例談基本不等式在高考中的應(yīng)用

謝文龍

(云南省下關(guān)第一中學(xué))

基本不等式的應(yīng)用是近幾年高考考查的熱點(diǎn),基本不等式主要用于判斷數(shù)值的大小、求解取值范圍以及最值,這類問題題型較多,重點(diǎn)考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

1 利用基本不等式比較大小

綜上,a＞b＞c,故選A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了學(xué)生利用基本不等式比較大小,考查學(xué)生分析問題和解決問題能力,解題的關(guān)鍵在于基本不等式的應(yīng)用.

變式已知a＝log75,b＝log97,c＝1.110.1,則a,b,c的大小為( ).

A.c＜a＜bB.a＜b＜c

C.b＜a＜cD.c＜b＜a

解析先分析得到c＞1,0＜a＜1,0＜b＜1,再利用作差法結(jié)合基本不等式判斷a,b的大小.c＝1.110.1＞1.110＝1,a＝log75＜log77＝1,

2 利用基本不等式求范圍

例2(2022 年新高考Ⅱ卷12,多選題)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2＋y2－xy＝1,則( ).

A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1

解析因?yàn)?而x2＋y2－xy＝1可變形為(x＋y)2－1＝3xy≤3)2,解得－2≤x＋y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1 時(shí),x＋y＝－2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí),x＋y＝2,所以A 錯(cuò)誤,B正確.

對(duì)x2＋y2－xy＝1變形可得

所以C正確,D 錯(cuò)誤.

綜上,選BC.

點(diǎn)評(píng)本題考查了利用基本不等式求范圍,考查學(xué)生對(duì)于基本不等式和重要不等式的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化能力.

變式1若a＞0,b＞0,且a＋b＝2,則下列不等式恒成立的是( ).

綜上,選D.

變式2(多選題)已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,則( ).

A.a2＋b2≥

B.lna＋lnb≤－2ln2

C.lnalnb≥(ln2)2

D.a＋lnb＜0

解析利用基本不等式可判斷選項(xiàng)A;利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)B;利用特殊值法可判斷選項(xiàng)C;構(gòu)造函數(shù)f(x)＝1－x＋lnx,利用函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D.

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2),所以a2＋b2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí),等號(hào)成立,故A 正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,令f(x)＝1－x＋lnx(0＜x＜1),則f′(x)＝＞0,所以f(x)在(0,1)上為增函數(shù),因?yàn)?＜b＜1,則f(b)＝1－b＋lnb＝a＋lnb＜f(1)＝0,故D 正確.

綜上,選ABD.

3 利用基本不等式求最值

例3(2022年全國甲卷理16)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB＝120°,AD＝2,CD＝2BD.當(dāng)取得最小值時(shí),BD＝_________.

例4(2022年新高考Ⅰ卷18)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

變式3在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC＝120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD＝1,則4a＋c的最小值為________.

當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a＝3時(shí),等號(hào)成立,則4a＋c的最小值為9.

(完)