初中幾何綜合題的解題策略

?廣西壯族自治區(qū)柳州市柳城縣教育局教研室 何愛美

1 綜合分析法

綜合分析法具體是指同時(shí)對條件和所求結(jié)論進(jìn)行分析，結(jié)合問題所給信息和問題所求進(jìn)行理解、聯(lián)想和推導(dǎo)，找到已知條件和問題所求的中間關(guān)聯(lián)點(diǎn)，使已知和未知產(chǎn)生連接.這種同時(shí)對條件和問題所求進(jìn)行分析解題的方法，也被稱為“兩頭湊”.

例1已知AD是圓O的的直徑，CE⊥AD于點(diǎn)E，連接AC，過A點(diǎn)任作圓O的弦AB交CE(或其延長線)于點(diǎn)F.

求證：AC2=AF·AB.

分析：如圖1，根據(jù)已知條件和具體圖形如△ACE∽△ADC，可知AC2=AE·AD.

圖1

因?yàn)樾枰C明的結(jié)論為AC2=AF·AB，所以可轉(zhuǎn)化為證明AE·AD=AF·AB.

2 方程法

方程法就是利用方程的思想來在幾何圖形中設(shè)置未知數(shù)溝通已知和未知的關(guān)系，然后通過建立方程組求出未知數(shù)，最終解決問題的一種思想方法.這種方法在幾何類綜合題的解題過程中的運(yùn)用非常廣泛.一般來說，能夠找到線段、角度之間等量關(guān)系的幾何問題都可以考慮運(yùn)用方程法求解.

例2如圖2，AB是圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，圓C切AB于點(diǎn)D，交圓O于點(diǎn)E，F(xiàn),連接EF交CD于點(diǎn)M.

圖2

求證：CM=MD.

證明：設(shè)CM=x，MD=y，延長CD交圓O于點(diǎn)G，交圓C于點(diǎn)H，如圖3所示.

圖3

由垂徑定理和切線性質(zhì)，可得CD=DG.

由相交弦定理，可知

EM·MF=CM·MG=MD·MH.

即x(y+x+y)=y(x+x+y).

故x=y.

即CM=MD.

3 數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合法，就是同時(shí)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系和具體圖象性質(zhì)解答問題的方法.在幾何類綜合題解題過程中，主要有以數(shù)化形或以形代數(shù)兩種解題思路.

圖4

解：由題意可得，線段BE，AE的長度隨內(nèi)接正方形ABCD的位置的變化而變化.

由勾股定理,可得BE2+AE2=p2.

∵BF=AE,

∴BE2+BF2=p2.

又∵BE+BF=q,

∴BE2+BF2=(BE+BF)2-2BE·BF.

即p2=q2-2BE·BF.

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又∵BE，BF>0，

4 化歸轉(zhuǎn)化法

化歸轉(zhuǎn)化法是指將需要解決的幾何問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的問題來解決的方法.這種方法可以化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體，通過研究數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終解決問題.

例4如圖5，已知△ABC的面積為12，BC=6,BC上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D,連接PA,假設(shè)PB=x，當(dāng)x為何值時(shí)，△PAD的面積有最大值？最大面積是多少？

圖5

分析：求S△PAD的最大值，首先根據(jù)公式得到關(guān)于x的具體表達(dá)式.由于△PAD中沒有與x有關(guān)聯(lián)的直接條件，故解題的關(guān)鍵在于找出△PAD與PB存在的間接關(guān)系，并列出關(guān)系式.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)所求三角形面積S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD，因此本題可以轉(zhuǎn)化為以下思路求解：

(1)求S△ABP關(guān)于x的解析式；

(2)求S△PCD關(guān)于x的解析式；

(4)求SPAD有最大值的x的值，并求出面積的最大值.

解：(1)由S△ABC=12，BC=6，可得△ABC的BC邊上的高為4，則△ABP中BP邊上的高也為4，因此S△ABP=2x.

(2)由PD∥AB，可得△DPC∽△ABC.

(3)S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD

(4)當(dāng)x-3=0，即x=3時(shí)，S△PAD有最大值，△PAD的面積的最大值是3.

例5如圖6所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AD=CD,AC交BD于點(diǎn)E.

圖6

求證：AD·CD-AE·EC=DE2.

分析：問題需要證明的等式左右兩邊形式不一致，解題時(shí)應(yīng)考慮化簡較為復(fù)雜的一邊，故首先化簡等式的左邊.

要證明AD·CD-AE·EC=DE2，等價(jià)于證明

BD·DE-AE·EC=DE2.

移項(xiàng)可得BD·DE-DE2=AE·EC，即

DE(BD-DE)=AE·EC.

故等價(jià)于證明DE·BE=AE·EC.

顯然，運(yùn)用相交弦定理很容易得到這一結(jié)論，因此這道題就能得到完整地解決.

總而言之，幾何類綜合題在中考試卷中所占分值不容忽視，教師應(yīng)當(dāng)歸納常見的解題策略以幫助學(xué)生靈活應(yīng)對各種題型，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與效率.