“平行四邊形”單元整體設(shè)計(jì)及思考

?東營市勝利第六中學(xué) 于 彬

?墾利區(qū)教育科學(xué)研究中心 扈學(xué)慧

1 引言

單元課堂教學(xué)整體設(shè)計(jì)是教師教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵一環(huán)，其直接體現(xiàn)教師的教學(xué)理念和這種理念轉(zhuǎn)化為具體教學(xué)實(shí)踐的能力.筆者從單元整體設(shè)計(jì)的視角，對(duì)“平行四邊形”一章從教材內(nèi)容、學(xué)情等方面進(jìn)行系統(tǒng)分析，在魯教版教材的基礎(chǔ)上，融合人教版教材的優(yōu)點(diǎn)對(duì)課時(shí)進(jìn)行重新劃分，并給出初步實(shí)踐和簡單思考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

2 教材內(nèi)容分析

2.1 內(nèi)容

在人教版教材中，“平行四邊形”是八年級(jí)下冊(cè)第十八章的教學(xué)內(nèi)容，主要包含“平行四邊形”和“特殊的平行四邊形”兩大部分；在魯教版教材中，“平行四邊形”是八年級(jí)上冊(cè)第五章的教學(xué)內(nèi)容，主要包含平行四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形的中位線、多邊形的內(nèi)角和與外角和，而“特殊的平行四邊形”這一部分則單獨(dú)成章，位于八年級(jí)下冊(cè)的第六章.

2.2 內(nèi)容解析

首先，平行四邊形是特殊的四邊形，教學(xué)中應(yīng)該突出其區(qū)別于一般四邊形的特征，為定義平行四邊形奠定基礎(chǔ).

其次，“平行四邊形”是在系統(tǒng)完成了三角形內(nèi)容的學(xué)習(xí)之后，進(jìn)行的一類全新的幾何圖形學(xué)習(xí)，應(yīng)該將其置于“圖形與幾何”這一大系統(tǒng)內(nèi)開展整體教學(xué)，為學(xué)生構(gòu)建可遷移、可借鑒的幾何學(xué)習(xí)的基本套路(章建躍語)：定義→性質(zhì)和判定→應(yīng)用.

對(duì)于平行四邊形的定義，教材沿用了小學(xué)中定義平行四邊形的方式，以突出其名稱的典型特點(diǎn)，同時(shí)為學(xué)生明確定義是“判定”的一種方式.

對(duì)于平行四邊形的性質(zhì)和判定，教材繼續(xù)沿用三角形中獲得性質(zhì)和定義的基本方法，也就是從“邊、角、特殊的線段(對(duì)角線)”等角度歸納平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)在嚴(yán)格幾何證明的基礎(chǔ)上，給出其三種語言；隨后繼續(xù)延用由性質(zhì)獲得判定的方法，將性質(zhì)的條件和結(jié)論互換，得出判定，在給出嚴(yán)格幾何證明的基礎(chǔ)上，同樣明確其三種語言.此外，在性質(zhì)或判定的獲得過程中，教材中給學(xué)生提供了多樣的探究路徑或載體，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，為培養(yǎng)“四基”，提升“四能”，發(fā)展核心素養(yǎng)進(jìn)行了積極大膽的嘗試和探索.

關(guān)于“猜一猜”：幾何教學(xué)中很多定理都是在“合情推理”的情況下獲得的.“合情推理”與“演繹推理”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的推理類型.

關(guān)于“量一量”：測(cè)量是驗(yàn)證猜想的有效方式，但是測(cè)量是有誤差的，即使通過大量測(cè)量取其平均值也不能避免.

關(guān)于“驗(yàn)一驗(yàn)”：數(shù)學(xué)測(cè)量工具《幾何畫板》為精確測(cè)量提供了依托.

關(guān)于“證一證”：教材中滲透了一個(gè)命題在證明之后才能稱其為定理的編寫和學(xué)習(xí)思路，為學(xué)生嚴(yán)密推理奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

最后，平行四邊形的學(xué)習(xí)為后續(xù)學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形(矩形、菱形、正方形)提供了方法和思路，兩版教材都注意到了這一點(diǎn)，人教版將其編排在一章之中，魯教版教材則結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)將其分置于八年級(jí)的上下兩冊(cè)，但仍然是緊密相連.同時(shí)，平行四邊形的學(xué)習(xí)也為后續(xù)“圓”的學(xué)習(xí)提供了方法和思路.

2.3 單元教學(xué)目標(biāo)

通過上面的分析，確定本章教學(xué)目標(biāo)如下：

(1)經(jīng)歷探索平行四邊形性質(zhì)的過程，豐富數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展合情推理與演繹推理能力，體會(huì)推理過程中的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

(2)理解平行四邊形的概念，了解平行四邊形的不穩(wěn)定性.

(3)了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.

(4)探索平行四邊形的中心對(duì)稱性質(zhì)；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.

(5)探索并證明三角形的中位線定理.

(6)了解多邊形外角的概念；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.

3 學(xué)情分析

3.1 學(xué)生已有基礎(chǔ)分析

(1)學(xué)生初步具備研究幾何圖形的基本方法.通過平行線，特別是三角形內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步具備了研究幾何圖形的基本方法：整體方法是定義→性質(zhì)和判定→應(yīng)用；觀察角度是邊、角、特殊線段(角平分線、高線、中線、對(duì)角線)；定理獲得方法是“猜一猜、量一量、驗(yàn)一驗(yàn)、證一證”.

(2)學(xué)生推理能力有了一定的進(jìn)步和提升.通過前面相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，特別是“三角形內(nèi)角和定理”證明過程中“第一條輔助線”的獲得，學(xué)生初步了解了幾何論證的典型特點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊.此外，隨著年齡的增長，學(xué)生的抽象推理能力也有了提高，可以較好地獲得相關(guān)結(jié)論，并給出嚴(yán)格的幾何證明.

(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有了長足的進(jìn)步.進(jìn)入八年級(jí)，隨著學(xué)生年齡的增長，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主探究能力有了提升，為本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

3.2 學(xué)生基礎(chǔ)與目標(biāo)的差距

(1)輔助線的添加有困難.平行四邊形的學(xué)習(xí)是三角形學(xué)習(xí)的升級(jí)版，學(xué)生難于將二者的學(xué)習(xí)主動(dòng)產(chǎn)生建構(gòu)，特別是用研究三角形的思路和方法探究平行四邊形時(shí)會(huì)有難度，以及通過“連接對(duì)角線”的方式將平行四邊形分為兩個(gè)全等三角形來解決問題，存在很大的困難.

(2)探究路徑的選擇有疑惑.在本章教學(xué)中，為突出自主、合作、探究等學(xué)習(xí)方法，為學(xué)生提供了多路徑、多載體的性質(zhì)和判定的發(fā)現(xiàn)方式，旨在引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程.但學(xué)生對(duì)此存在較大的疑惑，不能靈活選擇探究路徑.

(3)符號(hào)語言的表達(dá)有差距.通過前面章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生雖然初步掌握了文字、圖形和符號(hào)三種幾何語言，但部分學(xué)生對(duì)符號(hào)語言的表達(dá)和書寫存在很大的困難，不能用準(zhǔn)確的符號(hào)語言表達(dá)完整的幾何證明過程.

(4)三種語言的轉(zhuǎn)換不準(zhǔn)確.學(xué)生對(duì)三種語言之間的轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確，特別是不能將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，進(jìn)而給出符號(hào)語言，給性質(zhì)定理的證明帶來很大挑戰(zhàn).

根據(jù)上述分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)分別如下.

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)經(jīng)歷探索平行四邊形性質(zhì)的過程，豐富數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展合情推理與演繹推理能力，體會(huì)推理過程中的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

(2)探索平行四邊形的中心對(duì)稱性質(zhì)；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)靈活添加輔助線，獲得相關(guān)猜想的證明思路.

(2)通過實(shí)驗(yàn)探究，獲得性質(zhì)定理的文字表達(dá)，并給出嚴(yán)格的幾何證明.

4 課時(shí)劃分

本單元新授課需要10個(gè)課時(shí)，魯教版具體課時(shí)分配如下：

(1)平行四邊形的性質(zhì)(3課時(shí))：第一課時(shí)涉及平行四邊形的定義、性質(zhì)1和2，以及例1；第二課時(shí)，平行四邊形的性質(zhì)3；第三課時(shí)，兩平行線之間的距離.

(2)平行四邊形的判定(3課時(shí))：三個(gè)判定，每個(gè)判定一個(gè)課時(shí)，共三個(gè)課時(shí).

(3)三角形的中位線(2課時(shí))：第一課時(shí)主要是三角形的中位線定理，第二課時(shí)是將三角形中位線定理的條件和結(jié)論互換，得到逆定理.

(4)多邊形的內(nèi)角和與外角和(2課時(shí))：內(nèi)角和一個(gè)課時(shí)，外角和一個(gè)課時(shí).

通過上面的分析可以看出，魯教版教材與人教版教材相比，具有以下明顯區(qū)別：第一，特殊的平行四邊形單獨(dú)成章(前面已有論述)；第二，將多邊形的內(nèi)角和和外角和在本章進(jìn)行介紹，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的前后一致和邏輯連貫；第三，將兩平行線之間的距離單列為一個(gè)課時(shí)，作為第三課時(shí)，而在第一課時(shí)中增加了一個(gè)典型的例題.

鑒于以上分析，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，在實(shí)際授課過程中，以魯教版教材為藍(lán)本，借鑒人教版教材的優(yōu)點(diǎn)，將“平行四邊形的性質(zhì)”一節(jié)重新整合，整合后課時(shí)不變，但是系統(tǒng)性和邏輯性更強(qiáng)，有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí).重新整合如下.

第一課時(shí)：定義、性質(zhì)1和性質(zhì)2、人教版教材例1(通過此題鞏固性質(zhì)1和性質(zhì)2，同時(shí)自然引出“兩平行線之間的距離”，不增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，詳見文[1]).

第二課時(shí)：通過度量、中心對(duì)稱等多種方式得出性質(zhì)3，通過教材例題鞏固性質(zhì)3，思路如下.

參考人教版的設(shè)計(jì)思路，第一課時(shí)以“量一量”的方式引導(dǎo)學(xué)生獲得“邊和角”的性質(zhì)猜想，并進(jìn)行證明；第二課時(shí)在介紹中心對(duì)稱性后讓學(xué)生思考如何從“中心對(duì)稱”的角度說明平行四邊形“邊和角”的性質(zhì)猜想，接著給出追問：你能獲得平行四邊形的對(duì)角線有哪些性質(zhì)(詳見文[2])嗎？

第三課時(shí)：通過魯教版教材例1，對(duì)平行四邊形的三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)鞏固和提升，思路如下.

例題如圖1，已知在ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.求證：BE=DF.

圖1

變式如圖2，已知在ABCD中，F(xiàn)，E分別在對(duì)角線AC的延長線和反向延長線上，并且AE=CF.求證：BE=DF.

圖2

(1)上述變式還有其他證明方法嗎？(預(yù)設(shè)：上述教學(xué)中教師和學(xué)生只給出了通過證明△ABE≌△CDF得到結(jié)論的一種方法，其實(shí)還可以通過證明△CEB≌△AFD得到結(jié)論，從而在體現(xiàn)“一題多變”的基礎(chǔ)上再體現(xiàn)“一題多解”.)

(2)將問題改為：判斷BE和DF的關(guān)系.(預(yù)設(shè)：除了已經(jīng)解決的數(shù)量關(guān)系，還有位置關(guān)系.)

(3)將條件“AE=CF”與結(jié)論“BE=DF”交換得到的新命題，是真命題還是假命題？為什么？

此處整合，為學(xué)生完整呈現(xiàn)了如何對(duì)一道題目進(jìn)行“一題多解”和“一題多變”的全過程，為學(xué)生指出了一條全新的例題學(xué)習(xí)之路.“一題多解”遵循數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性”，使學(xué)生了解問題的本質(zhì)，促使學(xué)生“勤于反思”；“一題多變”則為學(xué)生呈現(xiàn)另外一種常見的變式方法：交換條件和結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生在上述“勤于反思”的基礎(chǔ)上真正地“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，在解決問題和處理問題的基礎(chǔ)上，可以提出問題和發(fā)現(xiàn)問題，實(shí)現(xiàn)“兩能”到“四能”的突破.

5 結(jié)論

上文從單元整體的視角對(duì)“平行四邊形”進(jìn)行了系統(tǒng)分析和課時(shí)劃分，為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，構(gòu)建整體的知識(shí)觀和育人的課程觀進(jìn)行了初步嘗試，取得了預(yù)期效果.歡迎更多的一線教師積極參與探索和實(shí)踐.