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    裝配誤差和齒面修形對(duì)曲線圓柱齒輪傳動(dòng)誤差的影響

    2022-10-21 07:18:38張學(xué)剛謝永春王鵬飛
    機(jī)械傳動(dòng) 2022年10期
    關(guān)鍵詞:圓柱齒輪修形齒面

    張學(xué)剛 謝永春 王鵬飛

    (攀枝花學(xué)院 智能制造學(xué)院, 四川 攀枝花 617000)

    0 引言

    根據(jù)嚙合時(shí)的接觸形式不同,曲線圓柱齒輪可分為點(diǎn)接觸和線接觸[1-2]。 相對(duì)于線接觸曲線齒輪,點(diǎn)接觸曲線齒輪對(duì)裝配誤差不敏感,在裝配誤差作用下不易出現(xiàn)輪齒邊緣接觸,某些情況下其傳動(dòng)平穩(wěn)性比線接觸齒輪更強(qiáng)。點(diǎn)接觸曲線齒輪是一種平行軸齒輪,其齒形呈現(xiàn)弧形。與直齒輪、斜齒輪和人字齒輪相比,這種齒輪加工效率較低,成本較高,在傳動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)用較少[3-4]。由于其齒形為弧形,在傳動(dòng)過(guò)程中,軸向竄動(dòng)力可相互抵消,且具有更好的潤(rùn)滑性能[5]。目前,不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了對(duì)曲線圓柱齒輪傳動(dòng)性能的研究,以爭(zhēng)取克服齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的問(wèn)題。

    Tseng 等先后分別研究了采用盤形面銑刀加工[6-7]和滾齒加工[8-9]所得曲線圓柱齒輪的數(shù)學(xué)模型、根切現(xiàn)象、無(wú)載荷傳動(dòng)誤差等。Wu 等[10-12]采用圓弧曲線對(duì)曲線圓柱齒輪齒面進(jìn)行修形,并探討了修形參數(shù)和刀盤半徑對(duì)齒輪的無(wú)載荷和有載荷傳動(dòng)誤差的影響。蘇進(jìn)展等[13]推導(dǎo)了帶拋物線修形的曲線圓柱齒輪的齒面方程,并研究了某種修形系數(shù)下,三類裝配誤差對(duì)無(wú)載荷傳動(dòng)誤差的影響;在此基礎(chǔ)上,還研究了某種裝配誤差下拋物線修形系數(shù)對(duì)無(wú)載荷傳動(dòng)誤差的影響[14];此外,還通過(guò)預(yù)設(shè)4階無(wú)載荷傳動(dòng)誤差,對(duì)曲線圓柱齒輪齒面進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[15]。Fuentes 等[16]330-339研究了刀盤半徑對(duì)曲線圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根接觸應(yīng)力的影響,以及利用齒頂修形消除齒頂接觸應(yīng)力;此外,還對(duì)比研究了曲線圓柱齒輪與直齒輪和斜齒輪之間的力學(xué)性能。馬登秋等[17]基于分心理論研究了曲線圓柱齒輪的接觸應(yīng)力問(wèn)題。Sun 等[18]研究了齒寬和刀盤半徑對(duì)曲線齒輪接觸應(yīng)力的影響。侯力等分析了曲線齒輪的振動(dòng)特性[19]、齒面曲率特性[20]、幾何特性[21]以及潤(rùn)滑性能[22]等。

    傳動(dòng)誤差是評(píng)價(jià)齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生噪聲和振動(dòng)的重要指標(biāo)之一,其中,傳動(dòng)誤差分為無(wú)載荷傳動(dòng)誤差和載荷傳動(dòng)誤差。無(wú)載荷傳動(dòng)誤差僅研究齒輪副在無(wú)載荷條件下的傳動(dòng)誤差,而齒輪副在實(shí)際工作中是存在載荷的。因此,對(duì)曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究更符合實(shí)際情況。然而,現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未涉及到對(duì)曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究。本文中利用有限元法,并充分考慮點(diǎn)接觸曲線圓柱齒輪在實(shí)際裝配過(guò)程中的誤差,研究了齒面拋物線修形對(duì)點(diǎn)接觸曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的影響。

    1 齒面數(shù)學(xué)模型

    齒面數(shù)學(xué)模型是輪齒接觸分析(TCA)、無(wú)載荷傳動(dòng)誤差分析以及建立有限元模型的基礎(chǔ)。曲線齒輪傳動(dòng)副中,對(duì)其中一個(gè)齒輪的齒面進(jìn)行拋物線修形可得到拋物線傳動(dòng)誤差曲線,提高齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性、降低振動(dòng)和噪聲水平。關(guān)于未修形齒輪齒面的數(shù)學(xué)模型不再贅述,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16]322-329。本文中只對(duì)修形的齒面方程進(jìn)行推導(dǎo)。

    1.1 齒輪成型原理

    曲線圓柱齒輪副一般采用格里森雙刃面銑式刀盤對(duì)其進(jìn)行銑削加工,如圖1 所示。圖1 中,Rc為刀盤曲率半徑;z為待加工齒輪的齒數(shù);rp為待加工齒輪的分度圓直徑。

    圖1 曲線圓柱齒輪的加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of processing curvilinear cylindrical gears

    加工齒輪時(shí),高速旋轉(zhuǎn)的刀盤節(jié)平面與待加工齒輪的節(jié)圓柱表面相切,刀盤沿xc軸方向以速度vc往復(fù)移動(dòng),齒輪毛坯以角速度ωg繞zg軸順/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),刀盤的移動(dòng)速度和齒輪毛坯的旋轉(zhuǎn)速度滿足vc=rpωg。當(dāng)1個(gè)齒槽加工完畢,刀頭從齒槽中分離,齒輪毛坯轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)分度360(°)/z,齒輪和刀盤繼續(xù)重復(fù)上一步的展成運(yùn)動(dòng),直到齒輪的所有齒加工完成。

    1.2 修形齒面數(shù)學(xué)模型

    齒面修形可以改變齒面的幾何形態(tài)。未修形齒輪在嚙合過(guò)程中易出現(xiàn)線性傳動(dòng)誤差,相鄰兩嚙合周期之間的傳動(dòng)誤差線存在階躍效應(yīng),會(huì)造成較大的振動(dòng)和噪聲。若對(duì)齒面進(jìn)行齒廓拋物線修形,其傳動(dòng)誤差曲線為拋物線,相鄰兩嚙合周期之間的拋物線存在交叉,這將會(huì)消除線性誤差曲線中存在的階躍效應(yīng),從而減小或消除嚙合過(guò)程中的振動(dòng)和噪聲[23]。這種修形方法也是在弧齒錐齒輪齒輪設(shè)計(jì)中為了減小振動(dòng)和噪聲的一種常見(jiàn)手段。

    圖2 所示為刀盤上的拋物線修形刀頭截面示意圖。圖2中,a為齒頂高系數(shù);b為齒根高系數(shù);ρ為刀尖過(guò)渡圓角系數(shù);αn為壓力角;m為模數(shù);u為主切削刃長(zhǎng)度的變量;λ為過(guò)渡圓角的角度變量;Δytp為修形拋物線的偏置距離刀。盤曲率半徑Rc為刀頭中心線與刀盤旋轉(zhuǎn)中心之間的距離;坐標(biāo)系Sc(Ocxcyczc)固定于刀盤的旋轉(zhuǎn)軸線與節(jié)平面的交點(diǎn)處,與圖1 中對(duì)應(yīng)。刀頭左側(cè)的外刃用于加工齒輪的凹齒面;刀頭右側(cè)的內(nèi)刃用于加工齒輪的凸齒面。

    圖2 刀頭截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the cross-section of the cutter head

    將刀頭的內(nèi)刃和外刃拋物線部分表達(dá)在坐標(biāo)系Sib中,表示矢量形式為

    式中,上標(biāo)i為內(nèi)刃計(jì)算符號(hào);o為外刃計(jì)算符號(hào)。全文公式均按此規(guī)定進(jìn)行標(biāo)注。

    將刀頭切削刃部分轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sb中,表示為

    接下來(lái),將刀頭切削刃部分轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sc中,表示為

    式中,當(dāng)上標(biāo)g=i時(shí),表示內(nèi)刃;當(dāng)上標(biāo)g=o時(shí),表示外刃;u、θ均為形成齒輪產(chǎn)形面的幾何參數(shù)。

    將齒輪產(chǎn)形面表達(dá)在齒輪毛坯坐標(biāo)系Sg中,為

    式中,ψ為展成加工齒輪過(guò)程中,齒輪毛坯的旋轉(zhuǎn)角度。坐標(biāo)系Sc到Sg的坐標(biāo)變換矩陣為

    其中,

    Xt=rp(sinψ-ψcosψ) +Rccosψ;

    Yt=rp(cosψ+ψsinψ) -Rcsinψ。

    根據(jù)微分幾何和嚙合原理[23],采用工程解法可求解出曲線齒輪的嚙合方程,表示為

    將式(5)代入式(4)中,可求出齒面關(guān)于u和θ的雙參數(shù)數(shù)學(xué)模型。若給定一組u、θ的值,則可求解出齒面上的一個(gè)點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)[24]中的方法可求解出齒面上一系列規(guī)則分布的點(diǎn)云數(shù)據(jù),這些點(diǎn)云數(shù)據(jù)可為后續(xù)齒輪參數(shù)化有限元模型的建立奠定基礎(chǔ)。

    關(guān)于齒根過(guò)渡曲面方程的推導(dǎo)和拋物線修形部分齒面類似,這里不做過(guò)多說(shuō)明。

    2 裝配誤差下初始接觸的定義

    裝配誤差在齒輪副實(shí)際裝配過(guò)程中是不可避免的,它將會(huì)引起工作中的齒輪副接觸狀態(tài)以及傳動(dòng)誤差發(fā)生改變。圖3所示為齒輪副裝配誤差坐標(biāo)系的定義。假設(shè)小輪安裝于坐標(biāo)系S1上,大齒輪安裝于坐標(biāo)系S2上,它們的旋轉(zhuǎn)中心與自身的Z軸重合。圖3中,坐標(biāo)系Sf為全局坐標(biāo)系;Sk、Sl、Sm、Sn分別為定義4類裝配誤差(ΔC、ΔA、ΔH、ΔV)的輔助坐標(biāo)系。其中,ΔC表示中心距誤差;ΔA表示軸向誤差;ΔH表示軸扭轉(zhuǎn)誤差;ΔV表示軸交錯(cuò)誤差。?p、?g分別表示齒輪副嚙合過(guò)程中小齒輪和大齒輪的轉(zhuǎn)角。

    圖3 齒輪副裝配誤差坐標(biāo)系定義Fig.3 Definition of coordinate systems of the gear pair assembly errors

    為了使齒輪副的有限元模型精準(zhǔn)接觸,需要編程計(jì)算兩嚙合齒面在無(wú)載荷條件下的初始接觸位置,計(jì)算時(shí)必須將小齒輪的凹齒面和大齒輪的凸齒面轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系Sf中。小齒輪的凹齒面轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sf中,表示為

    式中,up、θp與第1 節(jié)中的u和θ對(duì)應(yīng);下標(biāo)p表示小齒輪;矩陣Mf,1表示坐標(biāo)系S1到Sf的變換。

    大齒輪的凸齒面轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sf中,表示為

    式中,ug、θg與第1 節(jié)中的u和θ對(duì)應(yīng);下標(biāo)g表示大齒輪;矩陣Mn,z表示坐標(biāo)系S2到Sn的變換,表示為

    矩陣Mf,n表示坐標(biāo)系Sn到Sf的變換,表示為

    式中,

    求解兩嚙合齒面的初始接觸點(diǎn),其幾何意義是接觸點(diǎn)處兩齒面的位置矢量相等,且單位法向量也相等,表示為

    式(9)中有6 個(gè)未知參數(shù),5 個(gè)獨(dú)立方程;若給定小齒輪轉(zhuǎn)角?p,可以求解出其余5個(gè)參數(shù);將求解結(jié)果再次代入式(6)和式(7)中,便可求解出兩嚙合齒面剛好接觸時(shí)的齒面方程。

    3 齒輪副有限元模型

    由于曲線齒輪齒面是復(fù)雜曲面,采用商用有限元軟件在三維模型上直接劃分網(wǎng)格,所得齒面節(jié)點(diǎn)誤差較大,將會(huì)導(dǎo)致齒面分析結(jié)果誤差增大,甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)論,與實(shí)際情況嚴(yán)重不符[25];而手動(dòng)劃分網(wǎng)格工作量巨大,不適合建立本文中所需的幾十組有限元齒輪副模型。因此,本文中基于齒面方程所生成的規(guī)則齒面點(diǎn)云,將齒面點(diǎn)云作為輪齒有限元模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),通過(guò)填充齒面內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的方式構(gòu)建整個(gè)齒輪的有限元模型。采用這種方法所構(gòu)建的齒輪有限元模型不存在精度損失,可以得到更準(zhǔn)確的分析結(jié)果;而且可以通過(guò)參數(shù)化的方式批量生成所有工況條件下的齒輪副有限元模型[26]。

    為了節(jié)省有限元求解時(shí)間,如圖4所示,采用了5 齒有限元模型,每個(gè)齒輪模型有81 590 個(gè)節(jié)點(diǎn),67 200 個(gè)六面體1 階單元。圖4 中,齒輪內(nèi)圈和邊界分別與自身的旋轉(zhuǎn)中心剛性連接,在大齒輪的旋轉(zhuǎn)中心RP-2處施加阻力矩T,小齒輪旋轉(zhuǎn)中心RP-1固定。小齒輪的凹齒面為接觸主動(dòng)面,大齒輪的凸齒面為從動(dòng)面,分析求解時(shí),在Abaqus求解器中完成。當(dāng)初始接觸位置分析完成后,齒輪副的接觸已穩(wěn)定,小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度?p,開(kāi)始第1 個(gè)接觸位置的分析;此時(shí),可得到大齒輪在載荷下的實(shí)際轉(zhuǎn)角?g,齒輪在載荷下的傳動(dòng)誤差就是大齒輪實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的偏差,表達(dá)為

    圖4 齒輪副的5齒有限元模型Fig.4 Five-tooth finite element model of the gear pair

    當(dāng)?shù)?個(gè)接觸位置分析完成,小齒輪再轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,繼續(xù)第2個(gè)接觸位置的求解,直到所有接觸位置求解完成。本文中只分析了兩個(gè)嚙合周期內(nèi)的載荷傳動(dòng)誤差,即,小齒輪的轉(zhuǎn)角?p在[0,2π/zp]之內(nèi),在這兩個(gè)周期的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)劃分了21個(gè)接觸位置。

    4 算例分析

    本文中以表1 所示齒輪基本參數(shù)作為分析的依據(jù),分別研究了齒輪的4類裝配誤差、修形量、刀盤曲率半徑、修形曲線偏置量對(duì)齒輪載荷傳動(dòng)誤差的影響。

    表1 齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the gear pair

    4.1 裝配誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

    假設(shè)加工曲線齒輪所有刀盤曲率半徑Rc=40 mm,修形拋物線系數(shù)apf=0.001 5,修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm;4類裝配誤差參數(shù)如表2所示。每一類分為4種工況,其中,誤差值0表示無(wú)裝配誤差。總共需完成13種工況的有限元分析。

    表2 4類裝配誤差參數(shù)Tab.2 Four types of assembly error parameters

    4 類裝配誤差下的載荷傳動(dòng)誤差如圖5 所示。圖5 中的圖例“VHAC=0”表示無(wú)誤差的理想裝配。從圖5 中不難看出,在任意裝配誤差下,齒輪傳動(dòng)誤差波動(dòng)明顯小于理想裝配,在傳動(dòng)過(guò)程中可起到降噪、減振的作用。此外,裝配誤差的值對(duì)傳動(dòng)誤差影響較小。

    圖5 4類裝配誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.5 Influence of four types of assembly errors on transmission errors

    4.2 修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

    由于第4.1節(jié)中的研究發(fā)現(xiàn)裝配誤差類型和數(shù)值對(duì)載荷傳動(dòng)誤差影響較小,后續(xù)將不再考慮多種裝配誤差的影響,只考慮單一裝配誤差。假設(shè)齒輪副的軸扭轉(zhuǎn)誤差ΔH=0.2°,刀盤曲率半徑Rc=40 mm,修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm,修形拋物線系數(shù)如表3所示。表3中,修形系數(shù)越大,修形量越大。

    表3 修形拋物線系數(shù)apfTab.3 Modified parabolic coefficient apf

    修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖6 所示。結(jié)果表明,修性量越大,載荷傳動(dòng)誤差波動(dòng)越??;無(wú)修型的曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差最大。

    圖6 修型量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.6 Influence of the modification amount on transmission errors

    4.3 刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

    假設(shè)齒輪副軸向誤差ΔA=0.2 mm,修形拋物線系數(shù)apf=0.001 5,修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm,刀盤曲率半徑如表4所示。

    表4 刀盤曲率半徑RcTab.4 Curvature radius of cutter Rcmm

    刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖7所示。結(jié)果表明,隨著刀盤曲率半徑的增大,載荷傳動(dòng)誤差減小,誤差波動(dòng)也隨之減小。

    圖7 刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.7 Influence of the curvature radius of the cutter on transmission errors

    4.4 修形曲線偏置對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

    假設(shè)在理想裝配條件下,刀盤曲率半徑Rc=40 mm,修形拋物線系數(shù)apf=0.000 5。修型拋物線偏置量如表5所示。

    表5 修形拋物線偏置量ΔytpTab.5 Offset of the modified parabola Δytpmm

    修形曲線偏置對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖8所示。結(jié)果表明,修型曲線相對(duì)刀盤節(jié)平面的距離越遠(yuǎn),傳動(dòng)誤差的波動(dòng)略微增大;無(wú)偏置時(shí),傳動(dòng)誤差波動(dòng)最小。

    圖8 修形曲線偏置量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.8 Influence of the offset of the modified curve on transmission errors

    5 結(jié)論

    通過(guò)對(duì)曲線圓柱齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究,得出以下結(jié)論:

    (1)裝配誤差有利于降低載荷傳動(dòng)誤差的波動(dòng)幅度,從而起到降噪和減振的效果;無(wú)誤差的理想裝配反而會(huì)引起較大的傳動(dòng)誤差波動(dòng),說(shuō)明修形的點(diǎn)接觸曲線圓柱齒輪更適合工業(yè)應(yīng)用。

    (2)適當(dāng)增加齒面修形量,其載荷傳動(dòng)誤差波動(dòng)將越小,有利于提升曲線齒輪的傳動(dòng)性能。

    (3)隨著加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑增大,載荷傳動(dòng)誤差和誤差波動(dòng)都將會(huì)減??;說(shuō)明加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑不宜過(guò)小,否則將會(huì)影響傳動(dòng)性能。

    (4)齒面修形曲線的偏置對(duì)載荷傳動(dòng)誤差的影響較小。

    總的來(lái)說(shuō),采用較大曲率半徑的修形刀盤所加工出的曲線圓柱齒輪傳動(dòng)性能更好。

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