橢圓軌道類天體運動問題的突破方法

劉曉花

(山東省平度市第九中學)

橢圓軌道類天體運動問題,因其運動軌跡的特殊性,分析的方法與圓周類天體運動問題有所不同,近幾年的全國高考卷和地方高考卷對該類問題都有所涉及,如2021年高考全國乙卷第18題和福建卷的第8題均對此進行了考查,其中福建卷還涉及了橢圓的偏心率.試題難度不大,但考后統(tǒng)計表明,學生對該類問題的作答卻不盡人意.究其原因主要有三點:一是學生對橢圓知識不熟悉,應用數(shù)學工具分析物理問題的意識淡薄;二是對萬有引力定律和向心力公式中的“r”認識模糊,將二者中的“r”混為一談;三是受思維定式的影響,在橢圓運動中盲目套用天體圓周運動的規(guī)律.那么如何有效突破這一問題難點呢? 筆者認為要著重把握好以下兩個方面.

1 熟悉橢圓知識,樹立數(shù)理意識

1.1 長軸、短軸和焦距

在如圖1所示的橢圓中,左、右兩端點A、B之間為長軸,記為2a,上、下兩端點C、D間的距離為短軸,記為2b,兩焦點F1、F2之間的距離為焦距,記為2c,三者之間的關系為(2a)2＝(2b)2＋(2c)2,即有a2＝b2＋c2.

圖1

1.2 離心率和曲率半徑

1)離心率:是橢圓扁平程度的一種量度,離心率定義為橢圓焦距和長軸的比值,用e表示,即e＝.

2)曲率半徑:曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度,在橢圓中,A、B兩端點處的曲率半徑定義為橢圓半短軸的二次方和半長軸的比值,用ρ表示,即ρ＝

2 厘清兩個關系,把握問題本質(zhì)

1)橢圓軌道中,近點和遠點的速度關系

如圖2所示,一天體m繞另一天體M運動,其運動軌跡為橢圓,天體M處在橢圓其中一個焦點上,可認為靜止不動.設OA間的距離為rA,OB間的距離為rB,天體m運動到A點和B點的速度大小分別為vA和vB.

圖2

2)不同中心天體的質(zhì)量關系

由開普勒第三定律可知,所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等,即有,這個規(guī)律對其他天體系的橢圓運動和圓周運動同樣適用.但公式中的k與中心天體的質(zhì)量存在著怎樣的關系,及不同中心天體的質(zhì)量如何建立聯(lián)系,大部分學生并不清楚,這也是導致2021年高考全國乙卷第18題和福建卷的第8題得分率較低的一個主要原因.下面,我們以天體圓周運動為例進行推導.

如圖3所示,天體m繞中心天體M做勻速圓周運動,則由萬有引力提供向心力有,故有

圖3

由此,再反觀開普勒第三定律便不難得出,無論繞“中心”天體做橢圓運動還是圓周運動,均有k＝.可見,k與中心天體的質(zhì)量成正比,不同中心天體的質(zhì)量則可通過對應的橢圓半長軸(或圓周半徑)和公轉(zhuǎn)周期建立聯(lián)系.

例(2021年福建卷)兩位科學家因為在銀河系中心發(fā)現(xiàn)了一個超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學獎.他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進行了持續(xù)觀測,記錄到的S2的橢圓軌道如圖4所示.圖4 中O為橢圓的一個焦點,橢圓偏心率(離心率)約為0.87.P、Q分別為軌道的遠心點和近心點,Q與O的距離約為120AU(太陽到地球的距離為1AU),S2的運行周期約為16年.假設S2的運動軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬有引力影響,根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識,可以推出().

圖4

A.S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比

B.銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比

C.S2在P點與Q點的速度大小之比

D.S2在P點與Q點的加速度大小之比

總之,分析橢圓軌道類天體運動問題時,要以“橢圓”為切入點,強化數(shù)學方法分析物理問題思維,以開普勒第三定律為紐帶,建立天體橢圓運動與圓周運動的關聯(lián),明確近點和遠點所遵循的運動規(guī)律,辨析中“r”在不同情境中表示的不同含義,只有這樣,才能以不變應萬變,靈活分析問題和解決問題.

鏈接練習

航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后,在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點,如圖5所示,關于航天飛機的運動,下列說法正確的有().

圖5

A.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度等于經(jīng)過B的速度

B.在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道Ⅰ上運動的周期

C.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度

D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度

鏈接練習參考答案

C.

(完)