復(fù)雜蜃景的定量分析與模擬

于曉菲，周 偉，王殿生，王玉斗, 李代林

(中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院，山東 青島 266580)

復(fù)雜蜃景(也稱法塔莫甘娜)是海市蜃樓當(dāng)中一種較為奇特的現(xiàn)象，其顯著特征：在豎直方向上同時(shí)呈現(xiàn)多個(gè)像；蜃景通常包括一些倒像和正立抬升像，以及兩個(gè)影像之間的堆棧；蜃景交替地呈現(xiàn)壓縮和伸展變換.

這種光學(xué)現(xiàn)象通常發(fā)生在溫度隨高度增加而降低的對流層.當(dāng)一層明顯溫暖的空氣滯留在較冷且密度較高的空氣之上時(shí)，就會形成逆溫層，形成具有透鏡折射效果的大氣波管，產(chǎn)生一系列倒置或抬升的影像[1].大氣波管是形成復(fù)雜蜃景的必要條件，其顯著特征是內(nèi)部空氣層具有一系列折射率梯度，物體發(fā)出的光線穿過大氣波管會發(fā)生彎曲，從而導(dǎo)致像在觀察者視覺上呈現(xiàn)出錯(cuò)位和扭曲.復(fù)雜蜃景是反射、折射多種光學(xué)現(xiàn)象共同作用的結(jié)果，深入理解其變化規(guī)律可以增加人們對復(fù)雜光學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識. 另外，近些年復(fù)雜蜃景現(xiàn)象已經(jīng)在軍事、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域產(chǎn)生了諸多應(yīng)用，例如；激光沙盤、全息照相等[2].對該現(xiàn)象的深入研究也可以為它在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用提供指導(dǎo).

目前，國內(nèi)有關(guān)海市蜃樓的研究中，對只有單像出現(xiàn)的上現(xiàn)蜃景和下現(xiàn)蜃景已經(jīng)進(jìn)行了較完善的成因分析和實(shí)驗(yàn)復(fù)現(xiàn)[3-6].部分研究也對復(fù)雜蜃景的某些特征現(xiàn)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[7].但在這些研究中，缺乏對復(fù)雜蜃景中多像的變化過程的定量分析.本研究首先配置具有一定折射率梯度的溶液，復(fù)現(xiàn)多種蜃景，然后利用COMSOL軟件對光線傳播軌跡進(jìn)行追跡，最后結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果定量分析復(fù)雜蜃景的變化規(guī)律.

1 復(fù)雜蜃景的實(shí)驗(yàn)研究

1.1 實(shí)驗(yàn)器材

6 cm×6 cm×13 cm長方體玻璃杯、白砂糖若干、純凈水、食物油、酒精、保鮮膜、電子秤(精度0.01 g)、蠟燭若干、攝像機(jī).

1.2 實(shí)驗(yàn)步驟

蜃景產(chǎn)生的必要條件是有具折射率梯度的介質(zhì)，若要同時(shí)產(chǎn)生在原物上方和下方的多個(gè)像，光線需要穿過同時(shí)具有正反梯度的介質(zhì).為了復(fù)現(xiàn)復(fù)雜蜃景，本文配制了具有正反折射率梯度的溶液來等效大氣波管環(huán)境，配置方法如下：1) 首先在6 cm×6 cm×13 cm長方體玻璃器皿中倒入部分酒精，隨后用注射器在容器底部緩緩注射一層提前配置好的飽和蔗糖溶液[8]，注射時(shí)盡量不引起酒精層的波動，靜置至溶液內(nèi)部及表面無法肉眼看到波動；2) 在溶液上表面鋪一層保鮮膜，再緩緩注入一層食用油，隨后輕輕抽掉保鮮膜，盡量降低溶液表面的波動程度；3) 靜置至液體表面平穩(wěn)，在溶液上表面鋪一層塑料薄膜，再次緩緩注入一層飽和蔗糖溶液，為防止溶液下沉，此次不抽掉薄膜；4) 靜置一段時(shí)間后點(diǎn)燃放置在玻璃器皿后方的蠟燭，在玻璃器皿前方不同距離處捕捉不同狀態(tài)的復(fù)雜蜃景.

1.3 復(fù)雜蜃景的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1給出了燃燒的蠟燭發(fā)出的光線通過具有正負(fù)折射率梯度的介質(zhì)后出現(xiàn)的復(fù)雜蜃景.圖1中由上到下標(biāo)出的分別是位于原物上方的倒立像，豎直抬升像，正立伸長像和正像倒像的交疊.

另外，復(fù)雜蜃景還有一個(gè)重要特征是能夠出現(xiàn)扭曲的像.當(dāng)溶液剛開始混合時(shí)，會出現(xiàn)圖2展示的現(xiàn)象.圖2上半部分出現(xiàn)了呈波浪線形狀的水平界面，這是由于溶液內(nèi)部濃度分布不均，不同位置蜃景抬升的程度不同.圖2下半部分依次存在許多不同程度抬升的火焰，這是由于混合狀態(tài)下溶液濃度梯度變化復(fù)雜，導(dǎo)致了蜃景位置的復(fù)雜變化.當(dāng)自然界出現(xiàn)復(fù)雜蜃景現(xiàn)象時(shí)，大氣中常常存在對流，就比較容易導(dǎo)致蜃景位置多變，甚至形狀扭曲.

圖1 復(fù)雜蜃景的多像再現(xiàn)

圖2 復(fù)雜蜃景的扭曲與多變

1.4 單折射率梯度溶液中蜃景的變化情況

上述實(shí)驗(yàn)展示出復(fù)雜蜃景主要包括3種現(xiàn)象：一是原物上方和下方的蜃景同時(shí)呈現(xiàn)，二是倒立和正立的蜃景堆疊呈現(xiàn)，三是伸長和壓縮的蜃景交替出現(xiàn).其中，蜃景的位置特征(在原物上方或下方)是由折射率梯度的正負(fù)決定，需要具有正負(fù)兩種濃度梯度的溶液.而其余現(xiàn)象利用單濃度梯度溶液也能實(shí)現(xiàn).正負(fù)兩種濃度梯度的溶液本質(zhì)上是一種對稱的介質(zhì)環(huán)境，為了更加清晰地研究蜃景的變化規(guī)律，本文選取了單濃度梯度溶液來展示不同距離的蜃景變化.圖3為通過負(fù)折射率梯度溶液時(shí)，在距離容器不同位置觀察得到的點(diǎn)燃蠟燭的蜃景.

從圖3(a)可以看出：觀測點(diǎn)距離容器2 cm時(shí)，蜃景為單一正像.圖3(b)可見觀測點(diǎn)距離容器10 cm時(shí)，倒立蜃景開始出現(xiàn)在圖中,并伴隨有正像的抬升現(xiàn)象，但此時(shí)的倒立蜃景并不完整，只包含蠟燭的下半部分.圖3(c)—圖3(f)顯示隨著觀測點(diǎn)距容器的距離逐漸變遠(yuǎn)，正立蜃景被抬升的程度幾乎保持不變，而倒立蜃景始終呈壓縮狀態(tài)，倒立的部分逐漸從蠟燭底部上移，17 cm處蠟燭底部從倒立蜃景中消失，24 cm處開始出現(xiàn)頂部燈芯.同時(shí)，此過程中正立的抬升蜃景與倒立的壓縮蜃景出現(xiàn)了堆疊，這種堆疊現(xiàn)象在后3幅圖中更為明顯.圖3(f)中觀測點(diǎn)距離容器90 cm時(shí)，只剩正立抬升蜃景，倒立蜃景完全消失.

圖3 負(fù)折射率梯度溶液中復(fù)雜蜃景隨攝像機(jī)位置的變化

2 復(fù)雜蜃景的理論分析

能發(fā)生海市蜃樓相關(guān)現(xiàn)象的根本原因是光線在梯度介質(zhì)中會發(fā)生彎曲，彎曲光線的軌跡方程可做如下推導(dǎo)，該推導(dǎo)過程部分借鑒了王忠純的線性變折射率模型推導(dǎo)[9].首先，在光線彎曲軌跡上取一微元ds，結(jié)合圖4可知，ds滿足

(ds)2=(dx)2+(dy)2

(1)

等式兩邊同除(dx)2變換可得

(2)

其中，x、y分別為彎曲光線的橫、縱位移分量，s為光線傳播的位移.光線傳播軌跡如圖4所示.

圖4 彎曲光線傳播軌跡簡圖

根據(jù)折射定律可以得出

n0cosα0=n1cosα1=n2cosα2=…=nncosαn,

(3)

其中n0,n1,…,nn為梯度介質(zhì)不同層的折射率，α0,α1,…,αn為相應(yīng)折射率介質(zhì)層的光線與水平面夾角.

根據(jù)軌跡圖示和折射定律不難得出

(4)

將式(4)代入式(2)可得連續(xù)變折射率的光線折射微分方程：

(5)

張志偉曾根據(jù)洛倫茲電子論、朗伯定律和比爾定律，提出了一種用來描述溶液的濃度與其折射率線性關(guān)系的理論模型[10].該模型表明，當(dāng)作用于溶液的光場頻率為一常量時(shí)，溶液的濃度與它的折射率近似成線性關(guān)系.分析本研究中梯度溶液的制備方法，假設(shè)溶液的濃度隨高度呈線性變化，因此溶液的折射率隨高度的變化關(guān)系可用線性模型表示，即

n(y)=n0+k(y-y0)

(6)

將式(6)代入式(5)可以得到

(7)

(8)

(9)

對式(9)進(jìn)行變量分離，得

(10)

等式兩邊積分求得

(11)

為便于繪制軌跡，將反雙曲余弦函數(shù)進(jìn)一步改寫為對數(shù)形式，得

對以上軌跡方程進(jìn)行繪圖，得到圖5給出的線型.可以看出，在折射率梯度介質(zhì)中光線是近似呈拋物線型彎曲，而光線彎曲的方向取決于折射率梯度的正負(fù).當(dāng)折射率梯度從下往上為正時(shí)，光線軌跡向上彎曲；反之，光線軌跡向下彎曲.

圖5 折射率呈梯度變化的介質(zhì)中光線軌跡

以上推導(dǎo)給出了一條光線在折射率呈梯度變化的介質(zhì)中的軌跡.而復(fù)雜蜃景是物體發(fā)出的多組光線彎曲后產(chǎn)生的復(fù)雜結(jié)果.結(jié)合光線的軌跡變化，下面分別說明復(fù)雜蜃景的3個(gè)主要特征現(xiàn)象出現(xiàn)的條件.圖6為蜃景在原物上下方同時(shí)出現(xiàn)的示意圖.對觀察者來說，蜃景的上下位置取決于物體發(fā)出光線的彎曲方向，也就是取決于所經(jīng)空氣層的折射率梯度，當(dāng)正反折射率梯度介質(zhì)同時(shí)存在時(shí)，豎直方向即可同時(shí)呈現(xiàn)出在原物上方和下方的像.圖7為正立倒立蜃景的示意圖，該圖展示的結(jié)果與Vollmer Michael的研究一致[11].蜃景是倒立或正立取決于物體底部發(fā)出的光線與頂部發(fā)出的光線進(jìn)入人眼時(shí)的斜率大小，當(dāng)光線向下彎曲時(shí)，若底部發(fā)出的光線進(jìn)入人眼時(shí)斜率大于頂部光線，像便是倒立的(箭頭③)，反之是正立的(箭頭②)[12].圖8為拉伸(箭頭③)與壓縮(箭頭②)蜃景的示意圖.當(dāng)折射率梯度不變時(shí)，觀察者位置的移動會造成像的豎直形狀的變化，若觀察者位置固定，則豎直形狀的變化是由折射率梯度變化造成的.

圖6 在原物上下方蜃景示意圖(箭頭①代表原物，②代表位于原物下方的蜃景，③代表位于物體上方的蜃景)

圖7 正立與倒立蜃景的示意圖

圖8 拉伸與壓縮蜃景的示意圖

3 復(fù)雜蜃景的模擬研究

結(jié)合復(fù)雜蜃景的實(shí)驗(yàn)及理論研究，本文利用COMSOL軟件對其成因進(jìn)行定量分析，進(jìn)一步探究復(fù)雜蜃景的產(chǎn)生原因及變化規(guī)律.首先仿照實(shí)驗(yàn)條件建立具有折射率梯度的介質(zhì)環(huán)境，圖9給出了建立的透射介質(zhì)的折射率分布圖.介質(zhì)高度H=4 cm,寬度L=6 cm(與實(shí)驗(yàn)尺寸保持一致)；介質(zhì)上表面假設(shè)為純凈水，折射率n1=1.333；梯度數(shù)值采用張志偉等研究中擬合的數(shù)值k=-0.001 77[10].

圖9 透射介質(zhì)的折射率分布

圖10 蠟燭光線在梯度溶液中的傳播軌跡圖

利用COMSOL的光線追跡模塊，可以模擬得到物體發(fā)出的任意光線的軌跡.圖10給出了蠟燭不同位置發(fā)出的光線的軌跡圖.其中，點(diǎn)線型和劃線型曲線表示蠟燭頂部和底部發(fā)出的若干透射過梯度溶液的彎曲光線；點(diǎn)劃線型和粗實(shí)線型曲線表示蠟燭頂部和底部發(fā)出的若干被梯度溶液頂部邊界反射的彎曲光線；細(xì)實(shí)線代表光線穿過梯度溶液后在某點(diǎn)的切線，且同一點(diǎn)發(fā)出的不同角度的透射光線或反射光線的反向延長線分別相交于同一點(diǎn)，這在韓潤澤[13]的研究中也得到了印證.由圖可知，不同位置處觀測到的光線的種類和特征是不一樣的.在約100 mm范圍內(nèi)接收不到物體底部被反射的光線(粗實(shí)線)，說明此區(qū)間看不到物體底部的倒像；物體底部和頂部被反射的光線(粗實(shí)線和點(diǎn)劃線)的反向延長線的交點(diǎn)間距明顯小于原物體的長度，說明像發(fā)生了壓縮；而物體某點(diǎn)發(fā)出的被反射的光線和透射的光線所交疊的區(qū)域可以同時(shí)看到物體該點(diǎn)倒立和正立的像.

3.1 蜃景隨距離變化

圖11給出了在同一水平面不同觀察點(diǎn)，所看到的虛像變化情況.由于在介質(zhì)后同一位置處接收的物體頂部發(fā)出的透射光線的斜率始終大于底部，故透射光線所成的像都是正像，如灰色箭頭①所示.而透射光線傳播到的區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)后的整個(gè)區(qū)域，因此正立抬升的像可以一直被觀測到.又由前文分析可知，同一點(diǎn)發(fā)出的透射光線的反向延長線交于同一點(diǎn)，故正立抬升蜃景的長度和位置保持不變.

圖11 蜃景隨距離變化模擬示意圖(黑色箭頭代表原物，①②代表所成的蜃景)

倒像的產(chǎn)生是由于底部光線的斜率大于頂部光線的斜率，但凡經(jīng)反射的光線都滿足此條件，產(chǎn)生的都是倒像，如灰色像②所示.圖11(a)粗實(shí)線軌跡表明了物體底部發(fā)出的光線經(jīng)反射后所到達(dá)的最近位置是9 cm處，則此位置為出現(xiàn)物體底部的倒立蜃景的初始位置，此前位置所呈現(xiàn)的只有單一的正立抬升的蜃景，此后開始同時(shí)存在正立和倒立的像；圖11(b)粗實(shí)線表明d=18 cm附近是物體底部發(fā)出的光線經(jīng)反射所到達(dá)的最遠(yuǎn)距離，此后位置將不再看到物體底部的倒像，倒像所包含的部分由物體下部逐漸上移；圖11(c)中粗實(shí)線表明物體頂部光線經(jīng)反射后所能到達(dá)的最近距離為d=25 cm處，此后倒立蜃景中開始出現(xiàn)物體頂部，直至倒立蜃景逐漸減少至只剩頂部邊緣而后全部消失，對頂部發(fā)出的光線進(jìn)行追跡得到這個(gè)消失的距離約為1 m.

表1給出了單梯度溶液下的蜃景情況隨距離的變化，不難看出，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合，從而驗(yàn)證了此模擬的正確性.

表1 COMSOL模擬的蜃景隨觀測者距離的變化情況

3.2 倒立蜃景隨折射率梯度的變化

蜃景的不同呈現(xiàn)形式取決于光線的彎曲傳播，而導(dǎo)致光線彎曲的一個(gè)主要參量就是傳播過程中所經(jīng)介質(zhì)的折射率的變化.不同折射率梯度的介質(zhì)中光線彎曲程度必然不同，所成像的尺寸及位置也將出現(xiàn)差異.

圖12(a)給出了折射率梯度為-0.003 54時(shí)，物體底部和頂部發(fā)出的光線的軌跡示意圖.圖中，光線1與y=0的交點(diǎn)位置(82,0)是倒立蜃景的底部剛開始出現(xiàn)的位置，光線3與y=0交點(diǎn)位置(240,0)為底部倒立蜃景消失的位置，那么[82,240]即物體底部的倒立蜃景存在的位置區(qū)間.同理，光線2與y=0交點(diǎn)位置(194,0)為物體頂部倒立蜃景開始出現(xiàn)的位置，由于頂部發(fā)出的與光線3在同一點(diǎn)反射的光線的斜率恒小于光線3，故頂部的倒立蜃景消失位置處橫坐標(biāo)恒大于240 mm，于是物體頂部的倒立蜃景存在的區(qū)間為[194,a] (a>240).因此，物體的倒立蜃景完整存在的區(qū)間為兩部分區(qū)間的交集[194,240]，該區(qū)間內(nèi)倒立蜃景的尺寸位置不再變化，為倒立蜃景存在的穩(wěn)定區(qū)間.改變介質(zhì)的折射率梯度，用同樣的方法分別進(jìn)行模擬追跡，如圖12(b)、(c)、(d)所示.最終得到不同折射率梯度下，倒立蜃景的出現(xiàn)臨界位置、存在穩(wěn)定區(qū)間和穩(wěn)定像壓縮程度.其中壓縮程度的定義為：(原物高度-壓縮后的蜃景高度)/原物高度.

圖12 蜃景隨折射率梯度變化模擬示意圖

表2給出了不同梯度下倒立蜃景臨界位置和壓縮程度.通過表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：倒立蜃景開始出現(xiàn)的臨界距離隨折射率梯度呈線性遞減關(guān)系，梯度越大，臨界位置越近，倒立蜃景穩(wěn)定存在的區(qū)間范圍越大；同時(shí)，梯度越大，物體的壓縮程度越大，倒立蜃景存在的位置越低.

表2 不同梯度下倒立蜃景臨界位置和壓縮程度表

另外該模擬還揭示了無論是蜃景出現(xiàn)的臨界位置還是蜃景的大小，都是由具有一定厚度的介質(zhì)的上下邊緣反射光線決定的，故介質(zhì)的厚度也是影響蜃景的一個(gè)決定性因素，接下來對介質(zhì)厚度的影響做進(jìn)一步探究.

3.3 蜃景隨介質(zhì)厚度的變化

圖13(a) 給出了介質(zhì)厚度為9 cm時(shí)，物體底部發(fā)出的光線在介質(zhì)中及介質(zhì)上邊界傳播的軌跡示意圖.將兩組光線反向延長則分別可以找到正立抬升像的最高點(diǎn)以及倒立像的最低點(diǎn)，通過這兩個(gè)點(diǎn)即可以得到正立蜃景的抬升距離和正倒立蜃景的間距.改變介質(zhì)的厚度，用相同的方式分別進(jìn)行模擬追跡，如圖13(b)—(f) 所示，最終得到不同厚度下正立蜃景的抬升距離和正倒立蜃景的間距.表3給出了模擬計(jì)算結(jié)果，可以看出隨著梯度介質(zhì)厚度的增加，正立抬升蜃景抬升的距離增大，正倒立蜃景的間距減小，正倒立蜃景逐漸靠近。當(dāng)介質(zhì)厚度為21 cm時(shí)，兩種蜃景交匯，繼續(xù)增大介質(zhì)厚度，兩種蜃景將堆疊在一起.

圖13 蜃景隨介質(zhì)厚度變化模擬示意圖

表3 不同厚度介質(zhì)正立蜃景抬升距離和正倒立蜃景間距

4 結(jié)果與討論

本文首先利用配置的梯度溶液再現(xiàn)了復(fù)雜蜃景的多個(gè)重要現(xiàn)象，然后分析了單折射率梯度溶液形成的蜃景的變化.利用COMSOL光線追跡模塊模擬了光線在單一折射率梯度介質(zhì)中的傳播，定量地探究了不同距離處成像的規(guī)律.模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，說明了模擬方法的正確性.進(jìn)一步利用模擬研究了折射率梯度和介質(zhì)厚度兩個(gè)重要參量對復(fù)雜蜃景的影響，結(jié)果表明：1) 倒立蜃景開始出現(xiàn)的臨界水平位置隨梯度倍數(shù)呈嚴(yán)格的線性遞減關(guān)系，折射率梯度越大，臨界位置越近，倒立蜃景穩(wěn)定存在的區(qū)間范圍越大；2) 折射率梯度越大，物體的壓縮程度越大，倒立蜃景存在的位置越低，正立蜃景抬升的位置越高；3) 介質(zhì)越厚，蜃景抬升的豎直位置越高，正、倒立蜃景的間距減小，正、倒立蜃景逐漸靠近，最終會堆疊在一起.