齒輪傳遞誤差及其振動激勵分析與仿真

李斯端

(德先汽車科技(上海)有限公司重慶分公司，重慶 401120)

0 引言

齒輪傳動系統(tǒng)作為一種多自由度的彈性機械系統(tǒng)，系統(tǒng)上的振動激勵源可分為外部激勵和內(nèi)部激勵2大類，外部激勵主要由驅(qū)動電機電磁諧波激勵、負載扭矩波動和齒輪旋轉(zhuǎn)質(zhì)量不平衡、幾何偏心以及系統(tǒng)中其他零部件的激勵構(gòu)成。內(nèi)部激勵是齒輪傳動不同于其他機械結(jié)構(gòu)的地方，它是由于齒輪嚙合剛度和負載的交替變化引起輪齒彈性變形周期變化、齒輪傳遞誤差等引起了嚙合過程中嚙入嚙出沖擊和速度載荷周期性波動，形成激勵振動，因而即使沒有外部激勵，齒輪系統(tǒng)也會受到內(nèi)部的動態(tài)激勵而產(chǎn)生振動噪聲。

齒輪傳動系統(tǒng)的內(nèi)部激勵包含剛度激勵、傳遞誤差激勵和嚙合沖擊激勵3種形式。剛度激勵是齒輪副在嚙合過程中，由于單、雙齒嚙合的交替，齒輪副的嚙合綜合剛度在單對齒和雙對齒之間周期性地交替突變，且在不同的嚙合位置，每一對嚙合輪齒的瞬時嚙合剛度都不相同。在嚙合綜合剛度的作用下，齒輪的傳遞誤差也產(chǎn)生周期性的波動變化，由于輪齒不斷地重復嚙合，傳遞誤差的波動變化就形成了一種周期性的位移激勵，導致齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生振動和噪聲。

本文以漸開線直齒輪為研究對象，對齒輪嚙合綜合剛度和傳遞誤差進行分析和理論計算，同時運用Romax軟件對直齒輪副進行建模、靜力學分析和精確仿真與有限元分析，得到直齒輪副的嚙合剛度和傳遞誤差，與理論計算的結(jié)果對比具有較好的一致性，同時運用Romax軟件仿真分析得出傳遞誤差激起的振動時域波形和各階次頻譜圖，為進一步的齒輪修形設計和振動噪聲控制打下了良好的基礎。

1 輪齒剛度激勵

本文以1對圓柱直齒輪傳動為例對齒輪的傳遞誤差及振動激勵進行分析，直齒輪副參數(shù)見表1。直齒輪副在Romax軟件中的3D模型如圖1所示。

表1 直齒輪副參數(shù)

圖1 直齒輪副3D模型

輪齒剛度指的是1 mm齒寬上為使1對或多對同時嚙合的無誤差輪齒沿嚙合線產(chǎn)生1 μm變形所必需的載荷。直齒輪的單對齒嚙合剛度c’指的是一對輪齒接觸的最大剛度，近似等于單齒嚙合狀態(tài)下一對輪齒的最大剛度。斜齒輪的c’指的是1對輪齒在法向截面內(nèi)的最大剛度。嚙合剛度cγ指的是嚙合中所有輪齒剛度的平均值[1]。輪齒嚙合綜合剛度cm是指在整個嚙合區(qū)(圖2中的A～D段)中，參與嚙合的各對輪齒的綜合效應，其值等于參與嚙合的各對輪齒的嚙合剛度的疊加[2]。

對于圓柱直齒輪副，重合度一般為1～2，嚙合接觸點從有效齒廓起始點A(SAP)開始沿著嚙合線逐步移動至有效齒廓終止點D(EAP)，如圖2所示。在單齒嚙合區(qū)B～C段，此時是1對輪齒參與嚙合，齒輪的嚙合綜合剛度較小，綜合彈性變形較大；在雙齒嚙合區(qū)A～B段和C～D段，此時是2對輪齒參與嚙合，嚙合綜合剛度為2對輪齒綜合剛度的疊加，綜合彈性變形較小?？梢钥闯?，嚙合綜合剛度在整個嚙合區(qū)是動態(tài)變化，具有明顯的階躍型突變性質(zhì)。當重合度不同時，嚙合綜合剛度分布曲線將具有不同的形式；當重合度為整數(shù)時，嚙合綜合剛度的變化較小，基本不存在階躍型突變[2]。

圖2 嚙合負載分布圖

在單齒嚙合區(qū)，輪齒嚙合綜合剛度cm等于嚙合剛度cγ，即cm=cγ；在雙齒嚙合區(qū)，輪齒嚙合綜合剛度cm計算式為：

cm=c’+cγ

(1)

依據(jù)GB/T 3480.1-2019計算出的直齒輪副的單對齒嚙合剛度c’和嚙合剛度cγ以及嚙合綜合剛度如表2所示。

表2 直齒輪副理論嚙合剛度 單位：N/mm·μm

通過Romax軟件對直齒輪副的嚙合剛度進行仿真分析，得出直齒輪副嚙合時各接觸點的瞬時剛度數(shù)據(jù)，如圖3所示。直齒輪副的嚙合綜合剛度數(shù)據(jù)，如表3所示。

圖3 直齒輪副瞬時嚙合剛度分布圖

表3 直齒輪副嚙合綜合剛度數(shù)據(jù)

另一方面，在齒輪副嚙合過程中，由于單、雙齒嚙合的交替，雙對齒嚙合區(qū)域A～B段和C～D段每對輪齒承擔的負載約為單對齒嚙合區(qū)域B～C段的40%～60%，但是承擔的總負載始終保持不變。通過計算可得出負載的實際分布情況如圖2所示[3]。齒輪嚙合時沿嚙合線(齒廓法向)的單位長度載荷按下式計算：

ω=Fn/b=Ft/b×1/cosαt

(2)

其中：Fn為沿嚙合線作用于齒廓法向的作用力，N；Ft為分度圓上名義端面切向載荷，F(xiàn)t=2M×1 000/d，N；M為齒輪所傳遞的扭矩，N·m；d為齒輪節(jié)圓直徑，mm；b為嚙合齒寬，mm；αt為齒輪端面嚙合角deg。

通過上式計算得出直齒輪副的理論單位長度載荷為286.11 N/mm。

通過Romax軟件仿真分析得出直齒輪副嚙合時每對輪齒的單位長度載荷分布情況如表4和圖4所示?？偟睦碚搯挝婚L度載荷為286.11 N/mm，與前述理論計算結(jié)果完全一致。

表4 直齒輪副單位長度載荷數(shù)據(jù)表

圖4 直齒輪副單位長度載荷分布圖

通過上述分析可知，直齒輪副在嚙合過程中，輪齒嚙合綜合剛度和負載隨著單、雙齒嚙合的交替進行而產(chǎn)生周期性的階躍型突變，從而引起輪齒綜合彈性變形周期性的交替突變，導致齒輪副角速度周期性的往復變化，對齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生動態(tài)沖擊激勵，導致齒輪傳動時產(chǎn)生振動和噪聲。

對于斜齒輪傳動，總重合度通常大于2，參與嚙合的齒輪對數(shù)始終有2對以上，保證2對輪齒完全嚙合的情況下嚙入端輪齒從齒端逐步進入嚙合，嚙出端輪齒從另一齒端逐步退出嚙合，嚙合過程的輪齒交替是平滑過渡的，嚙合綜合剛度cm基本等于嚙合剛度cγ，變化幅度很小，避免了直齒輪傳動時的階躍型突變。不過齒輪輪齒作為彈性體，其瞬時嚙合剛度隨著嚙合部位的變化會產(chǎn)生細微變化，導致輪齒綜合彈性變形在其嚙合周期內(nèi)產(chǎn)生細微波動變化，同樣會引起嚙合過程的動態(tài)剛度激勵，不過其激起的振動幅值相較于直齒輪大幅降低。

2 傳遞誤差激勵

傳遞誤差作為齒輪傳動系統(tǒng)的內(nèi)在激勵，是由齒輪嚙合本身產(chǎn)生的，其來源主要是齒輪制造誤差和輪齒綜合彈性變形。齒輪制造誤差屬于大周期誤差，稱為制造傳遞誤差，其激勵頻率等于齒輪的轉(zhuǎn)頻，而輪齒綜合彈性變形是由于輪齒接觸部位的表面擠壓變形和輪齒本身受載產(chǎn)生剪切、彎曲變形等多重因素造成，負載較大時其變形量往往是齒形誤差的2～3倍，稱為設計傳遞誤差，其激勵頻率等于齒輪的嚙合頻率。傳遞誤差TE主要由設計傳遞誤差TEδ(φ)和制造傳遞誤差TEΔ(φ)構(gòu)成。

TE(φ)=TEδ(φ)+TEΔ(φ)

(3)

齒輪制造誤差總會存在，通過設計限定齒輪的精度等級可使齒輪制造誤差處于允許的設計范圍內(nèi)，齒輪精度等級越高，制造誤差就越小，不過齒輪精度也不能無限制提高，一是因為制造誤差并不是傳遞誤差的主要構(gòu)成因素；二是因為齒輪的加工成本會隨著精度等級的提高呈幾何級增加。汽車變速器的齒輪通常采用淬硬處理加磨齒加工，經(jīng)濟精度一般為5～6級。制造誤差中對齒輪傳動平穩(wěn)性影響較大的主要是齒廓形狀偏差ffα和基圓齒距偏差fpb，其他的可忽略不計。齒輪的齒廓形狀偏差和齒距偏差在齒輪加工好后就是定值，基本不會因為其他因素的影響而發(fā)生改變，嚙合齒輪的齒廓形狀偏差和齒距偏差都是隨機變量，且分別服從正態(tài)分布和差值分析，一般不會同時達到極限偏差，因此制造傳遞誤差TEΔ在設計階段按下式經(jīng)驗公式計算：

TEΔ=fpb+1/3ffα

(4)

其中：ffα為齒廓形狀偏差，μm；fpb為基圓齒距偏差，μm。

輪齒彈性變形受輪齒剛度及其時變特性、載荷大小影響。一般來說，齒輪同時參與嚙合的輪齒對數(shù)是周期性變化的，即齒輪的重合度不為整數(shù)。而輪齒作為一個彈性體將隨載荷產(chǎn)生彎曲變形和接觸變形，可以將嚙合的輪齒簡化為沿嚙合線方向的時變彈簧，這樣輪齒的剛度和變形隨接觸線位置發(fā)生周期性的變化。同時，輪齒嚙合時，發(fā)生線接觸，隨著載荷的變化，接觸線寬度也隨之變化，進而導致變形隨之變化(非線性)。設計傳遞誤差為輪齒在嚙合點處沿嚙合線(齒廓法向)方向的位移，其計算公式為：

TEδ=ω/cm=(Ft/b×1/cosαt)×1/cm

(5)

式中：ω為齒輪嚙合線上的單位長度載荷N/mm；cm為嚙合綜合剛度N/mm·μm。

通過上式計算得出直齒輪副的設計傳遞誤差TEδ見表5。

表5 直齒輪副的理論設計傳遞誤差 單位：μm

通過Romax軟件仿真分析得出直齒輪副單對輪齒嚙合周期內(nèi)的設計傳遞誤差TEδ(見表6和圖5)，雙齒嚙合時輪齒的設計傳遞誤差TEδ約為單齒嚙合時的50%～60%。

圖5 直齒輪副設計傳遞誤差TEδ分布圖

表6 直齒輪副設計傳遞誤差TEδ數(shù)據(jù)

齒輪傳動時嚙合綜合剛度和負載隨著單、雙齒嚙合的交替進行而產(chǎn)生交替變化，造成齒輪的傳遞誤差也在單、雙齒嚙合區(qū)間內(nèi)波動變化，由于輪齒不斷地重復嚙合，傳遞誤差的波動變化就形成了一種周期性的位移振動激勵。

通過Romax軟件仿真分析得出直齒輪副嚙合時的靜態(tài)位移變動時域波形(見圖6)，其大周期波形為方波，主要是設計傳遞誤差隨著單、雙齒嚙合的交替進行而產(chǎn)生交替變化引起的周期性位移激勵；其小周期波形為全波余弦波形，主要是齒形誤差及輪齒綜合彈性變形在其嚙合區(qū)內(nèi)因嚙合部位的變化而產(chǎn)生的周期性小幅度位移激勵引起的。由方波的傅里葉變換可知，頻率成分包含奇數(shù)倍的高次諧波；由周期全波余弦信號的傅里葉變換可知，它的頻率成分包含偶數(shù)倍的高次諧波[4]。通過快速傅里葉變換得到各階次諧波的頻譜圖(見圖7)，其中基頻(一階)振動頻率為460 Hz，等于直齒輪副的嚙合頻率，其振動位移幅值為3.93 μm。當基于傳遞誤差的任一諧波頻率與減速器的某一固有頻率相同或非常接近時，就會產(chǎn)生共振，從而發(fā)生嘯叫。從圖7可以看出，前三階振動幅度較大，在后續(xù)的齒輪修形設計時要減小設計傳遞誤差的波動范圍以降低振動幅度，同時在減速器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)設計時要避免在前三階產(chǎn)生共振。

圖6 靜態(tài)位移變動時域波形圖

圖7 各階次諧诐頻譜圖

3 結(jié)論

1)本文通過理論分析和計算得出了直齒輪副的嚙合綜合剛度和傳遞誤差數(shù)據(jù)，和Romax仿真分析的結(jié)果對比具有較高的一致性。單齒嚙合區(qū)間的輪齒嚙合綜合剛度為雙齒嚙合時的50%～60%，單齒嚙合區(qū)間的傳遞誤差為雙齒嚙合時的160%～170%。輪齒嚙合綜合剛度隨著單、雙齒嚙合的交替進行而產(chǎn)生周期性的階躍型突變，引起傳遞誤差周期性的波動變化。

2)嚙合綜合剛度cm是參與嚙合的各對輪齒的綜合效應，其值等于參與嚙合的各對輪齒的嚙合剛度的疊加。對于直齒輪副，在單齒嚙合區(qū)，輪齒嚙合綜合剛度cm等于嚙合剛度cγ，即cm=cγ；在雙齒嚙合區(qū)，輪齒嚙合綜合剛度cm=c’+cγ；對于斜齒輪副，輪齒嚙合綜合剛度cm=cγ。

3)傳遞誤差TE由制造傳遞誤差TEΔ和設計傳遞誤差TEδ組成。制造傳遞誤差TEΔ屬于大周期誤差，其激勵頻率等于齒輪的轉(zhuǎn)頻，引起的振動頻率較低，一般遠小于減速器的固有頻率。設計傳遞誤差TEδ的激勵頻率等于齒輪的嚙合頻率，引起的振動頻率較高，各階次頻率與減速器的固有頻率有較寬的重疊范圍，可能引起齒輪傳動系統(tǒng)發(fā)生共振，輪齒綜合變形量越大其振動幅值就越高，振動烈度就越強，是影響傳遞誤差的關(guān)鍵因素。

4)傳遞誤差TE的周期性波動變化對齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生周期性的位移振動激勵，通過Romax軟件仿真分析得出傳遞誤差激起的振動時域波形和各階次諧波的頻譜圖。當任一諧波頻率與減速器的某一固有頻率相同或接近時，就會使齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，從而發(fā)生嘯叫。傳遞誤差TE是影響齒輪嚙合性能的主要因素，以及引起齒輪傳動系統(tǒng)振動和噪聲的根本原因。