深入探究基本圖形 漸次展開一題一課
—— 以“相似三角形的判定”單元復(fù)習(xí)課為例

?廣東省深圳科學(xué)高中龍崗分校 洪順慶

?浙江省杭州市余杭區(qū)海辰中學(xué) 程龍軍

1 引言

單元復(fù)習(xí)的主要功能是回顧知識(shí)和解決問題.傳統(tǒng)復(fù)習(xí)方式習(xí)慣于知識(shí)梳理、例題講評(píng)、鞏固訓(xùn)練式的流程，導(dǎo)致課堂存在“大容量、小問題，淺思考”的現(xiàn)象，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題淺嘗輒止.為此，筆者提出“一題一課”的單元復(fù)習(xí)形式，通過對(duì)問題的不斷分析、不斷聯(lián)系、不斷深入，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生討論，提供更多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生整體性、系統(tǒng)性、綜合性的思維方式，從而讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.下面以滬科版九年級(jí)上冊(cè)“22.2 相似形的判定”單元復(fù)習(xí)為例，探討一題一課式單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì).

2 內(nèi)容解析

本單元是滬科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第22章的第二單元，在全等三角形和比例線段的相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上，研究相似三角形的預(yù)備定理和四個(gè)判定定理.這些內(nèi)容為發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力提供了重要素材，也為后續(xù)學(xué)習(xí)圓和三角函數(shù)的內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).與全等三角形相比，本單元基本圖形眾多，基于比例式的邏輯推理較為抽象，學(xué)生在之前的新授課學(xué)習(xí)中，還不能深刻理解和應(yīng)用基本圖形，也不能熟練運(yùn)用比例式進(jìn)行變形和推理.因此，單元復(fù)習(xí)課中亟需加強(qiáng)對(duì)判定定理的理解與應(yīng)用，構(gòu)建各知識(shí)點(diǎn)和基本圖形之間的關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu).基于上述考慮，特制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

(1)理解相似三角形中基本圖形的相互關(guān)系；

(2)會(huì)利用相似三角形的判定解決一些問題；

(3)經(jīng)歷基本圖形邏輯關(guān)系的探索過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性.

3 教學(xué)過程

3.1 溫故知新

問題1相似三角形的判定有哪些？類比全等三角形，說說兩類判定之間的聯(lián)系.

教學(xué)說明：學(xué)生逐條梳理相似三角形的判定，得到幾個(gè)判定之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系(如圖1)，然后類比全等三角形，說明全等和相似之間特殊與一般的關(guān)系.復(fù)習(xí)課一方面要了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，使復(fù)習(xí)更有針對(duì)性；另一方面也要體現(xiàn)單元知識(shí)的結(jié)構(gòu)，這也是它功能和價(jià)值的體現(xiàn)，表現(xiàn)在已經(jīng)了解幾何知識(shí)學(xué)習(xí)流程的基礎(chǔ)上，明確研究思路和研究方法，形成框架性的總結(jié)，為后續(xù)的靈活運(yùn)用做準(zhǔn)備.

圖1

3.2 合作探究

問題2如圖2，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的一點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)合適的條件，使△ABC與△ADE相似.

圖2

教學(xué)說明：在學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，平行或斜交原三角形可以得到“A型相似”和“反A型相似”，這是解本題的依據(jù)和突破口，其中圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程也是復(fù)習(xí)課要關(guān)注的.借助圖形和相似三角形的判定，從角和邊兩個(gè)角度自主探究，可能的結(jié)論如下.

圖3

圖4

本題設(shè)置了一個(gè)入口寬且解法多樣的開放性問題，有效整合了學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中的零散知識(shí).學(xué)生既可以從角又可以從邊的角度去補(bǔ)充條件.較問題1，問題2體現(xiàn)出將學(xué)生的認(rèn)知從識(shí)記提升到理解和應(yīng)用的層次，并迅速吸引了學(xué)生眼球，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

問題3如圖5，當(dāng)∠1=∠ACB時(shí)，連接BE,CD交于點(diǎn)F，試猜想圖中有幾對(duì)相似三角形，并證明你的猜想.

圖5

教學(xué)說明：學(xué)生分組討論并猜想圖中的相似三角形，可能的答案有①△ADE∽△ACB,②△ABE∽△ACD,③△FDB∽△FEC,④△FDE∽△FBC，等等.教師引導(dǎo)學(xué)生明確思路，依次證明①②③④.本題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是由△ADE∽△ACB推導(dǎo)出△ABE∽△ACD，二是由△FDB∽△FEC推導(dǎo)出△FDE∽△FBC.教師需要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析比例式并根據(jù)需要適當(dāng)變形，尋找已知條件和目標(biāo)的差異.學(xué)生也有可能會(huì)猜想△EFD與△EDB相似，對(duì)于這個(gè)假命題，可引導(dǎo)學(xué)生用分析法進(jìn)行推理.假若△EFD∽△EDB，則∠EDF=∠EBD.由∠ECD=∠EBD，可得∠ECD=∠EDC，則有ED=EC.因?yàn)镈E可以平行移動(dòng)，因此ED=EC未必成立.故△EFD與△EDB不一定相似.

問題4如果把問題3中的條件∠1=∠ACB換成∠ECD=∠EBD，上述四對(duì)三角形還能相似嗎？

教學(xué)說明：本題是問題3的一個(gè)變式，通過上題的探究，學(xué)生意識(shí)到只需證明①②即可，而③④無需重新證明.通過此題強(qiáng)化了相似三角形判定的綜合運(yùn)用，并由此得出“如果上述四對(duì)三角形有一對(duì)相似，則其余的三對(duì)也相似”.其實(shí)，例題的選擇不一定要多，有時(shí)只需對(duì)原有問題適當(dāng)變式拓展或綜合利用，就能形成圖形的生長(zhǎng)、知識(shí)的生長(zhǎng)和思維的生長(zhǎng)，達(dá)到舉一反三的效果.

問題5如圖6，當(dāng)∠1=∠ABC時(shí)，連接BE，CD交于點(diǎn)F，圖中有幾對(duì)相似三角形？

圖6

問題3與問題5的圖形都是從一個(gè)母題特殊化得來，圖形結(jié)構(gòu)類似，前者對(duì)后者產(chǎn)生較強(qiáng)的負(fù)遷移，學(xué)生習(xí)慣性地認(rèn)為前面的四個(gè)結(jié)論也成立，加之問題5是開放性問題，這更增加了問題的難度.學(xué)生對(duì)于常見真命題的證明容易上手，而本題是需要證偽.這個(gè)證偽的挑戰(zhàn)性任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了類比和思辨的過程，培養(yǎng)了學(xué)生推理的嚴(yán)密性，發(fā)展了學(xué)生評(píng)價(jià)和質(zhì)疑的能力.

問題6如圖7，當(dāng)∠1=∠ABC時(shí)，連接BE,CD相交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)O，交DE于點(diǎn)M.

圖7

求證：OB=OC.

3.3 總結(jié)回顧

問題7結(jié)合圖8，說說本節(jié)課你應(yīng)用了哪些知識(shí)？有哪些收獲和困惑？

圖8

教學(xué)說明：通過上述圖形的不斷特殊化，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本圖形進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，建立易于理解和遷移的圖式，同時(shí)將相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在其中，有效提高了課堂效率，使得復(fù)習(xí)課同時(shí)具備了總結(jié)、應(yīng)用和探究的功能，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)展了學(xué)生的高階思維能力.

4 教學(xué)思考

4.1 一題一課，提升課堂教學(xué)效率

本節(jié)單元復(fù)習(xí)課區(qū)別于概念加例題的常規(guī)復(fù)習(xí)形式，采用了一題一課、一圖一課的形式，這種形式簡(jiǎn)潔高效，兼顧了知識(shí)回顧和解決問題這兩個(gè)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)，節(jié)省了讀題審題的時(shí)間，減輕了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高了探究意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣；同時(shí)，探究過程兼顧不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，使得不同的學(xué)生在一節(jié)課里可以得到不同的收獲.對(duì)于一題一課的設(shè)計(jì)，首先要選取一個(gè)好的母題，其來源可以是教材中的例題與習(xí)題，也可以是從中提煉出的基本圖形.母題需要與單元知識(shí)點(diǎn)密切相關(guān)，并能夠提供足夠的探究空間，使問題可以不斷生長(zhǎng)，進(jìn)而在解決問題過程中將單元知識(shí)點(diǎn)有序串聯(lián).

4.2 問題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

本節(jié)課從一個(gè)基本圖形入手，回顧相似三角形的判定定理，之后題設(shè)條件漸次增加，在不斷變化的問題情境中，精心建構(gòu)開放性問題，一步步特殊化基本圖形，結(jié)合變式和拓展，形成了由易到難的問題串.這樣的問題設(shè)計(jì)，知識(shí)的運(yùn)用與生成是自然的，又是有跡可循的，學(xué)生容易理解.隨著問題的不斷推進(jìn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)反復(fù)提取和加工，在綜合運(yùn)用單元知識(shí)和思想方法解決挑戰(zhàn)性問題的過程中，經(jīng)歷了應(yīng)用、質(zhì)疑、反思、評(píng)價(jià)等多層次的高階思維，其思維層級(jí)逐漸提高，理解程度逐漸加深，學(xué)生在體驗(yàn)中深刻理解了相似三角形的判定定理，也增強(qiáng)了正確運(yùn)用判定定理的自覺性.

4.3 多維一體，推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)是回顧知識(shí)、訓(xùn)練思維、發(fā)展能力.本節(jié)課從知識(shí)的聯(lián)系出發(fā)，把新課中分幾個(gè)課時(shí)研究的內(nèi)容完整地放到一個(gè)單元復(fù)習(xí)課中，具有結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性、邏輯性，有助于構(gòu)建思維導(dǎo)圖.在溫故知新環(huán)節(jié)，依據(jù)知識(shí)的邏輯關(guān)系把零散的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)建成脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，學(xué)生可以系統(tǒng)了解知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，進(jìn)而理解單元知識(shí)，形成整體架構(gòu).在合作探究環(huán)節(jié)，通過循序漸進(jìn)的問題串，既回顧了單元知識(shí)點(diǎn)，又挖掘了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，如分類思想、轉(zhuǎn)化思想，逆推法、正難則反的策略等，這正是優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵.在總結(jié)回顧環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了本單元中一般圖形與特殊圖形的關(guān)系，形成了知識(shí)結(jié)構(gòu)圖示，方便在使用時(shí)快速提取.從結(jié)構(gòu)化思維的角度來說，單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)是必要的，但更要注重知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)生成和數(shù)學(xué)思想方法的提煉，包括各個(gè)圖形的演變及其相互的聯(lián)系，學(xué)生在經(jīng)歷整理、練習(xí)、對(duì)比、辨析的過程中，可以更好地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí).