利用MATLAB提升高職數(shù)學(xué)教學(xué)效果初探

王艷艷 張彩紅 王海龍 徐愛華

(中國社會科學(xué)院大學(xué)，北京 102488；邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 邯鄲 056005)

高等數(shù)學(xué)作為高職院校的基礎(chǔ)課程，由于課程內(nèi)容理解難度較大，而學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)又普遍薄弱，課堂教學(xué)效果一直不太理想。教師即使在課堂教學(xué)中使用多媒體來輔助教學(xué)，但教學(xué)效果也并不顯著。因此在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)效果，一直是我們探索和研究的課題。

要使學(xué)生盡快理解高等數(shù)學(xué)中的概念，提升高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果，我們有必要運用數(shù)學(xué)軟件進行課堂教學(xué)。MATLAB作為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，語法簡單，有利于學(xué)生理解和使用，已經(jīng)成為許多高等院校線性代數(shù)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計等高級課程的基本教學(xué)工具。MATLAB軟件在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用有助于學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)中的概念、定理；而MATLAB的計算功能，對學(xué)生在學(xué)習(xí)和今后工作中解決實際問題也大有幫助。

一、MATLAB在高職數(shù)學(xué)概念講解中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是極限，極限概念的理解尤其重要，而極限概念的理解又涉及到對無窮的理解，這對于剛?cè)雽W(xué)的高職學(xué)生來說就太難了。我們給學(xué)生講解《莊子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，學(xué)生似乎可以理解；我們再給學(xué)生講解“芝諾悖論：阿基里斯跑不過烏龜”，學(xué)生就糊涂了。因此在講解極限的過程中，我們可以借助MATLAB軟件，利用圖形圖像形象地展示教學(xué)內(nèi)容，提升課堂教學(xué)效果。

同樣，在講解圓的面積求法時，我們可以將古代數(shù)學(xué)家所采用的“割圓術(shù)”通過MATLAB展示出來，隨著圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，其面積越來越接近圓的面積，使學(xué)生能更直觀理解圓的面積是其內(nèi)接正n邊形面積(邊數(shù)無限增加時)的極限。在講解定積分概念時，我們也可以使用MATLAB來動態(tài)演示如何求曲邊梯形的面積。

高等數(shù)學(xué)是以運動的、變化的觀點來研究問題，其概念也以運動的面貌出現(xiàn)，是動態(tài)的產(chǎn)物，因此要使學(xué)生盡快理解這些抽象的概念，借助數(shù)學(xué)軟件是一種可行的探索。

二、MATLAB在解決高職數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們給學(xué)生講解了基本的計算方法，但在解決實際問題的過程中，往往涉及很多復(fù)雜函數(shù)和繁瑣計算，學(xué)生很難完成計算，因此也無法真正解決實際問題。因此我們在教學(xué)中可以教學(xué)生使用MATLAB來求極限、導(dǎo)數(shù)、積分等，使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)和工作中更好地解決實際問題。例如導(dǎo)數(shù)計算問題：海島城市A離海岸120千米，海濱城市B離C點160千米，已知汽車速度是輪船速度的2倍，要使A、B兩城市之間運輸時間最少，轉(zhuǎn)運碼頭D建在何處最佳(見圖7)？

圖7 運輸時間問題

設(shè)碼頭D距C點距離為x千米，輪船速度為1，則汽車速度為2。此時運輸時間為：

利用MATLAB求解(如圖8所示)：

圖8 MATLAB程序代碼

我們很容易就可以得到，轉(zhuǎn)運碼頭D建在離C為40 3千米處，所用時間最少。因此我們可以在學(xué)生理解基本計算方法的基礎(chǔ)上，教學(xué)生學(xué)會使用MATLAB，提高求解能力和效率，為學(xué)生在學(xué)習(xí)工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題提供幫助。

導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用廣泛，我們在講解導(dǎo)數(shù)時可以借助MATLAB給學(xué)生講解大自然中的優(yōu)化問題：自然界一般會趨向于體系能量最低的存在，因此露珠是球狀；蜜蜂的巢房采用正六邊形建造方法；山體自然塌落的形狀，是一條下凹曲線，也就是最速曲線。我們以最速曲線問題為例：一個質(zhì)點在重力作用下，從一點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短？科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。所謂擺線，它是一個圓沿著一條直線滾動(無滑動)時，圓周上任意一點的軌跡。我們可以利用MATLAB畫出動畫圖形，使學(xué)生較快理解這一點(見圖9—圖12)。

圖9 旋輪線軌跡1

圖10 旋輪線軌跡2

圖11 旋輪線軌跡3

圖12 旋輪線軌跡4

三、MATLAB在擴展高職數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用

高職數(shù)學(xué)的教學(xué)，不僅要教會學(xué)生課本知識，還要進一步擴展課本知識，使學(xué)生了解知識的用處，真正體會到學(xué)習(xí)的樂趣。MATLAB在擴展高職數(shù)學(xué)知識中可以起到重要作用，我們以傅里葉級數(shù)的應(yīng)用為例。傅里葉級數(shù)是重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，但傅里葉級數(shù)對于高職學(xué)生來說，是不好理解的，學(xué)生僅僅看那些抽象的復(fù)雜公式就頭疼，往往放棄了學(xué)習(xí)的信心。因此，我們有必要在教學(xué)中借助MATLAB輔助教學(xué)。

從傅里葉級數(shù)知道，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示，我們可以通過MATLAB作圖來解釋方波是由無窮多個正弦波和余弦波疊加而成的，學(xué)生可以更形象地理解。在這一知識的擴展中，我們可以利用傅里葉級數(shù)來畫圖：傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式，其實就是圓的旋轉(zhuǎn)疊加，因此可以用無限個圓的運動軌跡疊加來描繪函數(shù)的圖像。以方波為例，n為疊加圓的個數(shù)(見圖13—圖16)：

圖13 n=1時的圖形

圖14 n=2時的圖形

圖15 n=4時的圖形

圖16 n=6時的圖形

我們可以進一步擴展傅里葉級數(shù)到傅里葉變換，通過無限個圓的運動的疊加來描繪萬物。以描繪字母π為例，n為疊加圓的個數(shù)(見圖17—圖19)：

圖17 n=3時的圖形

圖18 n=5時的圖形

圖19 n=7時的圖形

我們發(fā)現(xiàn)n越大，即疊加的圓越多，所繪圖像就越接近字母π。通過讓同學(xué)們利用MATLAB軟件來描繪其他圖形，可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，同時對傅里葉級數(shù)有更深的理解。

結(jié)語

利用MATLAB軟件教學(xué)，操作簡便，使得數(shù)學(xué)課堂生動化、形象化，提高了高職學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和理解能力，教學(xué)效果有了較大提高。