整個數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系,全面整合,綜合應(yīng)用.

5.2 重視基礎(chǔ),提升能力

對于此類含參不等式恒成立的綜合創(chuàng)新應(yīng)用問題,實(shí)際解決過程中要正確挖掘題目條件,做到心中有“數(shù)”.在平時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,重視數(shù)學(xué)基本功底的鞏固與訓(xùn)練,重視數(shù)學(xué)思維層面的發(fā)散與提升,通過研究典型問題的通性通法,才能以不變應(yīng)萬變.此外,在解題訓(xùn)練中要將基本功底融入解題活動中,將基本方法上升至思維方法與數(shù)學(xué)能力的層面.

(完)