基于分層距離變換的鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化

嚴偉，謝淑敏，徐占軍，蒲浩，李偉，申澤春，謝春玲

(1. 湖南中大設計院有限公司，湖南 長沙 410075；2. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；3. 高速鐵路建造技術(shù)國家工程研究中心，湖南 長沙 410075)

鐵路是國家的重要基礎(chǔ)設施，是國民經(jīng)濟的大動脈，在我國經(jīng)濟和社會發(fā)展中起著難以替代的支撐性作用[1]。當前，我國鐵路正處于飛速發(fā)展時期，全國鐵路營業(yè)里程已達到了13.9 萬km。然而，在鐵路建設過程中，將不可避免地與城市和地區(qū)中密集的既有道路路網(wǎng)出現(xiàn)大量交叉。為了避免新建鐵路阻斷既有道路，同時確保既有道路的運輸安全和通行能力，需要對既有道路的部分段落進行改移，并在交叉點處布設立交通道，實現(xiàn)公路與鐵路的立體跨越。立交通道的布設在交叉點處受到交叉口的交叉角度、有效凈空和線形等約束限制[2]，在時間和精力有限的情況下，工程師往往僅憑自身經(jīng)驗主觀對比幾個滿足約束、控制投資的可行方案進行最終決策，可能導致更有價值的方案被遺漏。因此，迫切需要提出一個既考慮道路建設、路網(wǎng)交叉等各項約束，又滿足節(jié)省工程投資目標的道路與鐵路立交通道智能設計方法。道路與鐵路立交通道優(yōu)化屬于線路優(yōu)化框架下的一個類別，相較于2個固定端點之間的線路優(yōu)化，還需要考慮路網(wǎng)交叉，與既有道路連接的增強約束。國內(nèi)外對于道路與鐵路立交通道的研究主要分為3 個階段：第1 階段，對于每一個道路交叉點，僅提供接近最優(yōu)解的備選方案集，在有限的方案中進行比選，選擇滿足約束與投資成本的最優(yōu)線路方案，該方法包含設計者的主觀性和隨機性。第2 階段：提出數(shù)學解析法，例如變分法[3]、枚舉法[4]、數(shù)值搜索[5]與線性規(guī)劃[6]，但是地形的變化和復雜的約束條件難以用連續(xù)可導的顯式函數(shù)表示，存在理論上的不足，在處理實際優(yōu)化問題時存在局限性。在第3階段中，隨著啟發(fā)式算法[7-9]的提出，遺傳算法、距離變換算法和粒子群算法等開始運用于線路優(yōu)化。與精確解法不同的是，啟發(fā)式算法不依賴于顯式函數(shù)。其中JONG[10]提出了一個基于遺傳算法(GA)的高速公路線形優(yōu)化(HAO)模型，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為生物進化中染色體交叉與變異過程。李偉等[11]提出一種基于雙向距離變換的山區(qū)鐵路線形優(yōu)化方法。SHAFAHI 等[8]利用粒子群(PSO)算法求解在復雜情況下，給定的起終點之間的最優(yōu)線路方案。吳敏等[12]在其基礎(chǔ)上提出改進的粒子群算法，避免其早熟收斂的缺點，增加方案多樣性。盡管這些有代表性的研究為本文工作提出了寶貴的參考，但是多集中在新建鐵路和道路的線形優(yōu)化上，且均為在2個固定端點之間尋找滿足指定目標的最優(yōu)解決方案，并不直接適用于立交通道的線形優(yōu)化問題。對于立交通道而言，其線路的起終點，即與既有道路的2個連接點是非固定的。同時，立交通道與新建鐵路在交叉點處的交叉約束、連接約束與幾何約束也是在優(yōu)化過程中必須要考慮的問題。為了解決上述問題，本文提出將線路的投資成本視為立交通道的起終點之間的特定距離，把立交通道的線路優(yōu)化轉(zhuǎn)換為起終點之間的最短路徑搜索問題。針對道路與鐵路立交通道起終點均不固定的情況，提出優(yōu)化模型和解算方法用于鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化，其主要貢獻如下。

1) 構(gòu)建一種考慮與既有道路連接點和鐵路交叉點均可變的立交通道線路優(yōu)化模型。

2) 提出一種基于距離變換(DT)[13]的分層優(yōu)化策略，將問題分解為非交叉段子優(yōu)化和交叉端與非交叉段2階段重組，削弱連接點與交叉點的耦合相互作用。

3) 最后，將該方法應用于一個復雜的實際案例，通過對計算機與人工方案進行比較，驗證該方法的有效性。

本文的第1節(jié)給出了鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化模型。第2 節(jié)將DT 算法應用于立交通道問題。第3 節(jié)和第4 節(jié)分別提出了實際案例研究和本文結(jié)論。

1 優(yōu)化模型

1.1 綜合地理信息模型

確定研究區(qū)域的邊界是建立地理信息的前提。如圖1所示，在距離既有道路與新建鐵路的交叉口位置I的X米處(本文X=500 m)，沿既有道路構(gòu)造橢圓區(qū)域，識別橢圓焦點A，B2 點，取展線系數(shù)γ=2imax/iD為偏心率，其中，iD為地面高程的平均坡度，imax為道路的最大限制坡度。取研究區(qū)域為該橢圓的外接四邊形，并將研究區(qū)域細分為寬度為w的單元方格。獲取研究區(qū)域內(nèi)各個網(wǎng)格的包括地形(高程)、地質(zhì)(巖土特征)、單位成本(工程單價信息)、現(xiàn)有建筑(工廠、道路、鐵路、居民區(qū))等地理信息，構(gòu)建綜合地理信息模型(CGIM)。更多有關(guān)CGIM詳細解釋可見文獻[14]。

1.2 決策變量

立交通道優(yōu)化屬于線路優(yōu)化，利用起終點之間的一系列交點(PI’s)可以描述其三維線路[15]，具體分為平面交點(HPIs)和縱面交點(VPIs)的坐標。同時，立交通道中的橋梁和地下通道可以通過MBUs來定位[16]，與道路連接點和鐵路交叉點通過VCCs表示，立交通道能通過I(與鐵路交叉點)中連接點(VCCs)，S＆E(連接既有道路起終點)，結(jié)合HPIs，VPIs，MBUs，VCCs決策變量可表示為：

其中：XH，YH，RH，lH0和lH1分別表示平面交點的坐標、交點半徑、前后緩和曲線長度；KV，HV和RV表示變坡點的里程、高程和豎曲線半徑；KBS，KBE和KUS，KUE分別表示橋梁和隧道的起始里程與終點里程；I表示改建道路與新建鐵路交叉點，S和E表示改建道路在既有道路上的起始連接點和終止連接點。

1.3 目標函數(shù)

鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化模型的目標是尋找施工成本最低的優(yōu)化設計。其中施工成本主要包括土石方工程費(CE)，路面成本(CP)，路權(quán)費(CR)，橋梁工程費(CB)以及隧道工程費(CU)，具體表示如下：

其中：CE，CP，CR，CB和CU的具體計算公式可見文獻[17]。

1.4 約束

公路和鐵路處的立交通道需滿足4 種類型約束：幾何線形約束(CGeometry)，交叉約束(CCrosse)，連接約束(CConnect)與《公路路線設計規(guī)范》(JTG D20—2017)中既有結(jié)構(gòu)約束(CStructural)。

1.4.1 幾何線形約束(CGeometry)

1) 平面幾何約束：① 最小曲線半徑(RHmin)；② 最大曲線半徑(RHmax)；③ 最小夾直線長度(LHmin)；④ 最小轉(zhuǎn)向角(αcmin)。

2) 縱斷面幾何約束：① 最小允許坡長(LVmin)；② 最大允許坡長(LVmax)；③ 最小豎曲線半徑(RVmin)；④ 最大允許坡度(imax)。

1.4.2 交叉約束(CCrosse)

1) 道路與新建鐵路相交時，形成的交叉角AC不應小于規(guī)定的最小交叉角Amin，并盡可能地使道路與鐵路正交：

2) 為保證車輛的安全運行，立交通道處的凈空(即鐵路設計標高Hrail與道路設計標高Hroad之間的高差值)應滿足如下約束：

3) 道路立交通道交叉部分必須保持筆直，以保證行車時的良好可見度。

1.4.3 連接約束(CConnect)

局部改建道路與既有的道路連接時，改建道路與既有道路在連接點處的方位角應一致：

1.4.4 既有結(jié)構(gòu)約束(CStructural)

1) 禁區(qū)：取集合UF表示禁區(qū)單元格；集合UC為搜索路徑所占用的單元格。為保證搜索路徑繞避禁區(qū)，UF與UC的交集應為空：

2) 結(jié)構(gòu)要求：橋梁的高度和長度，隧道的孔徑應該滿足《道路線形設計規(guī)范》(JTG D20—2017)中規(guī)定。

綜上所述，鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化模型可表示為：

2 搜索方法

2.1 分層優(yōu)化策略

由于立交通道與新建鐵路交叉點(I)和與既有道路的起終點(S和E)連接位置均是可變的(如圖2所示)，其線形優(yōu)化也因地形、地質(zhì)、約束條件和優(yōu)化目標而變化，因此關(guān)鍵問題是如何分解上述3種過程，并削弱耦合交互作用。將整個S→I→E路徑以I為界分解為S→I，I→E2 段。故整個搜索轉(zhuǎn)化2 個主要過程：1) 可變交叉點I處的路徑拼接；2) 不同端點之間的路徑搜索問題(S＆I，I＆E)。但如何在考慮交叉約束的情況下正確拼接S→I，I→E在I處的路徑，并確定一個固定端點(I)和一個可變端點(S/E)之間的有效路徑搜索方法是尤為重要的。為解決上述難題，提出：

1) 將新建鐵路附近單元格定義為左側(cè)單元格集合L[L1,L2, …,Lp]和右側(cè)單元格集合R[R1,R2,…,Rq]。將新建鐵路左側(cè)既有道路穿越起點單元格定義為S[S1,S2, …,Lm]，同理，終點單元格定義為E[E1,E2,…,En]，具體可見圖3。將S→I，I→E進一步分解為S→L，L→R，R→E。并對L→R交叉段路徑進行交叉約束處理，完成在I點的路徑拼接。

2) DT 算法可以生成任意單元格到目標單元格間的優(yōu)化路徑，故依次將L中單元格作為目標單元格，S中單元格為任意單元格，采用DT 算法搜索得到S→L的若干條路徑。R→E段可行路徑同理可得。

2.2 固定端點與可變端點間的路徑搜索

取L[L1,L2,…,Lp]或R[R1,R2,…,Rq]中一個單元格為固定端點，S[S1,S2,…,Lm]與E[E1,E2,…,En]中單元格為可變端點。在滿足第1.4 節(jié)所述約束條件的情況下，以L中一單元格Li和S[S1,S2,…,Lm]中單元格之間利用DT 進行路徑搜索的過程為例，具體步驟如下。

第1步：對新建鐵路線左側(cè)的研究區(qū)域進行預處理。研究區(qū)域中的單元格應該滿足高度可訪問性，即研究區(qū)域任意一單元格(Rx,Ry,Rz)到固定端點Li(LRx,LRy,LRz)的距離必須保證在使用最大限制坡度imax和容許展線系數(shù)γ條件下，能夠克服2單元格之間的高差，即滿足：

如果有單元格未通過高度可訪問性檢測，即與式(11)沖突，則將該單元格標記為禁止單元格，后續(xù)的雙向掃描過程中將忽略該禁區(qū)單元格的掃描。

第2步：初始化左側(cè)研究區(qū)域所有單元格的廣義距離值VDT，如式(12)所示，即固定端點(LR)為0，其他單元格(D)均為正無窮。廣義距離表示將距離變化中的距離概念拓展到綜合代價，即前述(CE+CP+CR+CB+CU)確定的綜合造價，其值表示廣義距離值。

第3 步：如圖4 所示，利用正反雙向掃描的方式從圖像的左上角開始，按先正向(從下至上，從左至右)，再反向(從上至下，從右至左)的順序掃描非禁止單元格，更新其廣義距離值，形成最終的廣義距離圖。當單元格(G)被掃描時，將鄰域模板的中心置于其上，遍歷鄰域模板中所有單元格(例：圖4中單元格P)，對2單元格形成的局部線路判斷是否滿足第1.4 節(jié)所述的線形幾何約束；橋梁的橋高約束、橋長約束與凈空約束；根據(jù)線隧挖深分界標準自動布設生成的隧道是否滿足隧長約束、地質(zhì)條件約束；路基段是否滿足坡度坡向要求和地質(zhì)條件要求。當不滿足條件時，剔除該局部線路，重新選擇鄰域模板內(nèi)其余單元格，當單元格(P)滿足：

則更新當前單元格P的廣義距離值VDT(P)，使VDT(P)=VDT(G)+d(P→G)，并記錄P與G之間的行列差(ΔR，ΔC)，以用于追蹤優(yōu)化路徑。

第4 步：通過第3 步形成的廣義距離圖，尋找處于S集合內(nèi)所有單元格的VDT值，將VDT值最小的單元格(Si)作為以Li為固定端點的最短路徑終點，并通過ΔR，ΔC遞推出單元格Si到Li的最短路徑方案[11]。通過對L中單元格的迭代，可以得到從S中所有單元格到L中所有單元格的非交叉段優(yōu)化路徑。同理可得到R到E的所有非交叉段路徑，如圖5所示。

2.3 L至R交叉段拼接處理

通過迭代搜索單元格集合L與R之間局部線路的方法對交叉段進行處理，保留滿足所有約束條件的局部線路方案。如圖6 所示單元格Li為例，首先，在進行局部路徑搜索之前，以鐵路線的垂線作為角平分線，從單元格Li繪制角度為(π-2*Amin)的扇形，排除扇形區(qū)域外的R集合中單元格，剩余單元格與Li相連形成的局部線路一定滿足交叉段的交叉角約束。然后，進一步對局部線路進行第2.4節(jié)中所述其他約束，若不滿足，剔除該方案；若滿足，刷新Li→Rj的廣義距離值，生成局部線路的平縱面和橋隧線路方案。

通過上述步驟解決了2.1 節(jié)中提到的難題，并對2 個非交叉段和交叉段形成的局部路徑進行組合，形成完整的線路方案，并對所有路徑的廣義距離值進行排序，選擇最小距離值的方案為最優(yōu)路徑。對最優(yōu)路徑采用弦切支距法選取路徑中的特征點作為平面交點，并根據(jù)規(guī)范匹配最小的圓曲線半徑和緩和曲線長度，生成初始的平面線路；在平面初始線路方案基礎(chǔ)上，根據(jù)土石方工程量最小初始化縱斷面方案。

3 案例分析

3.1 工程概述

該方法已應用于湖北省漢江沙洋港疏港鐵路與其沿線三級公路改建形成的立交通道作為研究案例。該例中研究區(qū)域被分成10 m 寬單元格，路徑搜索過程中考慮第1.4 節(jié)中所述約束，具體數(shù)值可參見相關(guān)規(guī)范。并采用表1中記錄的各類單位成本計算目標函數(shù)。

表1 單位成本信息Table 1 Unit cost information

3.2 優(yōu)化結(jié)果

開發(fā)的程序在個人電腦(8核i7-7700CPU，16G內(nèi)存)普通計算機上耗費396 s 生成187 條備選路徑。所有路徑均滿足交叉點約束，并按工程造價排序。選擇計算機最優(yōu)方案(AC)為具有代表性的路徑，并將其與經(jīng)驗豐富的工程師的手工方案(AM)進行對比，詳細的平縱面對比如圖7 和圖8 所示，對比數(shù)據(jù)可見表2。

事實上，為了跨越鐵路線，立交通道交叉位置通常有上跨橋梁和地下通道2種形式，該算例采用地下通道的形式。從平縱方案圖和表2 可以看出，AC方案線路長304 m，相較于AM而言，減少了33 m，即9.8%。同時，從圖8(a)可以看出，AM在穿越鐵路時，為了保證列車的安全運行，需要保證道路與鐵路之間至少存在4.5 m 的凈空。對于AC而言，該方案在合理利用既有道路附近的地形條件，將填挖方量共減少47.5%的同時，在鐵路上尋找到合適的交叉點，無需下挖涵洞即可滿足凈空要求，減少了地下通道的工程量，盡管其地下通道長度增加了2.6%，最終總工程造價減少了6.1%。

表2 AC與AM的詳細結(jié)果分析Table 2 Detailed results analysis of AC and AM

結(jié)果表明，該方法能夠找到滿足多種約束條件的多條有前途的線路方案，極大地提高了有經(jīng)驗的設計師的設計效率。

4 結(jié)論

1) 構(gòu)建了一種考慮與既有道路連接點和鐵路交叉點均可變的鐵路沿線立交通道線路優(yōu)化模型，利用其施工成本作為目標函數(shù)對解決方案進行評估。

2) 提出一種基于距離變換(DT)的分層優(yōu)化策略，將問題分解為非交叉段子優(yōu)化和交叉端與非交叉段兩階段重組，削弱連接點與交叉點的耦合相互作用。對非交叉段采用一個固定端點與可見端點之間的路徑搜索，對交叉段進行局部路徑的拼接，獲取最終解決方案。

3) 將上述模型與算法用于復雜的實際案例，該方法的有效性得到了充分的證實，結(jié)果表明，與人工方案(AM)相比，計算機方案(AC)可以將工程造價減少6.1%。

然而，在新建鐵路穿越密集的既有路網(wǎng)時，將出現(xiàn)大量需要設置立交通道的既有道路，如果交叉位置相距一定距離，可以使用OpenMP并行編程來同時實現(xiàn)多個立交通道的優(yōu)化。同時，在未來的研究中，將追求更多的優(yōu)化算法，如遺傳算法與粒子群優(yōu)化等。