“初等數(shù)學研究”課堂中數(shù)學文化的滲透

張 靜，李澤輝，羅朝陽

（昌吉學院數(shù)學系 新疆 昌吉 831100）

“文化”包含了人類在社會歷史的實踐過程中所有的精神創(chuàng)造和物質(zhì)成果的總和?！皵?shù)學文化”與數(shù)學、文化這兩個概念交叉融合后，成為一種綜合的意識形態(tài)。數(shù)學文化的學習在加強學生數(shù)學學習的使命感、體會數(shù)學精神、認識數(shù)學本質(zhì)、提升數(shù)學素養(yǎng)等方面有積極的影響?！俺醯葦?shù)學研究”作為數(shù)學師范生的專業(yè)課，旨在讓學生了解初等數(shù)學的研究對象，認識初等數(shù)學的學科地位和作用，以及用高等數(shù)學的理論和觀點看待中小學數(shù)學的問題，并應用重要的數(shù)學思想方法解決問題。通過對“初等數(shù)學研究”教材中涉及的隱性數(shù)學文化知識進行提煉與展開，將數(shù)學文化元素融入數(shù)學課堂教學中，能夠幫助師范生形成較為長久而穩(wěn)固的數(shù)學觀念，充分發(fā)揮數(shù)學文化的長期教育價值，為培養(yǎng)和造就具有數(shù)學文化底蘊的數(shù)學預備教師探索有益的途徑。

1 數(shù)學文化的內(nèi)涵及價值

1.1 數(shù)學文化的內(nèi)涵

在世界歷史記載中，古希臘是“數(shù)學”一詞的發(fā)源地，當時“數(shù)學”的含義是“科學”“知識”，而在中國古代則被稱為算術、算學和數(shù)學。關于“數(shù)學”的定義，數(shù)學家們各執(zhí)一詞，其中具有代表性的說法不下十種，如畢達哥拉斯的“萬物皆數(shù)說”、希爾伯特的“符號說”、庫爾的“邏輯說”、克里奇的“集合說”、M.克萊因的“精神說”、波萊爾的“藝術說”等。這些關于數(shù)學的定義，多是從數(shù)學內(nèi)涵的角度對其進行界定。隨著對數(shù)學本質(zhì)及其廣泛應用的深入認識，人們越來越認同將數(shù)學看作是一種文化。美國數(shù)學家懷爾德系統(tǒng)地提出了“數(shù)學文化論”，他指出“數(shù)學文化”與整個人類文明有著非常重要的聯(lián)系，是人類文化的重要組成部分。國內(nèi)學者中，孫小禮教授最先開啟了對數(shù)學文化的探索。對數(shù)學文化的定義，國內(nèi)主要有以下幾類：張奠宙從文學、語言學和美學等角度解釋數(shù)學是一種文化現(xiàn)象；黃秦安從系統(tǒng)的角度，將數(shù)學文化總結為一個具有強大精神與物質(zhì)功能的動態(tài)系統(tǒng)；鄭毓信認為數(shù)學文化是一個屬于數(shù)學學科的專有名詞；顧沛將數(shù)學文化定義為狹義與廣義兩種。狹義的數(shù)學文化是指數(shù)學的形成和發(fā)展過程與結果，廣義的解釋還包含了數(shù)學與人文、歷史、教育、美感的交叉，以及數(shù)學與各種文化之間的關系。

綜上所述，數(shù)學文化的定義是基于文化視角對數(shù)學所做的描述，其本身的應用價值以及對學生學習與成長的積極影響得到了廣大數(shù)學教育者的廣泛認同。數(shù)學文化深刻凸顯了數(shù)學的人性底色，涵蓋了所有數(shù)學化的創(chuàng)造物。本文認為，數(shù)學文化是由數(shù)學發(fā)展過程和數(shù)學成果所組成的有機整體，主要包含有：數(shù)學知識、數(shù)學思想方法、數(shù)學歷史、數(shù)學精神、數(shù)學之美的形成與發(fā)展，以及數(shù)學與人文及各種科學文化之間的相互關系。

1.2 數(shù)學文化的教育價值

數(shù)學文化的教育意義是隱性卻長遠的。著名物理學家愛因斯坦與日本教育家米山國藏都曾經(jīng)發(fā)表過他們對學校教育的著名言論，即，校內(nèi)進行的以知識為主的教育對學生的影響是十分短暫而有限的，學生出校門后幾年就忘了以前學過的知識是十分正常的，然而不管他們未來進入哪個行業(yè)，不會遺忘的教育對個人發(fā)展的影響才是教育真正發(fā)揮價值之處。十年樹木，百年樹人。米山國藏認為，數(shù)學思想方法和數(shù)學精神會長期影響學生的生活和工作。學生在學校期間所學習的數(shù)學知識，并不完全是出于以后工作具體使用才學的。在達成考試的功利性目的后，學生通常會很快忘掉數(shù)學知識，但學習過程中形成的數(shù)學素養(yǎng)會與學生相伴一生。數(shù)學素養(yǎng)被認為是一種理性思維，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)能夠對學生的觀念、精神和思維模式產(chǎn)生潛移默化的影響，同時，數(shù)學素養(yǎng)也是21 世紀的青年面對生活、學習、工作所需要的基本素養(yǎng)。在課堂中滲透數(shù)學文化，能夠塑造學生堅毅、理性、包容的心理品質(zhì)，體會數(shù)學學科所蘊含的無限美感與奧秘，實現(xiàn)文化育人的教育目標，讓教育影響在學生離開校園后依然發(fā)揮“余熱”。

2 “初等數(shù)學研究”中滲透數(shù)學文化的必要性

我國義務教育階段以及《普通高中數(shù)學課程標準2017年版》均明確要求，中小學教師應把數(shù)學文化與數(shù)學課標中各模塊的教學內(nèi)容進行有機結合。中小學數(shù)學教師在課堂教學中顯示出的數(shù)學文化底蘊，與數(shù)學師范教育教學中高校課堂對數(shù)學文化的充分滲透有直接聯(lián)系。數(shù)學師范生已經(jīng)歷過中小學數(shù)學知識的積累過程，基本具備了自學和探究數(shù)學的能力，往往將學習更多的數(shù)學分析、高等代數(shù)等知識或苦練教學技能作為重中之重。盡管近年來各大院校紛紛開設了數(shù)學史與數(shù)學文化課程，但從已有的調(diào)查研究結果看，師范生的數(shù)學文化底蘊普遍不高，也未對數(shù)學文化相關內(nèi)容的學習產(chǎn)生應有的重視，師范生在數(shù)學學習中普遍缺失數(shù)學文化的浸潤。數(shù)學文化為數(shù)學課堂教育帶來了巨大的價值，尤其是其中包含的數(shù)學史、數(shù)學思想與原理，展示了數(shù)學作為人類文明的發(fā)生發(fā)展過程，體現(xiàn)了數(shù)學的人文氣息。在新時代發(fā)展和我國新課程標準的必要條件下，將數(shù)學文化融入與中小學數(shù)學教學密切相關的“初等數(shù)學研究”課程教學中，能讓學生在學習數(shù)學時體會其中的文化價值，在文化的氛圍中學習，與文化產(chǎn)生共鳴，對培養(yǎng)師范生的數(shù)學文化素養(yǎng)具有重大意義。

3 “初等數(shù)學研究”中滲透數(shù)學文化的策略

3.1 建立文化思想的分析視角，發(fā)展學生的理性思維

數(shù)學教學過程既要講究推理，也要講明道理，道理中就體現(xiàn)了數(shù)學文化底蘊。傳統(tǒng)課程采用的方式是希望學生在繁復的證明與計算中鍛煉出理性思維，然而學生往往只認識到數(shù)學枯燥乏味的一面，失去了認識數(shù)學本質(zhì)的機會。引導學生從文化思想的視角分析數(shù)學內(nèi)容，能夠幫助學生理解數(shù)學的本質(zhì)。比如，學生在初中階段已經(jīng)通過直觀歸納，學習了“對頂角相等”這個簡單的命題，但初等數(shù)學研究中關于平面幾何教學的主要目的并不是確保學生掌握了這樣的事實，而是引導學生站在更高的角度去思考為什么。教師若能聯(lián)系古希臘和中國古代的政治文化背景，剖析為何古希臘人認為這樣顯然的命題還有證明的必要，而中國古代以算法為主的數(shù)學就不會去研究這個定理，不僅能讓學生體會這個定理的理性思維價值，還能為數(shù)學課堂帶來文化上的思考與積累。

再如，函數(shù)的概念歷史長達兩百多年，學生已經(jīng)經(jīng)歷了從初中的“變量說”到高中的“定義說”。對于函數(shù)如何發(fā)展起來的，以及為什么要叫作函數(shù)，學生往往認識比較模糊。事實上，任何數(shù)學知識的發(fā)展都經(jīng)歷了曲折的發(fā)展過程,函數(shù)的不同定義通常在歷史長河的某個時間段共存，新的定義并不意味舊定義的廢棄。了解函數(shù)的發(fā)展過程，師范生能夠更好地理解目前中小學數(shù)學教科書上函數(shù)的定義與出現(xiàn)的順序，從而更好地通過歷史的相似性體會到中學生學習過程中可能出現(xiàn)的問題，更深入地把握函數(shù)概念的本質(zhì)。

3.2 構建與其他學科的聯(lián)系，滲透數(shù)學的思想方法

目前新課程改革著重提出，中小學數(shù)學課堂中應注重“通性通法”的教學，而數(shù)學思想方法的考察在各省的高考數(shù)學說明中也有明確且重要的地位。中小學數(shù)學課堂中涉及的數(shù)學思想方法有函數(shù)與方程、特殊與一般、化歸與轉化等，這些都是課堂教學必須要滲透的內(nèi)容，但數(shù)學教材中往往以知識點作為主線進行編排，學生不容易體悟各種數(shù)學思想方法，這就要求教師適當拓展教學內(nèi)容，幫助學生掌握數(shù)學思想方法。

在初等數(shù)學研究的課堂教學實踐中，如果教師能夠從文化的角度，選取典型問題進行剖析，就能幫助學生更好地領悟數(shù)學思想方法，并清晰認識各種方法的合理性，引導學生從學會走向會學。比如，早在歐幾里得時代，古代學者就建立了數(shù)學的公理化思想?；趲讉€必要的命題和概念，由明確的定義與邏輯推理建立起演繹體系，公理化被認為是整理和表述各種理論體系的最佳形式。在介紹公理化思想的同時，應該讓學生了解公理化思想產(chǎn)生的巨大價值。目前公理化思想的應用早已不再局限于自然科學，如杰文斯的《政治經(jīng)濟學理論》、斯賓諾莎的《倫理學》等著作就能體現(xiàn)公理化在經(jīng)濟學、政治學和倫理學等多方面都得到了廣泛應用。數(shù)學家希爾伯特的名言“一個理論的建立一旦成熟時，就開始服從于公理化的方法”，各領域的學者都在試圖建立公理化的理論體系，這充分體現(xiàn)了數(shù)學文化中的公理化思想在人類文明中的重要地位。構建跨學科聯(lián)系，能拓寬學生視野，培養(yǎng)學生在其他學科中體會和應用數(shù)學思想方法，讓學生在人文藝術、生活實踐等各個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)學、應用數(shù)學。

又如，斐波那契數(shù)列是一種典型的遞歸描述。遞歸的思想在初等數(shù)學研究中可以聯(lián)系計算機技術中的遞歸策略。在目前大數(shù)據(jù)與人工智能的發(fā)展熱潮中，計算機技術與數(shù)學教學密不可分，教師可以結合編程與算法的相關教學內(nèi)容，演示計算機程序中的遞歸，展示少量的代碼將復雜問題所需的多次重復計算過程進行反復調(diào)用，讓學生深入體會遞歸思想以及數(shù)學思想方法的簡捷性。通過介紹相關的數(shù)學與其他學科的交叉應用，學生不僅能夠從多方面領悟數(shù)學思想方法的指導意義，還容易理解這樣選擇思想方法的原因，體現(xiàn)數(shù)學文化的深刻價值。

3.3 發(fā)揮數(shù)學史的德育價值，體現(xiàn)數(shù)學的精神實質(zhì)

數(shù)學的概念、定理、公式等往往具有歷史性，在發(fā)展的過程中蘊含了數(shù)學的人性特征，根據(jù)教學內(nèi)容的編排順序以及數(shù)學的歷史發(fā)展順序，發(fā)揮數(shù)學史的德育價值，引導學生從人性的視角審視學習內(nèi)容，有助于學生理解數(shù)學精神。首先，教師可以介紹數(shù)學家艱辛的研究過程，在史實記載的基礎上，突出數(shù)學家對于真理的執(zhí)著追求，呈現(xiàn)數(shù)學家高尚的人格品質(zhì)。將數(shù)學史知識融入教學時，教師還應注重渲染課堂的文化感染力，通過一些數(shù)學家的趣聞軼事、說過的名言警句以及后世對其的精彩評價，使教學內(nèi)容獨具文化底蘊。例如，我國數(shù)學家華羅庚先生年輕時生病落下殘疾，走路時一條腿只能畫圈向前邁步，但是他一直保持著樂觀向上的積極態(tài)度，還時常戲稱自己走路是“切線與圓的運動”。數(shù)學化的幽默語言與歷史人物結合，賦予了數(shù)學家立體生動的形象，趣味之下顯露學者風范。其次，可以選擇世界數(shù)學史中影響深遠的數(shù)學事件。比如，在進行勾股定理的教學時，教師可以從展示2002 年國際數(shù)學家大會會標來引入課題，并從數(shù)學史系列事件角度加以展開，從考古學家發(fā)現(xiàn)古巴比倫的泥版上的勾股數(shù)，到我國古代的“商高定理”，再將古希臘畢達哥拉斯的證明與趙爽的證明等各種方法進行對比，可以從歷史發(fā)展的角度逐漸將勾股定理與余弦定理聯(lián)系起來，還可以介紹“費馬大定理”是如何證明的這一重大數(shù)學事件。全世界數(shù)學家們前仆后繼、執(zhí)著探索數(shù)學問題的過程，對于師范生可以起到榜樣引領和激勵作用。在數(shù)學史素材的選擇上，教師還可以突出我國數(shù)學的優(yōu)秀成果。在世界數(shù)學的發(fā)展史上，中國數(shù)學家的卓越貢獻是不可否認的，然而在目前師范生的數(shù)學課程中并未得到充分體現(xiàn)，學生對本國的數(shù)學成就一知半解，因此教師可以在相關內(nèi)容的學習中適當強調(diào)。例如在初等代數(shù)的教學中，教師可以介紹大約三千年前，古代中國人就知道了自然數(shù)的四則運算。從公元前3世紀開始，中國在古代數(shù)學方面領先于其他國家與地區(qū)，到了宋元時期，中國古代數(shù)學進入發(fā)展的頂峰，在方程論、數(shù)論等多方面的成就達到了新高度。這些材料可讓學生看到我們國家和民族在世界數(shù)學史上曾取得的偉大成就，從而激發(fā)他們的民族自信心與使命感。數(shù)學史實展現(xiàn)了人類文明的特征，相比于枯燥的知識學習，更能激發(fā)學生傳承數(shù)學文化的責任感，同時也有助于學生拓寬視野、領會精神，對未來的準教師具有深遠的意義。