基于MPCK理論的小學數(shù)學幾何直觀培養(yǎng)路徑

王穎

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），意為數(shù)學學科教學知識，由數(shù)學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、學生學習知識（CK）三者相互融合而成，是衡量數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的核心指標，亦為影響數(shù)學教與學的關鍵因素。幾何直觀主要是指學生運用圖表描述和分析問題的意識和習慣，它不僅是一種意識，也是一種技能，更是一種思維方式。本文基于MPCK理論，結合小學數(shù)學教學實踐與思考，探索幾何直觀培養(yǎng)路徑，通過對教師專業(yè)素養(yǎng)的提升與教學過程的優(yōu)化實現(xiàn)學生幾何直觀的發(fā)展。

一、把握數(shù)學本質，激活幾何直觀意識

MK主要是指教師具備的關于數(shù)學學科的知識。為提高MK水平，教師要研讀數(shù)學教材，準確把握數(shù)學學科內(nèi)容本質。具備較強MK水平的教師，在教學中能主動借助幾何直觀把抽象的數(shù)學知識轉換成形象的具體知識，讓學生感受到運用圖表描述和分析問題的意義與價值，愿意動手實踐，有效激活學生的幾何直觀意識。

例如，教學“倍的認識”單元（人教版，下同），由于倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，學生不易理解。教學本單元時，教師應注重幾何直觀的作用，通過多種直觀形式幫助學生理解數(shù)學本質。一方面，在本單元倍的概念建立過程中，教師注重將所比較的事物的數(shù)量關系直觀化。學生通過活動情境，把蘿卜每兩根為一組圈出來，并對蘿卜的圈圖進行比較，直觀形象地展示出兩個數(shù)量之間的倍比關系，溝通抽象的新知識“倍”與自己熟悉的“幾個幾”之間的聯(lián)系，建立起倍的直觀模型，從而深刻理解倍的本質，即一個量里包含了幾個另一個量就是它的幾倍。另一方面，在本單元解決問題（求一個數(shù)的幾倍是多少）教學中，為了讓學生明確“求一個數(shù)的幾倍是多少，就是求幾個幾是多少”，教師注重啟發(fā)學生借助圖形分析數(shù)量關系，可以從畫形象的實物圖出發(fā)，再慢慢過渡到畫線段圖。當然，對于第一次接觸線段圖的低年級學生來說，教師需要加強方法指導，引導學生自己學會用線段的長度來表示數(shù)量，并且能夠表示出兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關系。學生在理解基本數(shù)量關系的同時，感受幾何直觀的作用，借助圖形分析和思考的意識得以激活。

從MK角度分析，教師能夠靈活調(diào)用自身儲備的關于數(shù)學學科的知識，準確把握數(shù)學知識的本質，并借助幾何直觀手段引導學生探尋數(shù)學本質，引發(fā)學生自主運用圖表分析和解決數(shù)學問題，促進學生幾何直觀意識的養(yǎng)成。

二、構建教學策略，提升幾何直觀技能

PK主要是指教師具備的關于教學策略的知識。擁有不同PK水平的教師在教學策略方面的知識儲備量有所不同，面對同樣的數(shù)學知識就會有不同的教學設計，從而形成不同的教學效果。教學中教師要根據(jù)不同的教學內(nèi)容和教學目標靈活、恰當?shù)貥嫿ń虒W策略，并在運用教學策略的過程中助力學生養(yǎng)成運用圖表描述和分析問題的技能。

例如，教學“植樹問題”時，為了讓學生形成深刻的植樹問題模型，教學中教師巧妙采用建模、固模、用模、拓模等教學策略，引導學生不斷借助線段圖描述和分析植樹問題，積累活動經(jīng)驗，逐步深化對植樹問題認識的同時，實現(xiàn)對學生幾何直觀技能的提升。在建模中，對于相同的總長、相同的間隔長、相同的間隔數(shù)，不同的植樹情況（兩端都栽、兩端不栽、只栽一端）得到不同的植樹棵數(shù)。通過觀察線段圖，學生能夠清晰地看到：植樹棵數(shù)不同的主要原因在于兩端的植樹情況不同。教師進一步引導學生自己畫出線段圖并分析三種植樹情況中間隔數(shù)與棵數(shù)之間的對應關系。線段圖的呈現(xiàn)有效地幫助學生建立植樹問題模型并積累幾何直觀經(jīng)驗。在固模中，教師出示不同情況的植樹棵數(shù)，學生根據(jù)植樹情況和棵數(shù)快速找到所對應的間隔數(shù)。當學生判斷出現(xiàn)混淆時，自己能借助線段圖重新找尋對應關系。有些學生甚至能夠借助線段圖小結三種植樹情況的結構化關系：只栽一端間相等、兩端都栽間減1、兩端不栽間加1，從而實現(xiàn)鞏固模型的效果。在用模中，學生運用模型尋找生活中各種各樣的“樹”，包括看得見的“真的樹”（如路旁植樹問題）、看得見的“假的樹”（如鋸木頭問題）、不容易看見卻能“想象的樹”（如公交車站點問題）、看不見卻能“聽得見的樹”（如鐘聲問題）等，每一種生活中形象的“樹”，學生都能借助線段圖呈現(xiàn)出數(shù)學中抽象的“樹”，層層推進，實現(xiàn)模型的靈活運用。在拓模中，教師出示圓形池塘邊植樹問題，引發(fā)學生思考封閉曲線上植樹問題的棵數(shù)和間隔數(shù)的對應關系，學生通過化曲為直，再次借助線段圖分析，實現(xiàn)由直邊植樹模型向閉環(huán)植樹模型拓展。

從PK的角度分析，在數(shù)學教學中教師選擇適當?shù)慕虒W策略實施教學，借助教學策略適時地對學生進行針對性引導，有效地將學術形態(tài)的數(shù)學轉化成教育形態(tài)的數(shù)學，促進學生幾何直觀活動經(jīng)驗的積累，提升學生的幾何直觀技能。

三、探明學習思路，發(fā)展幾何直觀思維

CK主要是指教師具備的關于學生數(shù)學學習的知識，包括對學生學習困難及學習思路的認識。擁有較高CK水平的教師能夠準確辨別學生感到困難的學習內(nèi)容，并借助幾何直觀實現(xiàn)思維外顯，明晰思維路徑，化解學習難點，促使學生主動從直觀層面展開思考，進而形成良好的幾何直觀思維。

例如，教學“數(shù)學廣角——數(shù)與形”一課，在解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…的求和問題中，學生觀察發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即第一個加數(shù)是1/2，后面每個加數(shù)是前一個加數(shù)的1/2，并計算發(fā)現(xiàn)算式和的規(guī)律，即和為1減去最后一個加數(shù)，且隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近于1。但這個無限接近于1的數(shù)的具體值是多少？這是一個極其抽象的極限問題，學生很難理解其結果就是1。此時教師出示一個正方形，學生根據(jù)分數(shù)的意義，用陰影在正方形上有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當這個過程無止境地持續(xù)下去時，陰影部分就會把整個正方形占滿。用畫圖的方式來表示計算的過程和結果，且正方形易于分割觀察，學生直觀地看到這些數(shù)相加之和為1。此時，學生在理解上可能還存在困難，教師還可以借助圖形進行反推，幫助學生直觀地理解：1=1/2+1/2=1/4+1/4+=1/2+1/4+1/8+1/8=…在整個教學過程中，教師借助圖形為學生解決問題提供探索和思考的路徑，學生在體會推理和極限思想的同時，充分感受到利用圖形探索解決問題思路的重要性，助力自身幾何直觀思維的發(fā)展。

從 CK的角度分析，在小學數(shù)學教學中，教師只有全面深入地探明學生的具體學情，才能關注到學生的個體差異，預測學生可能會遇到的困難，并根據(jù)學生的認知盲點巧借圖表來解決，引發(fā)學生借助幾何直觀進行有理有據(jù)地思考。

（作者單位：福建省廈門市集美區(qū)教師進修學校 福建省廈門市集美區(qū)內(nèi)林小學 ）