基于認(rèn)知 建立聯(lián)系 發(fā)展能力
——以“線與角專題復(fù)習(xí)課”為例談初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

?江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 成宏喬 劉丹丹

1 前言

傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課偏向于解題訓(xùn)練，用所謂的“新題目”來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生“舊知識(shí)”的掌握情況，往往效果不理想，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)還是零散的、孤立的、碎片化的.當(dāng)下，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的背景下，復(fù)習(xí)課應(yīng)該怎么實(shí)施值得我們教學(xué)工作者研究.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該以結(jié)構(gòu)化的方式進(jìn)行知識(shí)、過(guò)程、方法的梳理和總結(jié)，在構(gòu)建過(guò)程中“引領(lǐng)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)思想的核心統(tǒng)領(lǐng)作用，構(gòu)建一個(gè)既有肉體又有靈魂的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)”[1]，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)整體上進(jìn)行認(rèn)知、學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)及方法遷移，提升學(xué)科素養(yǎng).筆者結(jié)合最近聽(tīng)的一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課(蘇教版七年級(jí)上冊(cè)第六章的“線與角專題復(fù)習(xí)課”)以及不滿意后再次呈現(xiàn)的過(guò)程談?wù)勛约旱南敕?，現(xiàn)將兩節(jié)課的內(nèi)容、集體研討及思考與大家分享交流，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

2 初次呈現(xiàn)

2.1 概念復(fù)習(xí)

上課伊始，教師就拋出了三個(gè)問(wèn)題：說(shuō)出線段、射線、直線的區(qū)別？一條線段除兩個(gè)端點(diǎn)外還有三個(gè)點(diǎn)，則這條線段上共有多少條線段？如果一個(gè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則可以得到什么？

說(shuō)明：教師授課“開(kāi)門見(jiàn)山”，直接呈現(xiàn)課題，告知學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)線的概念、表示及中點(diǎn)的復(fù)習(xí)，簡(jiǎn)潔有層次，復(fù)習(xí)效果好、氛圍佳.

2.2 習(xí)題鞏固

在復(fù)習(xí)概念后，教師通過(guò)課件呈現(xiàn)了難度遞增的3道題目，和學(xué)生一起分析完成，并強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)規(guī)范.

說(shuō)明：限于篇幅，題目不呈現(xiàn)，在本環(huán)節(jié)中，教師能給學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的機(jī)會(huì)，并及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，梳理了解題思路，發(fā)展了邏輯水平.

2.3 對(duì)比聯(lián)系

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類比線段的概念、表示、中點(diǎn)等概念對(duì)角的概念、表示、角平分線等知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，并有意識(shí)地準(zhǔn)備了3道與“習(xí)題鞏固”環(huán)節(jié)中相類似的題目進(jìn)行練習(xí).

說(shuō)明：限于篇幅，題目不呈現(xiàn)，教師有意識(shí)的課堂設(shè)計(jì)，通過(guò)類比，凸顯了角與線知識(shí)間的聯(lián)系，更強(qiáng)調(diào)了方法的統(tǒng)一.從課堂觀察來(lái)看，學(xué)生經(jīng)過(guò)上一個(gè)環(huán)節(jié)的訓(xùn)練，本環(huán)節(jié)題目的正確率提高不少.

2.4 拓展延伸

在“對(duì)比聯(lián)系”環(huán)節(jié)學(xué)生完成情況較好的基礎(chǔ)上，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行了肯定，也鼓勵(lì)學(xué)生注意歸納思路、提煉方法.之后，教師分別呈現(xiàn)了兩道關(guān)于線和角的拓展題讓學(xué)生練習(xí).

例已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，且AB=12 cm，BC=4 cm.點(diǎn)M，N分別是線段AB，BC的中點(diǎn).求線段MN的長(zhǎng)度.

練習(xí) 在平面內(nèi)，已知一條射線OA，若從點(diǎn)O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度數(shù).

說(shuō)明：本環(huán)節(jié)兩道題的難度高于之前課堂練習(xí)的題目，顯著的變化就是沒(méi)有圖形，需要學(xué)生自己畫(huà)圖，對(duì)于各種情況需要有分類的意識(shí).從學(xué)生的反應(yīng)來(lái)看，本班不少學(xué)生訓(xùn)練有素，題目出來(lái)后，立馬就喊出“沒(méi)圖要考慮多解”，以至于其他同學(xué)在解題時(shí)有意識(shí)地考慮多種情況.

2.5 形成結(jié)構(gòu)

最后，教師在強(qiáng)調(diào)線和角有密切聯(lián)系之后，對(duì)本章的部分知識(shí)進(jìn)行了梳理呈現(xiàn)(見(jiàn)圖1).

圖1

說(shuō)明：由于時(shí)間關(guān)系，教師只是呈現(xiàn)了自己梳理的知識(shí)框架，旨在引導(dǎo)學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)展和聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu).

3 學(xué)科研討

本節(jié)課后，聽(tīng)課教師和授課教師均覺(jué)得本課不是特別理想，但對(duì)于怎樣才能上好這節(jié)課又有一定的困惑，于是就把本節(jié)課的教學(xué)作為教研素材，學(xué)科組進(jìn)行研討，梳理了教材的結(jié)構(gòu)和學(xué)情，在充分交流修改后在另一個(gè)班重新執(zhí)教.

3.1 教材分析

本節(jié)課是階段復(fù)習(xí)課，教師在充分理解教材的基礎(chǔ)上才不至于有教學(xué)偏差.從全章的知識(shí)來(lái)看，線和角的內(nèi)容是以線段為邏輯起點(diǎn)，形式上是由“單線”到“雙線”，方法上是由“形”到“數(shù)”(如圖2).所以在授課中，要引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)知識(shí)的發(fā)展，形成知識(shí)結(jié)構(gòu).正如布魯納所言，記憶保持的重要問(wèn)題不是貯存，而是運(yùn)用時(shí)“如何把用到的知識(shí)易于提取”.雜亂無(wú)章的知識(shí)堆積，不利于問(wèn)題的解決，更發(fā)展不了學(xué)生的能力.當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)不局限于單一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而是將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)點(diǎn)成線，再將形成的知識(shí)鏈條形成網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成一個(gè)完整的體系[2]，學(xué)生就易于“提取”知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，讓所學(xué)內(nèi)容既是“知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”亦是“能力延伸點(diǎn)”.

圖2

3.2 學(xué)情分析

進(jìn)入初中后，學(xué)生第一次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)平面圖形知識(shí)，打下扎實(shí)的基礎(chǔ)有利于空間觀念的形成和邏輯思維的培養(yǎng)，本章的重要性不言而喻.通過(guò)階段學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步掌握線與角的基本知識(shí)以及一些基本的解題方法，但缺少知識(shí)的梳理和方法的提煉.課堂上需要給學(xué)生更多的時(shí)間領(lǐng)悟過(guò)程結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，從而提升對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，這也是本節(jié)課學(xué)習(xí)的價(jià)值所在.填鴨式的教學(xué)只會(huì)讓學(xué)生通過(guò)記憶來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，頂多是應(yīng)付考試，卻不能促進(jìn)智力、能力的發(fā)展，教育的目標(biāo)并不在于增加知識(shí)量，而在于提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力和運(yùn)用能力.

4 再次呈現(xiàn)

4.1 暢所欲言

教師通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考和交流：①通過(guò)線段的學(xué)習(xí)，談?wù)勀銓?duì)線段的認(rèn)識(shí)？②和線段相比，角又有哪些知識(shí)讓你印象比較深刻？

說(shuō)明：本環(huán)節(jié)設(shè)置了開(kāi)放問(wèn)題，否定了列表、填表的想法，沒(méi)有框架的束縛.學(xué)生自由思考、梳理知識(shí)并充分表達(dá)，在一次次的交流中，同學(xué)們?cè)絹?lái)越清晰地認(rèn)識(shí)到線與角的特點(diǎn)和聯(lián)系.同時(shí)，課堂的氛圍很好，學(xué)生踴躍作答，課堂的主體性得到充分體現(xiàn).

4.2 集思廣益

師：我們學(xué)習(xí)了知識(shí)，更要會(huì)運(yùn)用知識(shí).本章的內(nèi)容是很好的載體，通過(guò)解題不僅可以提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還可以發(fā)展空間觀念和邏輯思維.下面我們一起解決下面的問(wèn)題.

例1如圖3，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC=15 cm，CB=9 cm，D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng).

圖3

教師和同學(xué)們一起完成后，教師進(jìn)而提出：本題的關(guān)鍵是分析出線段DE=AE-AD，如果改變題目的條件，我們來(lái)看看式子如何變化？若改為D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，其他條件不變，則線段DE的長(zhǎng)為多少?

說(shuō)明：本環(huán)節(jié)從一道綜合題入手，分別復(fù)習(xí)了線段的和差、中點(diǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，更重要的是教會(huì)學(xué)生結(jié)合圖形分析問(wèn)題.通過(guò)改變題目條件和圖形進(jìn)行變式訓(xùn)練，避免了碎片化處理，讓學(xué)生在變化過(guò)程中認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì).經(jīng)過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)提出“條件中線段AB改為直線AB則需要分類討論”，甚至有部分同學(xué)已經(jīng)有了模型思想(兩個(gè)中點(diǎn)所連線段的長(zhǎng)度都可以轉(zhuǎn)化為原來(lái)兩條線段長(zhǎng)度的和差關(guān)系).這樣的復(fù)習(xí)才是高效的，讓不同層次的學(xué)生有不同的收獲.

4.3 觸類旁通

師：在例1的研究中，我們通過(guò)改編題目，把握住了問(wèn)題的本質(zhì)，從會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，這是思考的價(jià)值.對(duì)于下面這道例題，你們準(zhǔn)備用什么方法來(lái)解決？

例2如圖4，BD平分∠ABC，且∠ABE∶∠CBE=2∶5，若∠DBE=21°，求∠ABC的度數(shù).

圖4

說(shuō)明：本環(huán)節(jié)教師沒(méi)有讓學(xué)生完整地解答，而是花較多的時(shí)間給學(xué)生思考、討論和交流，讓學(xué)生談看法和想法.如表示∠DBE，既可以用∠DBE=∠ABD-∠ABE，也可以用∠DBE=∠EBC-∠CBD.學(xué)生有了之前的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合本題的已知條件(有角之間比的關(guān)系)，很快找到了方法，甚至在課堂中學(xué)生還提出可以增加一條角平分線的想法.這不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和表達(dá)意愿，同時(shí)也拓寬了學(xué)生思維的寬度.

4.4 總結(jié)評(píng)價(jià)

師：這節(jié)課同學(xué)們積極思考，踴躍發(fā)言，通過(guò)彼此交流，一定收獲不少，請(qǐng)和同學(xué)們交流你的學(xué)習(xí)心得.

在學(xué)生充分交流后，教師又組織學(xué)生根據(jù)例2的背景自編一道題，根據(jù)自編情況的呈現(xiàn)給出評(píng)價(jià).最后在一片歡聲笑語(yǔ)中結(jié)束了本節(jié)課的教學(xué).

說(shuō)明：課堂總結(jié)沒(méi)有長(zhǎng)篇大論，只是把學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容在黑板上聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)“可視化”的方式進(jìn)行了知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了“從單線到雙線”“從形到數(shù)”以及“類比”“分類”“方程”等思想方法，這些均是課堂的自然生成.而題目自編的過(guò)程，則是對(duì)解題方法的提煉，給學(xué)生充分展示的舞臺(tái)并給予學(xué)生適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià).課堂中，學(xué)生的編題不僅有兩條角平分線的模型題，還有令人驚嘆的圖形旋轉(zhuǎn)題，在感嘆學(xué)生創(chuàng)造力的同時(shí)，也是對(duì)本節(jié)課充分的肯定.

5 教學(xué)思考

從前后兩次的呈現(xiàn)來(lái)看，雖然后一節(jié)課訓(xùn)練不多，但明顯學(xué)生學(xué)得更自主、更高效、更快樂(lè)，這值得我們思考.筆者認(rèn)為初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì).

5.1 基于學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行逆向思考，處理好訓(xùn)練和引導(dǎo)的關(guān)系

課堂實(shí)施需考慮學(xué)生的認(rèn)知水平，包括學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)心理，再結(jié)合教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行逆向思考，找到學(xué)生現(xiàn)有水平與課堂實(shí)施目標(biāo)的差距，從而對(duì)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)和論證.如初次呈現(xiàn)的案例中，大量的練習(xí)是不是學(xué)生所需要的就是我們應(yīng)該考慮的問(wèn)題，尤其復(fù)習(xí)課，沒(méi)有新意的反復(fù)練習(xí)會(huì)讓學(xué)生感到枯燥乏味，機(jī)械化訓(xùn)練提高的頂多是應(yīng)試能力，他們的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力得不到應(yīng)有的發(fā)展.所以說(shuō)，數(shù)學(xué)需要適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，但更多的應(yīng)該是體現(xiàn)教育的喚醒價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)方法的歸納，結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣，這樣才能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5.2 根據(jù)知識(shí)的發(fā)展建立單元結(jié)構(gòu)，處理好整體和局部的關(guān)系

單個(gè)知識(shí)點(diǎn)是零散的、孤立的，數(shù)學(xué)課堂要呈現(xiàn)知識(shí)的生成和發(fā)展.在教會(huì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，應(yīng)該把知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)鏈，幫助學(xué)生從整體出發(fā)進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)，建立知識(shí)間的聯(lián)系及對(duì)知識(shí)本質(zhì)的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步理解知識(shí)、理解數(shù)學(xué).如在再次呈現(xiàn)的案例中，讓學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)到從“單線”到“雙線”的知識(shí)建構(gòu)，優(yōu)化認(rèn)知，便于局部知識(shí)的理解和難點(diǎn)的突破.正因?yàn)橹R(shí)間的密切聯(lián)系，才有了思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法一致性，從“形的認(rèn)識(shí)”到“數(shù)的計(jì)算”，表面上是梳理了知識(shí)間的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是培養(yǎng)了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維和遷移能力.

5.3 注重學(xué)生的發(fā)展設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，處理好教知識(shí)和育全人的關(guān)系

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心任務(wù)是提升學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)助力學(xué)生成長(zhǎng).基于學(xué)生發(fā)展和數(shù)學(xué)理解的課堂應(yīng)該凸顯學(xué)生的主體地位，教師建立大教育觀念，在課堂上讓學(xué)生經(jīng)歷思考、表達(dá)和合作，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力，正如史寧中先生所言“創(chuàng)造力應(yīng)當(dāng)從基礎(chǔ)教育抓起”.數(shù)學(xué)課堂不僅傳授知識(shí)，更要育人.教師要從“怎樣好教”到“怎樣教好”，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)”到“會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)”.在再次呈現(xiàn)的案例中，變式的訓(xùn)練和解題方法的多樣性強(qiáng)調(diào)了解題的思路和方法，提升了學(xué)生的綜合能力和思維品質(zhì)；開(kāi)放問(wèn)題和自編題目的設(shè)置則給了學(xué)生更廣闊的思考空間和表現(xiàn)舞臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和分享，讓知識(shí)在聯(lián)系中生長(zhǎng).這樣的課堂培育全面發(fā)展的學(xué)生，也是數(shù)學(xué)課堂的生命力所在.