優(yōu)質課堂教學設計的高立意追求
——以“勾股定理的逆定理“的教學為例

謝俊峰

(江蘇省揚州市朱自清中學,225000)

“意在筆先”是字畫創(chuàng)作的古訓,詩詞歌賦也強調“意尤帥也”,教學立意同樣決定教學的品味.數學教學從知識立意、能力立意到核心素養(yǎng)立意,是人們對教育認識的不斷發(fā)展.數學教學中,要落實立德樹人的根本任務,教師需充分挖掘數學知識所蘊含的價值觀資源,并把數學知識教學與價值觀融為一體[1],追求教學設計和課堂實踐的高立意.

五年教齡的青年教師T,擬開設一節(jié)教學公開課,課題是“勾股定理的逆定理”.筆者全程參與了教學研討,經歷了施教者在教學設計中從知識立意上升到能力立意,再從能力立意提升到素養(yǎng)立意的改進全過程.這引發(fā)了筆者許多關于追求高立意教學設計的思考,現整理成文,與大家分享.

一、基于知識理解的設計與思考

T老師先給出了設計初稿,對于例、習題的選擇進行了著重介紹.

1. 教學設計

(1)課堂引入

勾股定理的內容是什么?勾股定理的逆命題是什么?它是真命題嗎?

(2)定理證明

命題在?ABC中,若三邊a,b,c滿足關系a2+b2=c2,則?ABC是直角三角形嗎?為什么?(請嘗試證明該命題的正確性)

(3)典型例題及鞏固練習

例13,4,5是一組勾股數,如果將這三個數分別擴大2倍,所得的3個數還是勾股數嗎?擴大3倍、4倍、n倍呢?

練習1判斷下列各組數是勾股數嗎?為什么?

練習2判斷由下列線段a,b,c組成的三角形是否為直角三角形?

例2?ABC的三邊長分別為a,b,c且a=n2-1,b=2n,c=n2+1,?ABC是直角三角形嗎?證明你的結論.

練習3在?ABC中,三邊長分別為a,b,c且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m,n是正整數且m>n,試判斷?ABC是否是直角三角形.

例3已知某校有一塊四邊形空地,如圖1,經測量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m，求空地四邊形ABCD的面積?

(4)課堂小結

本節(jié)課你學習了哪些知識?

2. 設計分析

設計定位于知識立意.教師注重數學知識的傳授,例題選擇與鞏固練習都能圍繞勾股定理逆定理和勾股數的應用,滿足于學生掌握知識,學會解題.但忽略了數學知識所承載的數學文化的教育價值,如何讓學生在知識獲得過程中提升數學能力未能很好體現.具體地:(1)講解教材提供的證明方法時,要注意學生通常會有“為什么這樣想”的困惑,逆定理的證明是本節(jié)課的難點,能否有效突破;(2)勾股定理及逆定理具有重要的數學文化價值,教材上也提供了古巴比倫泥板“普林頓322”,如何將數學文化融入課堂教學值得思考;(3)教學內容劃分上,例3屬于勾股定理及逆定理的應用,安排在本節(jié)課是否合理值得商榷.

3. 改進建議

針對這種情況,備課組提出了幾點建議:(1)深入解讀課程標準.共同學習文獻[2]中課程基本理念(P2-3),課程目標(P5-15)和教學建議(P84-89),深化了認識;(2)對比、研讀教材和教參,認真研究本節(jié)課的教學目標,明確教學重、難點;(3)推薦閱讀文獻[3][4][5],拓寬視野,了解數學史的教育價值,以及教學中數學文化滲透的路徑和方法.

二、注重能力培養(yǎng)的二次優(yōu)化設計

1.教學設計改進

改進1定理探究設計

步驟1畫一個邊長分別為3cm,4cm,5cm的三角形,并測量它的最大角的度數,你發(fā)現了什么?

如果把三邊長替換為以下長度,還有類似的結論嗎?請你選擇一組動手畫一畫.

(1)6cm,8cm,10cm;(2)5cm,12cm,13cm;(3)8cm,15cm,17cm.

通過剛才的實踐過程,你能猜想出什么結論呢?

步驟2在?ABC中,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,畫一個?DEF,使DF=3cm,EF=4cm,∠F=90°,?ABC和?DEF全等嗎??ABC是直角三角形嗎?請說明理由.

步驟3在?ABC中,若三邊a,b,c滿足關系a2+b2=c2,則?ABC是直角三角形嗎?為什么?

步驟4得出結論.

改進2例題設計

刪除了原來的例3,并對例1進行了多步分解.

例1已知:32+42=25=52,則3,4,5是一組勾股數.

(1)請你判斷6,8,10;9,12,15;12,16,20是不是勾股數?

(2)觀察上面的數據,你能得到什么結論?并證明你的結論.

(3)上面結論中n不是正整數時,等式是否成立?它們還是勾股數嗎?以它們?yōu)檫叺娜切问侵苯侨切螁?

改進3數學文化介紹

在例2之后,老師通過課件展示編號為“普林頓322”的古巴比倫(公元前3500年左右-公元前729年)泥板,介紹這塊泥板書顯示的是一張表格,而表格里的整數數組竟然都是勾股數.關于勾股數,學生通過泥板書和古代人隔空對話,體會到數學是人類文明共同的語言,數學還有更多未知的領域,需要同學們去探索.

改進4課堂小結設計

(1)請用簡潔的語言回顧一下今天學習的知識.

(2)通過勾股定理逆定理的獲得和證明過程,在數學思想方法習得方面你有哪些收獲?

2. 再分析再思考

定理探究中增加了學生操作、觀察、猜想、證明等過程,體現了從特殊到一般的數學思想的灌輸,發(fā)展了學生的合情推理與演繹推理的能力.將例1改為探究題,促進學生主動發(fā)現,及時探究,突出學生的主體地位.在例2中適時滲透了數學史知識,讓學生感受數學文化的魅力.在課堂小結環(huán)節(jié),從知識與思想方法方面進行了總結.

在逆定理探究過程的步驟2,3中,學生在老師的引導下證明了勾股定理的逆定理,但學生會有這樣的疑問,為什么要構造直角三角形?怎么想到構造的?學生知其然,而不知其所以然,處于“授之以魚”的教學層面,這樣的探究過程實際上是一種“假探究”,學生的思維能力和思維水平都沒有得到提高.學生雖然收獲了知識,能力也得到了發(fā)展,但在教學立意中屬于能力立意層次,還有提升空間.

三、突出素養(yǎng)達成的求精設計及其教學實施

在勾股定理逆定理的探究過程中進一步突出學生的主體性,增加合作學習的時間,讓學生真正經歷定理發(fā)現、證明的過程,感受構造法在定理證明的應用,這樣的設計,才能讓課堂走向素養(yǎng)的高立意.

1. 教學片段

師:同學們,上一節(jié)課我們學習了勾股定理及其證明,大家認為我們下面要學習什么呢?

生1:勾股定理的應用.

生2:勾股定理的逆定理.

師:你們是怎么想到的?

生1:前面我們學習了定理、方程等知識后,都要學習它們的應用.

生2:我們在學習一個定理后,都要探究它的逆命題是否成立.

師:這兩位同學都說得很有道理.今天我們先來研究它的逆命題,下一節(jié)課我們再來學習它們的應用.

師:勾股定理的逆命題怎么表述呢?

生3:如果三角形的三邊長度為a,b,c，且滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

師:說得很好,這個命題是真命題嗎?

一部分學生露出來肯定的神色,有一些學生則不能確定.

師:我們取一組滿足條件的數據來畫畫看.大家想取那一組?

學生異口同聲地說3,4,5.

師:好的,我們知道32+42=52,請同學們畫一個邊長分別為3cm,4cm,5cm的三角形.

(學生紛紛開始作圖,教師行間巡視,并對個別學生進行適當指導)

師:大家畫好圖后,比較你與其他同學的圖形,有什么發(fā)現?

生4:我發(fā)現三角形最大的角是直角.

生5:我發(fā)現我與同組同學畫的三角形是全等的.

師:這兩個同學的發(fā)現哪一個可以證明勾股定理的逆命題是真命題.

生6:生5的發(fā)現可以直接通過“SSS”來證明全等.我也同意生4的發(fā)現,但我還不能驗證.

師:同學們,在遙遠的古埃及,人們在環(huán)形繩子上打12個等間隔的繩結,分別取3,4,5個等間隔的繩結組成三角形,那么5這邊對的角是直角.古埃及人通過這樣的方法得到了直角,但是他們也不知道原因,下面我們就一起來探究.

老師在黑板上寫上了問題:

如圖2,在?ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,求證:∠C=90°.

師:同學們先獨立思考,再小組討論,然后全班交流.

生7:因為32+42=52,根據勾股定理,這個三角形是直角三角形.

生8:如圖2，延長AC到點D,使得CD=AC=3,BD=BA=5,則?ABC≌?DBC,所以∠BCA=∠BCD=90°.

生9:我想到了反證法.假設∠C≠90°,則AB≠5,與條件矛盾,所以∠C=90°.

生10:上一節(jié)課我們學習了“勾三股四弦五”,在直角三角形中,3,4,5可以構成直角三角形的三邊,而這個三角形與?ABC就是全等,所以∠C=90°.

……

很快,學生討論后都找出了生7、生8、生9證明過程中的問題,否定了他們的證明方法.對于生10的證明方法也有不同意見.

師追問生10:直角三角形中,3,4,5一定構成直角三角形的三邊,你能說明理由嗎?

生10:直角三角形中,根據勾股定理,3,4為直角邊,則斜邊為5;5為斜邊,3為直角邊,則另一條直角邊長為4;同樣,5為斜邊,4為直角邊,則另一條直角邊長為3.根據“SSS”,那么這樣的直角三角形與?ABC一定全等.

師:有道理,那大家根據生10的思路如何證明勾股定理的逆定理?

這時,大部分學生都想到了先構造一個直角三角形,然后證明構造的直角三角形與原三角形全等.

學生開始自主證明,教師安排三名學生進行板演.

師:剛才同學們自主探究了勾股定理的逆定理,所用證明方法有別于平時的方法,我們稱之為同一法.所謂同一法,就是當我們在證明一個命題遇到困難時,我們可以構造一個符合結論的圖形,然后推導證明這個圖形與原來圖形全等,這樣原命題的結論就成立了.

同一法是一種間接的證明方法,它在一些定理證明中會經常使用,大家在以后的學習中會慢慢體會到.

……

2. 教學分析

學生在教師的引導下,從數學內部發(fā)展的角度,自主提出了本節(jié)課研究的課題,學會用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學的思維習慣,發(fā)展核心素養(yǎng)[2].接著讓學生經歷定理證明過程的探究,學生先獨立思考,遇到挫折與困境,甚至有一些錯誤的想法,然后再通過合作探究,一起找到問題解決的突破口,最后解決了問題.這個探究過程用時較多,在實際教學中不少老師認為不值得而忽略,但這是“授之以漁”的過程,學生主體性得到充分的體現,探究欲望得以點燃,學生的創(chuàng)新思維、批判思維等得到了提高.這樣的教育是以素養(yǎng)為核心的教育,這樣的教學立意也更加高遠.