規(guī)律源自猜想 精彩源于變式 素養(yǎng)成于實(shí)踐
——以“兩條直線(xiàn)成為折線(xiàn)型平行線(xiàn)的條件”教學(xué)為例

?廣州市駿景中學(xué) 顧桂新

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力.猜想是獲得規(guī)律的方法，在觀察中獲得的特殊例子放到一般情況下看看是否也有這種可能性，即從特殊到一般.一題多解的變式教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，向?qū)W生展示不同的思考過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路，從而讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)有意義地建構(gòu)，也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).基于此，筆者根據(jù)人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)，執(zhí)教了“兩條直線(xiàn)成為折線(xiàn)型平行線(xiàn)的條件”，從“特殊到一般”“一題多解”上下功夫，收獲良多.

1 從特殊到一般，以舊引新，大膽猜想，導(dǎo)出主題

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“平行線(xiàn)的判定方法”“平行線(xiàn)的性質(zhì)定理”等知識(shí)，明確“角的數(shù)量關(guān)系”與“兩直線(xiàn)位置關(guān)系(平行)”之間是可以互推的.如何從這些舊知識(shí)出發(fā)，使學(xué)生想到，“兩條直線(xiàn)成為折線(xiàn)型平行線(xiàn)的條件”呢？

問(wèn)題1我們知道平行線(xiàn)判定方法有四種.如圖1，AB，CD被BD所截，∠B，∠D滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，AB∥CD?

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)態(tài)改變AB的位置，明確“∠B+∠D=180°”與“兩直線(xiàn)平行”可以互推，喚醒學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備.

問(wèn)題2如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜一猜:若AB∥CD,則∠B+∠D與∠BOD須滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系?

圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)增加點(diǎn)O，在兩個(gè)同旁?xún)?nèi)角基礎(chǔ)上增加了一個(gè)平角.當(dāng)∠B+∠D=180°時(shí)，AB∥CD；而∠BOD=180°.從而引導(dǎo)學(xué)生得到當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段BD上移動(dòng)時(shí)，∠B+∠D與∠BOD須滿(mǎn)足某個(gè)數(shù)量關(guān)系，AB，CD方可以成為平行線(xiàn).

問(wèn)題3當(dāng)點(diǎn)O從線(xiàn)段BD上移動(dòng)到平面內(nèi)任意位置，即變成折線(xiàn)型時(shí)，不妨研究點(diǎn)O向左移動(dòng)時(shí)的情況.如圖3,猜一猜：∠B，∠D，∠BOD須滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系,才有AB∥CD?

圖3

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課主題“兩條直線(xiàn)成為折線(xiàn)型平行線(xiàn)的條件”，同時(shí)通過(guò)問(wèn)題2的特殊情況，引導(dǎo)學(xué)生從“特殊到一般”探究規(guī)律的過(guò)程中，通過(guò)觀察，猜想三個(gè)角之間滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系，兩條直線(xiàn)能成為“折線(xiàn)型”平行線(xiàn).

在問(wèn)題3中，學(xué)生猜想三個(gè)角之間滿(mǎn)足∠B+∠D=∠BOD時(shí),AB∥CD，即為兩條直線(xiàn)成為“折線(xiàn)型”平行線(xiàn)的條件.接下來(lái)證明猜想的正確性.

2 一題多解，突出思維之道

證明兩條直線(xiàn)平行的方法有多種，通常從“三線(xiàn)八角”的基本圖形中尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角等，運(yùn)用平行公理或平行線(xiàn)判定定理解決.若沒(méi)有現(xiàn)成的“三線(xiàn)八角”，就需要構(gòu)造，這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

問(wèn)題4問(wèn)題3猜想的證明如何通過(guò)添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造“三線(xiàn)八角”，找出解題路徑呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，證明兩直線(xiàn)平行，證法1作為例題加以講解；然后學(xué)生模仿證法1，由平行線(xiàn)的判定方法，從內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、平行公理等角度思考，添加輔助線(xiàn)解決問(wèn)題.證法2～5是學(xué)生提出來(lái)的各種解法.

證法1：如圖4，連接BD，構(gòu)造同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，證明兩直線(xiàn)平行.

圖4

在△BOD中，∠2+∠3+∠BOD=180°.

又∵∠BOD=∠1+∠4，

∴∠2+∠3+∠1+∠4=180°.

∴∠ABD+∠BDC=180°.

∴AB∥CD.

證法2:如圖5，延長(zhǎng)BO，與CD交于點(diǎn)E，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等，證明兩直線(xiàn)平行.

圖5

在△OED中，∠1+∠D=180°-∠DOE.

又∠BOD=180°-∠DOE，

∴∠1+∠D=∠BOD.

∵∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠D=∠B+∠D，即∠1=∠B.

∴AB∥CD.

證法3：如圖6，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)a∥AB，從平行公理的角度思考，構(gòu)造中間量，由直線(xiàn)a∥AB知∠1=∠B.

圖6

∵∠BOD=∠1+∠2，

∠BOD=∠B+∠D.

∴∠1+∠2=∠B+∠D.

∴∠2=∠D.

∴a∥CD.

∴AB∥CD.

證法4：從將∠BOD拆解成兩個(gè)小角的角度思考.如圖7，作∠BOE=∠B，則OE∥AB.

圖7

∵∠BOD=∠BOE+∠DOE，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠BOE+∠DOE=∠B+∠D.

∴∠DOE=∠D.

∴OE∥CD，

∴AB∥CD.

證法5:構(gòu)造垂直，將AB，CD直接聯(lián)系起來(lái).如圖8，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則∠BEO=90°，且∠1+∠B=90°.

圖8

∵∠1+∠2+∠BOD=180°，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠2+∠B+∠D=180°.

∴∠2+∠D+90°=180°.

∴∠2+∠D=90°.

∴∠OFD=90°.

∴∠OFD+∠BEO=180°.

∴AB∥CD.

上述證法是學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、嘗試，在教師指導(dǎo)下得出的證明方法.通過(guò)一題多解，啟發(fā)學(xué)生基于原有經(jīng)驗(yàn)，突破思維局限，創(chuàng)新探究思路，完成探索推理，概括獲得新知；通過(guò)一題多解，培養(yǎng)學(xué)生積極思考，勇于嘗試的精神.

3 歸納共性，揭示問(wèn)題本質(zhì)規(guī)律，觸類(lèi)旁通

通過(guò)對(duì)問(wèn)題3猜想的五種證法的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)除了證法1外，其他的方法都是以點(diǎn)O為切入點(diǎn)，也就是所作的輔助線(xiàn)都與點(diǎn)O有關(guān)系，如過(guò)點(diǎn)O作平行、延長(zhǎng)BO、過(guò)點(diǎn)O作垂直等，其目的是依據(jù)現(xiàn)有的圖形通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造“三線(xiàn)八角”和三角形這兩種基本圖形，從而根據(jù)“三線(xiàn)八角”角度之間的數(shù)量關(guān)系與三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行等量代換，得到角的關(guān)系，最終證明兩直線(xiàn)平行，這是該研究的根本所在.

問(wèn)題5剛才研究了點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)的情況，那么當(dāng)點(diǎn)O在平面內(nèi)向其他方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，還可以得到哪些不同的新圖形呢？對(duì)每種新圖形，∠B，∠D，∠BOD滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),AB∥CD？請(qǐng)證明你的猜想.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖、試驗(yàn)，得到不同類(lèi)型的兩條直線(xiàn)成為折線(xiàn)型平行線(xiàn)的圖形.如圖9所示，點(diǎn)O可以向右運(yùn)動(dòng)，向左上運(yùn)動(dòng)，向右上運(yùn)動(dòng)，等等.對(duì)于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明，引導(dǎo)學(xué)生在課后根據(jù)自己的選擇，選取自己喜歡的方法完成，并體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律.

圖9

4 結(jié)語(yǔ)

變式教學(xué)即通過(guò)不斷改變問(wèn)題情境、問(wèn)題條件，探索變化規(guī)律以及變化中的不變性質(zhì).在整個(gè)教與學(xué)的活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生既要參與解題，更要參與數(shù)學(xué)思考，在思考的過(guò)程中去體會(huì)“變”與“不變”的辯證思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

通過(guò)變式教學(xué)，不僅改變了學(xué)生被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，也大大開(kāi)闊了教師的解題視野.教師不必再停留在繁忙的找題、做題、講題的題海戰(zhàn)術(shù)之中，而是可以更好地利用經(jīng)典試題進(jìn)行深度剖析，充分演變，揭示問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律，達(dá)成舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果．

本節(jié)變式教學(xué)課，從特殊到一般，給學(xué)生創(chuàng)造觀察、探究、猜想、歸納等學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,讓學(xué)生在活動(dòng)中增強(qiáng)求知欲，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，克服學(xué)習(xí)中的思維定式.通過(guò)“一題多解”的變式教學(xué)，向?qū)W生展示不同的思考過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路，從而讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)有意義地建構(gòu)，也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都能得到提高，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).