函數(shù)視角下2022年高考試題中的比較大小問題

谷紅霞

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué))

在數(shù)學(xué)中,比較大小的過程本質(zhì)上是確定兩個對象的不等關(guān)系.這類問題能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),應(yīng)用“函數(shù)、方程與不等式”的基礎(chǔ)知識解決問題的能力.除利用不等式的基本性質(zhì)或基本不等式比較大小外,常用的方法還有特殊值法、作差(商)法、介值法、函數(shù)法.與此同時,近年來高考試題呈現(xiàn)出在高等數(shù)學(xué)視角下命題的趨勢,這要求學(xué)生能靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識解決問題,也引導(dǎo)教師在復(fù)習(xí)備考中要深入淺出.

1 在知識體系中分析高考命題的角度

從高等數(shù)學(xué)的視角看函數(shù),最為簡樸的可以說是多項式函數(shù),要研究一般函數(shù)在某點鄰域的局部性質(zhì),可以用多項式函數(shù)局部逼近它,從而把此函數(shù)在某點的局部性質(zhì),歸于這個多項式函數(shù)的局部性質(zhì)去研討.泰勒定理幫助函數(shù)實現(xiàn)了“局部多項式化”.

人教A 版普通高中數(shù)學(xué)教科書《必修第一冊》第五章三角函數(shù)的復(fù)習(xí)參考題第26題中,提到了英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的公式.如果用高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的眼光看高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式,就是用常數(shù)與冪函數(shù)進行加減乘除運算表示分式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).而略去展開式中三次方及以上的項,一側(cè)就出現(xiàn)了更為熟知的二次函數(shù),便可以得到如下不等關(guān)系.

如果將不等式兩側(cè)各看作一個函數(shù),再給定一個自變量的取值,就是兩個函數(shù)對應(yīng)函數(shù)值的比較,一個個比較大小的題目就出現(xiàn)了,如:

從函數(shù)圖像上看,如果每個不等式中涉及的兩個函數(shù),在某點附近二者的圖像幾乎要“貼”在一起了,難分彼此,那么用“圖像法”比較兩個量的大小就非常困難.

例如,利用圖1比較y＝與y＝1＋x＋x2在x＝0.1處的函數(shù)值的大小;利用圖2比較y＝ex與y＝1＋x＋在x＝0.2處的函數(shù)值的大小;利用圖3比較y＝cosx與y＝1－在x＝處的函數(shù)值的大小;利用圖4比較y＝ln(1＋x)與y＝x－在x＝0.1處的函數(shù)值的大小.這時就需要調(diào)整思路,從不同的角度構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,通過函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

圖1

圖2

圖3

圖4

2 體會應(yīng)用基礎(chǔ)知識解高考真題的過程

不等式與函數(shù)的結(jié)合不僅是知識的結(jié)合,更是知識與方法的交會.通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,不僅能夠迅速找到解決問題的途徑,而且能夠使繁雜的研究對象變得簡單.這樣可以很好地考查高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識,而構(gòu)造函數(shù)則較好地考查了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),解決問題的過程則考查了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與推理論證能力.

2.1 比較結(jié)構(gòu)細思量,同構(gòu)異量用函數(shù)

例1(2022 年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

A.a＞0＞bB.a＞b＞0

C.b＞a＞0 D.b＞0＞a

解析觀察a與b的結(jié)構(gòu),容易想到函數(shù)f(x)＝xm－(x＋1),根據(jù)9m＝10 等價變形得到m＝log910＞1.由于a＝f(10),b＝f(8),所以只需用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)f(x)＝xm－(x＋1)在(7,＋∞)上的單調(diào)性.f′(x)＝mxm－1－1＞0(m＞1)在x∈(7,＋∞)上恒成立,所以原函數(shù)f(x)在(7,＋∞)上單調(diào)遞增,f(8)＜f(9)＜f(10).又f(9)＝9m－10＝0,所以a＞0＞b,故選A.

2.2 結(jié)構(gòu)不同再觀察,同量異構(gòu)用函數(shù)

例2(2022年新高考Ⅰ卷7)設(shè)a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

解析顯然a,b,c在結(jié)構(gòu)上不具有共性,觀察其對應(yīng)的數(shù)字,聯(lián)想到0.9＝1－0.1,可以將其中的數(shù)字化異為同.故

下面比較b,c的大小,利用函數(shù)G(x)＝ln(1－x)在(0,1)上單調(diào)遞增,得到G(0.1)＞G(0)＝0,即b＞c.

此時必須比較a與c的大小,可設(shè)H(x)＝xex＋ln(1－x),則

當(dāng)0＜x＜0.1 時,m′(x)＜0,函數(shù)m(x)＝ex(x2－1)＋1單調(diào)遞減.又m(0)＝0,所以m(x)＜0,H′(x)＞0,則H(x)單調(diào)遞增,H(0.1)＞H(0)＝0,即0.1e0.1＞－ln0.9,所以a＞c.

綜上,選C.

2.3 常見函數(shù)心中系,量變形變有聯(lián)系

3 從解題實踐中提煉的方法

3.1 理解學(xué)生,總結(jié)經(jīng)驗

要鼓勵學(xué)生積極探討解題思路,給予學(xué)生試錯的機會.如解例3 時有學(xué)生先考慮b＝cos,c＝4sin,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝cosx－4sinx,想利用f(x)在(0,)上單調(diào)遞減進行比較.由可得,但,所以這個函數(shù)不利于比較大小.也有學(xué)生令a＝＝1－4×()3,設(shè)函數(shù)g(x)＝cosx－(1－4x3),考慮利用g(x)的單調(diào)性求解,但g′(x)＝－sinx＋12x2,不容易判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).這些想法的產(chǎn)生是自然的,值得肯定.但從另一方面看,這個構(gòu)造函數(shù)的思考過程過于片面,顯然對知識間聯(lián)系的認(rèn)識不夠.

3.2 用好教材,一題多解

在高三復(fù)習(xí)時,利用教材中的題目,從不同的角度分析問題,打破原有學(xué)習(xí)過程中知識模塊間的壁壘,可以啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性地應(yīng)用知識解決問題.教材中有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)比較大小的例題和習(xí)題,可以借助不同題目,體會用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的優(yōu)越性.如題目“比較log23,log34,log45 的大小”,可以通過結(jié)構(gòu)上的相似性讓學(xué)生嘗試構(gòu)造函數(shù).將三個量分別等價變形為,則只需研究函數(shù)y＝在[2,＋∞)上的單調(diào)性.易知y＝在[2,＋∞)上是減函數(shù),于是得到如果說一題多解可以打開思路,讓人豁然開朗,那么不同時期講解同一道題就意在突出不同的知識與方法,則耐人尋味.

3.3 關(guān)注思維,教之以法

解題應(yīng)著眼于思考,正如約翰·杜威在《How We Think》的開篇中談到的:思維的緣由是遇到了某種困惑或懷疑.思維需要引導(dǎo)以實現(xiàn)價值;思維需要經(jīng)常調(diào)節(jié)以避免輕信;思維需要通過調(diào)節(jié)使推理成為證明.

首先,保有好奇心.通過觀察弄清問題或困難是什么;從局部、凌亂的信息出發(fā),聯(lián)想、分析、推測,直至了解整體的情況.讓好奇心成為整個過程的源動力.

其次,經(jīng)常聯(lián)想.在解題中,要思索,尤其是推測、聯(lián)想出可能的解決方法.而聯(lián)想有快有慢、有寬有窄、有深有淺,沒有好壞之分,久而久之便有了“方向感”.

最后,有條理性地表達和總結(jié).在解題后,不僅做到有條理地表達清楚,還要總結(jié)成敗經(jīng)驗.此時仍要進行觀察,吸取教訓(xùn),吃一塹長一智.結(jié)合已有經(jīng)驗中的不足,將最初看起來相互分離的條件連接到一起,這個過程好似各自歸位卻又渾然一體.

(完)