豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)離地問題分析

唐小平

(貴州省遵義市桐梓縣桐梓二中)

在高中物理階段,有一類比較特殊的物理問題:某個(gè)物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),引起整個(gè)系統(tǒng)離地.

模型如圖1所示,一個(gè)電動(dòng)機(jī)質(zhì)量為M,在其轉(zhuǎn)軸上用長(zhǎng)為r的剛性繩固定一個(gè)質(zhì)量為m的物體,為使電動(dòng)機(jī)不跳離地面,其轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最大應(yīng)為多少?

圖1

分析根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn),我們可以判斷出,當(dāng)物體轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí),若物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的作用力恰好等于電動(dòng)機(jī)的重力,電動(dòng)機(jī)受力平衡,這時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是臨界值;當(dāng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速大于這個(gè)轉(zhuǎn)速時(shí),電動(dòng)機(jī)跳離地面.我們只需求出這個(gè)臨界角速度就可以解決問題.

解當(dāng)電動(dòng)機(jī)剛要跳離地面時(shí),物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn),物體對(duì)飛輪的作用力F恰好等于電動(dòng)機(jī)的重力Mg,得F＝Mg.以物體為研究對(duì)象,由牛頓第二定律可得Mg＋mg＝mω2r,解得ω＝

以上就是本文要講的問題的典型表現(xiàn)形式和常見解題方法.但是,物體跳離地面的臨界條件真的就是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)嗎? 下面我們以例題為證,看看臨界條件究竟如何確定.

例1如圖2所示,在水平地面上有一個(gè)質(zhì)量為M的立方體,它的內(nèi)部中心有一個(gè)半徑為R的豎直圓槽,一個(gè)質(zhì)量為m的小球放在槽底.若小球與圓槽之間光滑無摩擦,給小球一個(gè)水平向右的初速度v0,之后小球沿圓槽做周期性變速圓周運(yùn)動(dòng),立方體始終靜止在地面上.當(dāng)初速度v0分別取時(shí),求立方體對(duì)地面的最小壓力.

圖2

錯(cuò)解小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),立方體對(duì)地面的壓力最小.設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v,小球由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)時(shí),由機(jī)械能守恒定律可得

分析以上解法貌似正確,其實(shí)犯了兩個(gè)非常大的錯(cuò)誤:其一,沒有判斷小球能夠運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)所需的最小初速度的大小;其二,主觀認(rèn)為小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)就是立方體對(duì)地面的壓力最小時(shí).第一個(gè)錯(cuò)誤,很多學(xué)生能夠避免,第二個(gè)錯(cuò)誤卻是絕大多數(shù)學(xué)生的常見認(rèn)知,他們忽略了影響立方體對(duì)地面壓力大小的因素是小球與立方體間作用力的豎直分量的大小.

正解設(shè)小球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為v,則有mg＝,解得v＝,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得,解得v0＝.由此可判斷題給兩個(gè)初速度情況下小球均能到達(dá)最高點(diǎn).

如圖3 所示,設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為θ時(shí)速度大小為v,立方體對(duì)小球的作用力為FN,則由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律得

圖3

解得

則小球?qū)α⒎襟w的作用力

由以上計(jì)算可知,立方體對(duì)地面的壓力最小時(shí),小球的位置與其初速度有關(guān),并非總是在小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí).

例2如圖4所示,半徑為r的圓形光滑導(dǎo)軌A豎直放置并固定在木板B上,木板B無法左右移動(dòng)但可以向上無阻礙運(yùn)動(dòng).有一個(gè)小球靜止放在圓形導(dǎo)軌底部.小球、導(dǎo)軌A和木板B的質(zhì)量均為m.給小球一個(gè)水平向右的初速度v0,為保證小球能夠運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌最高點(diǎn),同時(shí)木板B不離開地面,則小球的初速度v0可能是().

圖4

分析本題涉及兩個(gè)臨界值.其一,當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為是初速度v0取最小值的臨界條件,此時(shí)v0＝;其二,小球?qū)壍赖呢Q直向上的作用力恰好等于2mg,是木板恰好離開地面的臨界條件.

解如圖5所示,設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為θ時(shí)速度大小為v,導(dǎo)軌對(duì)小球的作用力為FN,則由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律得

圖5

以導(dǎo)軌和木板為整體,設(shè)二者的質(zhì)量為M,要使木板不離開地面,有

聯(lián)立式①②③可得

通過以上分析,我們可以知道,當(dāng)某個(gè)物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)引起另一物體離地時(shí),不可主觀判斷,必須通過縝密的分析計(jì)算,才可得到準(zhǔn)確結(jié)果.

(完)