中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)運(yùn)行域模型

莫少雄

中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)運(yùn)行域模型

莫少雄1，2

（1. 中國船舶集團(tuán)有限公司系統(tǒng)工程研究院，北京 100094；2. 中船智海創(chuàng)新研究院有限公司，北京 100036）

中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)因能解決現(xiàn)有電氣化鐵路存在的過分相和電能質(zhì)量問題而受到廣泛關(guān)注。本文提出中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的運(yùn)行域模型，旨在通過對最少變量的監(jiān)測實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)供電安全性評價。首先，介紹中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。然后，依次建立工作點(diǎn)向量、系統(tǒng)等式約束、系統(tǒng)不等式約束，形成中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)運(yùn)行域模型，并給出模型的解析化求解方法。最后，通過算例求解得到機(jī)車牽引電流和機(jī)車運(yùn)行位置需滿足的運(yùn)行域解析表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)對中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的供電安全性評價。本文工作可為中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的安全運(yùn)行和調(diào)度提供參考。

柔性直流；鐵路牽引供電系統(tǒng)；運(yùn)行域；牽引電流；解析表達(dá)式

0 引言

單相工頻交流牽引供電系統(tǒng)自20世紀(jì)50年代研制成功后，以其良好的經(jīng)濟(jì)性沿用至今。隨著鐵路高速化、重載化發(fā)展，單相工頻交流牽引供電系統(tǒng)面臨電分相導(dǎo)致的機(jī)車速度損失和接觸網(wǎng)電壓閃變問題，以及負(fù)序、諧波和無功等電能質(zhì)量問題[1-4]，影響電氣化鐵路的安全、綠色運(yùn)營。

針對上述問題，研究人員開展了對鐵路新型牽引供電制式的探索。近年來，基于全控型電力電子器件的柔性直流技術(shù)在輸配電領(lǐng)域的快速發(fā)展[5-7]，催生了中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)[8]。該系統(tǒng)采用模塊化多電平換流器（modular multilevel converter, MMC）進(jìn)行交直流變換，可完全取消電分相，實(shí)現(xiàn)全線貫通供電[9]，解決了機(jī)車速度損失、接觸網(wǎng)電壓閃變及電能質(zhì)量問題。此外，該系統(tǒng)中的MMC易于實(shí)現(xiàn)潮流反轉(zhuǎn)，使機(jī)車再生制動產(chǎn)生的能量得以回流利用。在此背景下，中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)獲得了廣泛關(guān)注，國鐵集團(tuán)已于2021年啟動科研開發(fā)計劃重點(diǎn)課題《電氣化鐵路柔性直流供電技術(shù)研究》。

目前，中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)仍在探索中?，F(xiàn)有文獻(xiàn)論述了其結(jié)構(gòu)與優(yōu)勢[8]，并圍繞其運(yùn)行控制開展研究[10-13]：文獻(xiàn)[10]通過自適應(yīng)下垂控制，在防止接觸網(wǎng)電壓越限的同時，實(shí)現(xiàn)各牽引變電所電流平均分配；文獻(xiàn)[11-12]在下垂控制基礎(chǔ)上增加電壓補(bǔ)償環(huán)節(jié)，將牽引變電所電壓穩(wěn)定在額定值附近；文獻(xiàn)[13]提出分層控制策略，不僅能穩(wěn)定牽引變電所電壓，還可實(shí)現(xiàn)各牽引變電所根據(jù)容量按比例分擔(dān)負(fù)荷。上述研究雖有助于提高中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的安全性，但為獲取機(jī)車各運(yùn)行位置下系統(tǒng)供電安全狀態(tài)，還需對系統(tǒng)進(jìn)行在線供電安全性評價，關(guān)于此問題，尚無文獻(xiàn)報道。

反觀單相工頻交流牽引供電系統(tǒng)，接觸網(wǎng)電流過載[14]、機(jī)車網(wǎng)壓越限[15]是影響供電安全的主要問題，現(xiàn)有研究對接觸網(wǎng)電流、機(jī)車網(wǎng)壓分別單獨(dú)進(jìn)行監(jiān)測和評估[16-17]。由牽引網(wǎng)潮流模型[18]可知牽引網(wǎng)各類電氣變量相互關(guān)聯(lián)，若能通過對最少變量的監(jiān)測來完整描述系統(tǒng)的供電安全狀態(tài)，則可減少監(jiān)測成本，且便于鐵路調(diào)度部門對系統(tǒng)供電安全性的整體把控，進(jìn)而指導(dǎo)優(yōu)化行車組織方式。為此，本文從一新視角考察中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)。

運(yùn)行域刻畫了系統(tǒng)安全運(yùn)行的最大允許范圍，要求以能完整描述系統(tǒng)狀態(tài)的一組無冗余變量建立工作點(diǎn)[19]，可根據(jù)工作點(diǎn)是否在運(yùn)行域內(nèi)直觀判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否安全，還可采取預(yù)防控制措施[20]，提高安全裕度。有學(xué)者提出主動配電網(wǎng)中分布式電源和微電網(wǎng)運(yùn)行域的模型[21]，但因采用仿真方法，未能得到完整反映運(yùn)行域邊界的解析表達(dá)式。還有學(xué)者建立交流配電網(wǎng)和柔性直流配電網(wǎng)的運(yùn)行域模型[19,22]，采用解析法求得運(yùn)行域解析表達(dá)式。

對中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)開展運(yùn)行域研究，能夠通過對最少關(guān)鍵變量的監(jiān)測實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在線供電安全性評價。由于牽引負(fù)荷具有移動性，配電網(wǎng)的運(yùn)行域模型不再適用于牽引供電系統(tǒng)。為此，本文首次提出中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的運(yùn)行域模型。首先介紹系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，然后給出運(yùn)行域模型的構(gòu)建和求解方法，最后通過算例驗(yàn)證模型與求解方法的可行性。

1 中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。該系統(tǒng)中，各牽引變電所由降壓變壓器和MMC組成，降壓變壓器將公共電網(wǎng)三相220kV交流電降壓為10kV，MMC將三相10kV交流電整流為24kV直流電[13]。MMC直流側(cè)正極和負(fù)極經(jīng)牽引饋線分別連接到接觸網(wǎng)和鋼軌，向機(jī)車供電。

圖1 中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2 運(yùn)行域模型構(gòu)建與求解

本節(jié)依次建立工作點(diǎn)向量、系統(tǒng)等式約束和不等式約束，形成運(yùn)行域模型，再給出模型求解方法。

2.1 工作點(diǎn)向量

運(yùn)行域是系統(tǒng)在正常運(yùn)行時滿足各安全約束的工作點(diǎn)集合，其中工作點(diǎn)是能完整描述系統(tǒng)狀態(tài)的一組無冗余變量[19]。

2.2 系統(tǒng)等式約束

根據(jù)基本電路理論，建立中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的等式約束，包括接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式、相鄰換流站電壓差表達(dá)式、換流站輸出電流與機(jī)車牽引電流平衡關(guān)系式、換流站輸出電流與輸出電壓下垂關(guān)系式。

1）接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式

根據(jù)基爾霍夫電流定律，將由機(jī)車及換流站分隔形成的接觸網(wǎng)區(qū)段B上游所有節(jié)點(diǎn)作為一個廣義節(jié)點(diǎn)，則流過B的電流可用B上游各機(jī)車牽引電流、各換流站輸出電流表示，即

2）相鄰換流站電壓差表達(dá)式

根據(jù)歐姆定律，相鄰兩換流站電壓差可由這兩臺換流站之間各接觸網(wǎng)區(qū)段產(chǎn)生的電壓降或電壓升表示，即

3）換流站輸出電流與機(jī)車牽引電流平衡關(guān)系式

根據(jù)基爾霍夫電流定律，將接觸網(wǎng)整體作為一個廣義節(jié)點(diǎn)，則流出接觸網(wǎng)的各機(jī)車牽引電流之和等于流入接觸網(wǎng)的各換流站輸出電流之和，即

式（4）等號左邊表示各機(jī)車牽引電流之和，等號右邊表示各換流站輸出電流之和。

4）換流站輸出電流和輸出電壓的下垂關(guān)系式

中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)采用下垂控制策略，此策略下各臺換流站輸出的電壓和電流滿足的關(guān)系為

式中：MMCj和MMCj,ref分別為換流站MMC輸出直流電壓實(shí)際值和參考值；MMCj和MMCj,ref分別為換流站MMC輸出直流電流實(shí)際值和參考值；K為換流站MMC下垂系數(shù)。

2.3 系統(tǒng)不等式約束

中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的不等式約束包括接觸網(wǎng)載流量約束、換流站輸出電流約束、換流站輸出電壓約束、機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓約束。

要維持中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)安全運(yùn)行，首先需要保障熱穩(wěn)定安全，相應(yīng)的約束有接觸網(wǎng)載流量約束和換流站輸出電流約束，分別如式（6）和式（7）所示。

式中：Bk為接觸網(wǎng)第個區(qū)段B的最大允許載流量；MMCj為MMC輸出電流的最大允許值，MMCj由MMC本身及MMC所出饋線同時決定。式（6）和式（7）中的絕對值表示電流可以雙向流動，此處只關(guān)注其大小。

要維持中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)安全運(yùn)行，還需要使系統(tǒng)電壓處于安全范圍，具體而言需要滿足換流站輸出電壓約束和機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓約束，分別如式（8）和式（9）所示。

2.4 運(yùn)行域模型

綜合上述工作點(diǎn)向量、中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的等式約束和不等式約束，構(gòu)建中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的運(yùn)行域模型為

本文模型與配電網(wǎng)運(yùn)行域模型[19,21]有以下區(qū)別：

1）工作點(diǎn)變量選取不同。本文模型選取機(jī)車牽引電流和接觸網(wǎng)區(qū)段長度，而配電網(wǎng)模型選取負(fù)荷功率，其原因?yàn)?，配電網(wǎng)調(diào)度與運(yùn)行中習(xí)慣以負(fù)荷功率為監(jiān)測量，而牽引供電系統(tǒng)中機(jī)車取流特性[23]、接觸網(wǎng)和牽引變電所的電流分布[10,16,23]均需關(guān)注和分析，以機(jī)車牽引電流建立工作點(diǎn)便于分析系統(tǒng)中的電流，且無需進(jìn)行非線性潮流計算，便于模型求解；此外，本文模型的工作點(diǎn)中增加了反映機(jī)車位置的接觸網(wǎng)區(qū)段長度，可適應(yīng)機(jī)車移動性，使模型能適應(yīng)在各種機(jī)車運(yùn)行位置組合情況下的系統(tǒng)供電安全性分析，而配電網(wǎng)中無需考慮移動性。

2）模型應(yīng)用方式不同。配電網(wǎng)運(yùn)行域模型應(yīng)用時，根據(jù)已知參數(shù)只需一次求解即可事先得到該配電網(wǎng)的負(fù)荷允許范圍，此負(fù)荷允許范圍是固定的，后續(xù)配電網(wǎng)運(yùn)行中只需監(jiān)視工作點(diǎn)是否在此范圍內(nèi)，即可實(shí)現(xiàn)安全性實(shí)時評價；本文模型應(yīng)用時，求解機(jī)車牽引電流允許范圍的前提是給定對應(yīng)狀態(tài)下的機(jī)車運(yùn)行位置，機(jī)車牽引電流的允許范圍隨機(jī)車移動而變化，為此需要隨時依據(jù)機(jī)車運(yùn)行位置反復(fù)求解機(jī)車牽引電流允許范圍，才能進(jìn)行供電安全性實(shí)時評價。

由此可見，配電網(wǎng)的運(yùn)行域模型不能適應(yīng)牽引供電系統(tǒng)的機(jī)車移動性和對系統(tǒng)中電流分析的要求，有必要建立本文所提中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)運(yùn)行域模型。

2.5 模型求解

本文模型求解思路為：將模型中的等式約束聯(lián)立求解，得到由機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示的接觸網(wǎng)區(qū)段電流、換流站輸出電流、換流站輸出電壓和機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓，將其代入模型中的不等式約束，化簡可得運(yùn)行域解析表達(dá)式，具體過程如下。

首先，將式（2）所示接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式代入式（3）所示相鄰換流站電壓差表達(dá)式，使相鄰換流站電壓差表達(dá)式中的接觸網(wǎng)區(qū)段B電流Bk用B上游機(jī)車牽引電流Lq和換流站輸出電流MMCj表示，則式（10）所示模型中的等式約束可表示為

不失一般性地，假設(shè)系統(tǒng)共有臺換流站，則相鄰換流站電壓差表達(dá)式有-1個、換流站輸出電流與機(jī)車牽引電流平衡關(guān)系式有1個、換流站輸出電流和輸出電壓下垂關(guān)系式有個，共計2個等式。將這臺換流站的輸出電流和輸出電壓作為待求變量，而將機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度視作已知量，則共有2個待求變量和2個等式，即可通過聯(lián)立求解得出由機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示的這臺換流站的輸出電流和輸出電壓，分別如式（12）和式（13）所示。

然后，將式（12）代入式（10）中的接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式，即可用機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示接觸網(wǎng)區(qū)段電流，即

機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓可用換流站電壓、換流站到機(jī)車之間接觸網(wǎng)各區(qū)段的電壓降或電壓升來表示，即

將式（13）和式（14）分別代入式（15），得到機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓關(guān)于機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度的表達(dá)式為

最后，令上述求得的由機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示的接觸網(wǎng)區(qū)段電流、換流站輸出電流、換流站輸出電壓、機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓，分別滿足式（10）所示模型中的接觸網(wǎng)載流量約束、換流站輸出電流約束、換流站輸出電壓約束和機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓約束，形成關(guān)于機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度的不等式組，化簡后得到中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的運(yùn)行域解析表達(dá)式為

對于任意給定的機(jī)車運(yùn)行位置組合情況，均可將此情況下接觸網(wǎng)各區(qū)段長度代入式（17）所示運(yùn)行域解析表達(dá)式，得到此情況下各牽引電流應(yīng)滿足的范圍，通過判斷此情況下各牽引電流監(jiān)測值是否在此范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)供電安全性評價。

2.6 模型階數(shù)

為表征求解運(yùn)行域模型的計算量，定義運(yùn)行域模型的階數(shù)為：模型中需考察的狀態(tài)變量數(shù)與模型約束條件對應(yīng)等式及不等式總數(shù)的乘積。

本文模型狀態(tài)變量包括機(jī)車牽引電流和區(qū)段長度，由于運(yùn)行域模型求解時將各區(qū)段長度視為已知參量，實(shí)際需要求解的是運(yùn)行中機(jī)車牽引電流的范圍，因此在分析模型階數(shù)時只考慮機(jī)車牽引電流數(shù)量。

約束條件數(shù)量包括等式約束數(shù)a和不等式約束數(shù)b。等式約束包括接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式個、相鄰換流站電壓差表達(dá)式-1個、換流站輸出電流與機(jī)車牽引電流平衡關(guān)系式1個、換流站輸出電流和輸出電壓的下垂關(guān)系式個，則a=+2。不等式約束包括接觸網(wǎng)載流量約束個、換流站輸出電流約束個、換流站輸出電壓約束個、機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓約束個，則b=+2+。

因模型中所有不等式約束對變量均同時規(guī)定了上限和下限，不等式總數(shù)為2b，則模型約束條件產(chǎn)生的等式和不等式數(shù)量之和為a+2b=3+6+2。

綜上，本文運(yùn)行域模型階數(shù)為(3+6+2)。

3 基于運(yùn)行域的供電安全性評價

牽引供電安全性評價的任務(wù)是：在機(jī)車運(yùn)行過程中，分析牽引供電系統(tǒng)的所有電氣變量是否均處于各自允許的安全范圍內(nèi)。評價的目的在于指導(dǎo)行車組織方式的優(yōu)化調(diào)整。

基于運(yùn)行域的供電安全性評價方法如下：求解模型得到機(jī)車在各運(yùn)行位置下牽引電流需滿足的運(yùn)行域解析表達(dá)式，據(jù)此，以牽引電流為觀測量，獲取隨著機(jī)車運(yùn)行位置實(shí)時變化的可視化運(yùn)行域圖像。實(shí)時監(jiān)測工作點(diǎn)涉及的狀態(tài)變量即機(jī)車的牽引電流和運(yùn)行位置，通過監(jiān)視工作點(diǎn)是否處在可視化運(yùn)行域內(nèi)部，來判斷各運(yùn)行位置下的牽引電流是否滿足運(yùn)行域解析表達(dá)式，由此實(shí)現(xiàn)供電安全性評價。

基于運(yùn)行域的供電安全性評價方法有以下優(yōu)勢：

1）可減少監(jiān)測變量。運(yùn)行域模型由工作點(diǎn)向量和約束條件構(gòu)成，其中工作點(diǎn)向量由一組無冗余的能完整描述系統(tǒng)安全狀態(tài)的變量組成，本文取機(jī)車牽引電流和接觸網(wǎng)區(qū)段長度。雖然工作點(diǎn)向量中不含其他變量如接觸網(wǎng)電流、換流站電流、換流站電壓、機(jī)車網(wǎng)壓，但在約束條件中已通過式（2）～式（5）的等式約束將工作點(diǎn)向量中的變量與其他變量聯(lián)系起來，并通過式（6）～式（9）的不等式約束保證所有變量處于安全范圍內(nèi)。因此，只需監(jiān)測工作點(diǎn)向量中的變量，并判斷其是否滿足運(yùn)行域解析表達(dá)式，就等同于對所有變量進(jìn)行是否處于安全范圍的校驗(yàn)，無需再對不在工作點(diǎn)向量中的接觸網(wǎng)電流、機(jī)車網(wǎng)壓、換流站輸出電流、換流站輸出電壓進(jìn)行監(jiān)測，因而減少了監(jiān)測變量。

2）供電安全狀態(tài)整體可觀可控。工作點(diǎn)反映了系統(tǒng)整體的供電安全狀態(tài)，對其考察起到了“綱舉目張”的作用。通過監(jiān)測工作點(diǎn)中的機(jī)車牽引電流和機(jī)車運(yùn)行位置，即可從整體上把控系統(tǒng)供電安全狀態(tài)。通過監(jiān)視工作點(diǎn)相對于可視化運(yùn)行域的位置變化信息，可及時發(fā)現(xiàn)工作點(diǎn)越出運(yùn)行域邊界的不安全狀態(tài)及工作點(diǎn)存在越出運(yùn)行域邊界趨勢的風(fēng)險狀態(tài)，進(jìn)而及時優(yōu)化調(diào)整行車組織方式，以確保所有機(jī)車在牽引、惰行、再生制動等工況下的系統(tǒng)供電安全。

4 算例分析

4.1 算例概況

以圖2所示系統(tǒng)為算例驗(yàn)證本文模型。接觸網(wǎng)參數(shù)見表1。該系統(tǒng)額定電壓為24kV，機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓和換流站輸出電壓允許在額定電壓上下偏移±10%。換流站MMC1、MMC2和MMC3等距間隔100km，其輸出電流和電壓實(shí)際值分別記為MMC1、MMC2、MMC3、MMC1、MMC2、MMC3，各換流站采取電流-電壓下垂控制，輸出電流參考值MMC,ref均為0.6kA，輸出電壓參考值MMC,ref均為24kV，下垂系數(shù)均為3。換流站輸出電流最大值為1.25kA。相鄰換流站之間各有一輛機(jī)車在運(yùn)行，其牽引電流分別記為L1和L2，機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓分別記為L1和L2。由機(jī)車和換流站分隔形成的接觸網(wǎng)區(qū)段電流分別記為B1、B2、B3和B4，接觸網(wǎng)區(qū)段長度分別記為B1、B2、B3和B4。

圖2 中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)算例

表1 接觸網(wǎng)參數(shù)

4.2 運(yùn)行域求解

采用本文模型及其求解方法求解算例中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的運(yùn)行域，步驟包括以下六步。

第一步：以機(jī)車牽引電流L1和L2，接觸網(wǎng)區(qū)段長度B1、B2、B3和B4為變量，建立工作點(diǎn)向量，即

式中：B1、B2、B3和B4均大于0且不大于100km；L1和L2可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或0，分別對應(yīng)機(jī)車的牽引、再生制動和惰行三種狀態(tài)。

第二步：建立算例中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的等式約束，包括接觸網(wǎng)區(qū)段電流表達(dá)式、相鄰換流站電壓差表達(dá)式、換流站輸出電流與機(jī)車牽引電流的平衡關(guān)系式、換流站輸出電流與輸出電壓的下垂關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)后，得

第三步：建立算例中壓柔性直流鐵路牽引供電系統(tǒng)的不等式約束，包括接觸網(wǎng)載流量約束、換流站輸出電流約束、換流站輸出電壓約束、機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓約束，代入數(shù)據(jù)后，得

第四步：綜合上述第一、二、三步建立的算例工作點(diǎn)向量、系統(tǒng)等式約束和不等式約束，構(gòu)建針對本算例的運(yùn)行域模型為

第五步：將模型中的等式約束即式（19）～式（22）聯(lián)立求解。首先，將式（19）代入式（20），使式（20）中的接觸網(wǎng)區(qū)段電流均用機(jī)車牽引電流和換流站輸出電流表示，則等式約束可表示為

式（28）中的接觸網(wǎng)區(qū)段長度B1、B2、B3和B4在本算例中滿足的關(guān)系為

將3臺換流站的輸出電流和輸出電壓作為待求變量，而將機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度先視作已知量，則式（28）共有6個待求變量和6個等式，即可通過聯(lián)立求解得出由機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示的這3臺換流站的輸出電流和輸出電壓分別為

（30）

將式（30）代入式（19），即可用機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示接觸網(wǎng)區(qū)段電流，即

機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓可用換流站電壓、換流站到機(jī)車之間接觸網(wǎng)各區(qū)段的電壓降或電壓升來表示，即

將式（31）和式（32）代入式（33），得到機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓關(guān)于機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度的表達(dá)式，即

（34）

第六步：使由機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度表示的接觸網(wǎng)區(qū)段電流、換流站輸出電流、換流站輸出電壓、機(jī)車網(wǎng)側(cè)電壓分別滿足式（23）～式（26）所示不等式約束，化簡得到關(guān)于機(jī)車牽引電流、接觸網(wǎng)區(qū)段長度的運(yùn)行域解析表達(dá)式，即