妙用幾何，提高直觀解決問題的能力

周志穎

（蘇州市吳中區(qū)長(zhǎng)橋?qū)嶒?yàn)小學(xué)，江蘇蘇州 215128）

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生如何解決實(shí)際問題既是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是教學(xué)中的難點(diǎn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，也對(duì)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)提出了一定的要求。因此，如何巧妙地利用圖形描述和分析問題不僅是學(xué)生在學(xué)習(xí)中需要不斷突破的一個(gè)有效方面，也是值得教師不斷去思考研究的一個(gè)重要內(nèi)容。學(xué)生在解決問題中，一道題通讀下來文字確實(shí)不少，感覺既抽象又復(fù)雜，就有種讀不明白的感覺。學(xué)生階段，他們的思維模式其實(shí)就要學(xué)由原理具體形象的思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)變，對(duì)一些抽象的問題理解起來還是有不小的困難。如果教師只是讓學(xué)生簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地去看去讀，哪怕老師講得口干舌燥，學(xué)生可能也難以理解和掌握，最后就是教學(xué)的效果也不理想。時(shí)間和精力是花了，但學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不佳。即使學(xué)生會(huì)做了，恐怕也是局限于相同的題目類型。

而借助幾何圖形，就可以利用圖形直觀地描述和分析問題，化繁為簡(jiǎn)，化隱為明，有助于學(xué)生形成解決問題的思路與方向，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。其實(shí)，這就是“數(shù)形結(jié)合”思想的巧妙運(yùn)用，它在教學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，該怎樣培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力呢？

一、在嘗試中“畫一畫”，引發(fā)解題的策略和想法

通過動(dòng)手操作是可以幫助學(xué)生尋找探究問題的最佳方案，為學(xué)生提供一定的解題思路與方向。所以，應(yīng)該讓學(xué)生有意識(shí)地先進(jìn)行操作，嘗試去畫一畫，將抽象的文字直觀化、具體化。

例題1：周爺爺去買書，買了8本童話書和3本科技書，共付140元，已知1本科技書的價(jià)錢和4本童話書的價(jià)錢一樣多，每本童話書和科技書各多少元？

學(xué)生先自己審題，讀完題目后讓他們說說自己知道了什么？大家踴躍舉手發(fā)言，提到了科技書的數(shù)量、童話書的數(shù)量，兩種不同類別書的價(jià)格關(guān)系以及它們的總價(jià)格。接著，又向大家提問，你打算怎么解決？不少學(xué)生就有點(diǎn)茫然不知所措了?；叵肓艘幌滤麄冎盎卮鸬牡谝粋€(gè)問題，大都其實(shí)就是把題目又照讀了一遍，沒有真正弄清楚這些條件所要表達(dá)的含義。因此，向?qū)W生提出建議，你能用自己的方式把這些信息清晰地表示出來嗎？就有學(xué)生立馬表示想要?jiǎng)邮秩ギ嬕划嫞瑢懸粚?，把條件整理出來。有的用文字把題中關(guān)系描述出來，有的用圖形一一畫出來。

每個(gè)學(xué)生都有自己不同的想法和表示方法，通過自我畫圖嘗試，這里選取了其中一種較為簡(jiǎn)單明了的表達(dá)方式。用三角形代表科技書，圓代表童話書，3本科技書和8本童話書一共140元，1本科技書的價(jià)格等于4本童話書的價(jià)格。也就是可以畫1個(gè)三角形等同于4個(gè)圓。3個(gè)三角形和8個(gè)圓排一排，用大括號(hào)括在一起，一共是140元。這樣畫了以后，學(xué)生就可以清楚地看出各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，自然而然就找到了解題的思路。

第①種想法：1本科技書可以替換為4本童話書，3本科技書可以替換為12本童話書，3本科技書加8本童話書就變成是20本童話書，一共是140元，可以列出算式：3×4=12（本），12+8=20（本），140÷20=7（元），每本童話書就是5元，而每本科技書就是：7×4=28（元）。

第②種想法：4本童話書可以替換為1本科技書，8本童話書可以替換為2本科技書，3本科技書加8本童話書就變成5本科技書，一共是140元，可以列出算式：8÷4=2（本），2+3=5（本），140÷5=28（元），每本科技書就是28元，而每本童話書就是：28÷4=7（元）。

當(dāng)條件比較復(fù)雜時(shí)，通過幾何圖形的繪畫，經(jīng)過學(xué)生們的觀察思考，他們想到了可以將科技書全部轉(zhuǎn)換成童話書或者將童話書全部轉(zhuǎn)換成科技書，也就是將兩種數(shù)量先變成一種數(shù)量來解決，找準(zhǔn)其中的數(shù)量關(guān)系，明確解題的思路與方法。

在這種情況下，我又將題目進(jìn)行了升華。

例題2：周爺爺去買書，買了3本科技書和2本童話書，一共要支付98元，如果買2本科技書和3本童話書一定要支付77元，每本科技書和童話書各多少元？

同樣讓學(xué)生先審題思考，說說題中的已知信息以及自己的打算。有了之前的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們很快進(jìn)入了狀態(tài)，畫出已知條件并觀察分析，嘗試找出解題的思路與方法。這里依舊采用了畫圖的表達(dá)方法。用三角形代表科技書，圓代表童話書，3本科技書的價(jià)格加上2本童話書的價(jià)格等于98元，2本科技書的價(jià)格加上3本童話書的價(jià)格等于77元。也就是可以畫3個(gè)三角形和2個(gè)圓在一起，是98元。2個(gè)三角形和3個(gè)圓在一排，大括號(hào)括在一起是77元。

學(xué)生畫完以后，發(fā)現(xiàn)這一道題跟之前那一道題又有點(diǎn)區(qū)別。不能馬上把其中一個(gè)替換成另一個(gè)了。接下來怎么辦呢？細(xì)心的同學(xué)就發(fā)現(xiàn)了這兩次購(gòu)物，兩種類型書的數(shù)量之和都是一樣的，兩種類型書的數(shù)量差也是一樣的。這樣一想，學(xué)生解題就有了方向。

第①種想法：把兩次合起來就發(fā)現(xiàn)正好是5本科技書與5本童話書，它們的價(jià)格就是：98+77=175（元），所以一本科技書與一本童話書，它們的價(jià)格就是：175÷5=35（元），兩本科技書與兩本童話書的價(jià)格就是：35×2=70（元），所以一本童話書的價(jià)格就是：77-70=7（元），一本科技書的價(jià)格就是：35-7=28（元）。

第①種想法：兩次都含有2本科技書和2本童話書，所以兩次相差的價(jià)格其實(shí)就是科技書比童話書貴的價(jià)格，列出算式：98-77=21（元），也就是說一本科技書比一本童話書多付21元?，F(xiàn)在將第二次中兩本科技書換成兩本童話書，那么總價(jià)就要比原來便宜42元，也就是變成這5本童話書的價(jià)格是：21×2=42（元），77-42=35（元），一本童話書的價(jià)格：35÷5=7（元），一本科技書的價(jià)格就是：7+21=28（元）。

第③種想法：開始與第②種想法一致，通過兩次價(jià)格相減知道一本科技書比一本童話書多付21元?，F(xiàn)在將第二次三本童話書換成三本科技書，那么總價(jià)就要比原來增加63元，也就是變成這5本科技書的價(jià)格是：21×3=63（元），77+63=140（元），一本科技書的價(jià)格：140÷5=28（元），一本通話書的價(jià)格就是：28-21=7（元）。

學(xué)生思路受阻時(shí)，借助直觀的圖形，通過圖形間的聯(lián)系比較，把題中已知信息更加清楚明確地展示出來，輕松解決了問題，讓學(xué)生切身體會(huì)“畫一畫”的功效，開發(fā)妙用幾何的想法與策略。

二、在比較中“想一想”，進(jìn)一步領(lǐng)悟與感受

學(xué)生在了解幾何直觀的方法與用處以后，有了一定的解題策略與意識(shí)。但要做到合理并且靈活運(yùn)用，也不是一蹴而就的，很有可能陷入“為了直觀而直觀”這樣的誤區(qū)，有些不需要運(yùn)用的時(shí)候依舊死命套用，而有時(shí)候需要使用的時(shí)候就忽略了。這時(shí)候就需要學(xué)生要學(xué)會(huì)比較、思考，想一想什么時(shí)候運(yùn)用才是最合理的、最有效的，進(jìn)一步領(lǐng)悟與感受幾何直觀解題的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)辨別哪種題目更加適合運(yùn)用。

例題3：動(dòng)物園有5只孔雀，猴子的數(shù)量再多2只就是孔雀的3倍，孔雀和猴子一共有多少只？

例題4：動(dòng)物園一共有孔雀和猴子18只，猴子的數(shù)量再多2只就是孔雀的3倍，孔雀和猴子各有多少只？

例題3與例題4正好是一組對(duì)比題，初步看上去好像差不多，仔細(xì)閱讀后就會(huì)發(fā)現(xiàn)是不一樣的。真的是既相似，又不同。例題3是已知其中一種量，求兩種量之和。而例題4，則是已知兩種量之和，要求這兩種量各是多少，盡管數(shù)量關(guān)系是相同的，但由于已知、未知的不同，求解的方法也是不同的。

這些題目對(duì)六年級(jí)的同學(xué)來說，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，條件比較清晰，并沒有造成多少困擾。對(duì)于例題3，大家都能很快找到其中的數(shù)量關(guān)系，確定解題思路，那就是先求出猴子的數(shù)量，再求出總數(shù)。因此，像這道題就沒有必要特意通過畫圖分析再解答。通過閱讀題中的信息就能知道，猴子的只數(shù)是孔雀的3倍少2只，由此猴子的數(shù)量是：5×3-2=13（只），孔雀和猴子一共是：5+13=18（只）。

對(duì)于例題4，哪怕是六年級(jí)的學(xué)生，如果不細(xì)心認(rèn)真對(duì)待，也有可能會(huì)做錯(cuò)。所以不少謹(jǐn)慎的學(xué)生，在經(jīng)過比較考慮后會(huì)先采用畫線段圖的方法。這也是妙用幾何的解題方法之一，可以更直觀、形象、具體地表示出題目中的數(shù)量關(guān)系，做到了化抽象為具體，便于自己更好地進(jìn)行判斷。

第①種想法：此題的關(guān)鍵還是兩種量之間的數(shù)量關(guān)系，通過觀察，就能知道猴子的只數(shù)就是孔雀的3倍少2只，如果把孔雀看成是一份的話，那么猴子就該是3份少2，所以孔雀與猴子合起來一共就是4份少2，由于比4份少2只是18只，那么4份的只數(shù)就是：18+2=20（只），一份便是：20÷4=5（只），所以孔雀有5只，猴子就有：5×3-2=13（只）。

第（2）種想法：通過圖形的直觀表示，還找到了不少其他的方法，可以將孔雀設(shè)為x只，猴子就有3x-2只，根據(jù)猴子加上孔雀的數(shù)量等于18只這樣的數(shù)量關(guān)系，可以列出方程：x+3x-2=18，化簡(jiǎn)就是4x-2=18，4x=20，求出x=5，3x-2=13。最后得到結(jié)果是孔雀有5只，猴子有13只。

題目的類型是多變的，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)合理靈活地去運(yùn)用。平時(shí)就可以通過對(duì)比題型的訓(xùn)練，讓學(xué)生在不斷練習(xí)中提升自己的感悟，在什么情況下使用解決問題會(huì)變得更加有效。

在聯(lián)想中“改一改”，不斷提高運(yùn)用能力。聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁，它是由當(dāng)前感知或思考的事物想到另一種事物上，可以將原本抽象的東西轉(zhuǎn)化成具體形象的東西。但是要做到這種轉(zhuǎn)化或改變，需要我們有意識(shí)、有目的地進(jìn)行觀察、比較，找出本質(zhì)的相同點(diǎn)，才能加以改動(dòng)，變得直觀化，從而提高靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，提高自身直觀解決問題的能力。

例題5：計(jì)算二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一的和是多少？這是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第七單元《解決問題的策略》中的一道題目。

開始學(xué)生遇到這種題的時(shí)候，普遍都想到了運(yùn)用異分母分?jǐn)?shù)加法的知識(shí)，先通分把4個(gè)異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)變成同分母分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。我肯定了這種做法，先讓學(xué)生動(dòng)手算出結(jié)果并做交流。然后又在原理的算式后面做了小小的改變，若是再添一個(gè)加數(shù)十六分之一呢？再添一個(gè)加數(shù)三十二分之一呢？這時(shí)候，大家都發(fā)現(xiàn)了若是老老實(shí)實(shí)去計(jì)算的話，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，這時(shí)候就有學(xué)生提出了，有沒有更簡(jiǎn)便的方法呢？

于是我引導(dǎo)大家仔細(xì)觀察這道加法分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，大家發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)的分子都是1，且相鄰的分?jǐn)?shù)中，后面分?jǐn)?shù)的分母是前面分?jǐn)?shù)分母的2倍。再結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義就可以看出這里相鄰兩個(gè)加數(shù)之間，前一個(gè)是后一個(gè)的2倍，或者也可以理解為后一個(gè)是前一個(gè)的二分之一。這樣一來，通過聯(lián)想便能把這些分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成圖形，把它放到圖形中表達(dá)。

經(jīng)過教師的引導(dǎo)分析，學(xué)生們積極思考，想到可以把一張正方形紙看做單位“1”，對(duì)折后一半就是二分之一，再對(duì)折的話，那么二分之一的一半就是四分之一……一共連續(xù)對(duì)折4次，一直到最后的十六分之一。將圖與題目聯(lián)系起來就能得出，這些分?jǐn)?shù)相加的和就是圖形正方形中那些代表各個(gè)分?jǐn)?shù)的面積之和，而這些圖形的面積之和也可以看成用正方形的面積減去最后的部分，就能把原來的算式改成計(jì)算1減去十六分之一，結(jié)果就是十六分之十五，既方便快速又準(zhǔn)確。

幾何直觀可以解決問題的范圍很廣，可以把文字描述轉(zhuǎn)變成圖形，也可以把某種數(shù)轉(zhuǎn)變成圖形，幫助我們搞清楚題中的數(shù)量關(guān)系，了解問題的本質(zhì)。在解決問題遇到困難時(shí)，條件太多太復(fù)雜了，就可以先嘗試用自己喜歡的形式去畫一畫，在畫的過程中想一想這道題是否有必要畫圖，結(jié)合題中條件與所展示的圖畫，是否可以幫助我們更加有效正確地解答。我所畫的這種形式是否是最佳的，還可以進(jìn)行怎樣的聯(lián)想，是不是要改一改，轉(zhuǎn)變成另一種可能更加方便與準(zhǔn)確。只要帶著這種意識(shí)不斷地練習(xí)，不斷地一次一次又使用，妙用幾何，就能提高自己直觀解決問題的能力。