研讀數(shù)學(xué)教材 探索數(shù)學(xué)本質(zhì) 發(fā)展學(xué)生思維
——“數(shù)與形的拓展課”的教學(xué)實(shí)踐

路 杰，楊志宇

（邢臺(tái)市逸夫小學(xué)，河北 邢臺(tái) 054000）

數(shù)學(xué)拓展課是基于教材編排的數(shù)學(xué)內(nèi)容且符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的拓展延伸課。數(shù)學(xué)拓展課以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目的，在恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、研讀數(shù)學(xué)教材，找準(zhǔn)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)

六年級(jí)第8 單元“數(shù)學(xué)廣角”的例1，通過(guò)正方形圖研究“從1 開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)之和等于這些數(shù)的個(gè)數(shù)的平方”，即1+3+…+（2n-1）=n2。通過(guò)正方形圖來(lái)研究這一規(guī)律，凸顯借助圖形研究數(shù)的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。從1 開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)之和與這些數(shù)個(gè)數(shù)的平方相等，那么從1 開(kāi)始連續(xù)自然數(shù)的平方之和又等于什么呢？還能借助圖形研究嗎？筆者深入研讀教材，找準(zhǔn)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了如下教學(xué)。

師：這個(gè)數(shù)你會(huì)讀嗎（右圖）？

師：請(qǐng)你用手中的小正方形擺一擺，并讓同學(xué)們一眼就能看出這個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是32個(gè)。

學(xué)生操作后，展示學(xué)生作品，并組織學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這樣擺的優(yōu)點(diǎn)。（一行3 個(gè)，共3 行，一共有32=9 個(gè)）

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)1+3+5=32。請(qǐng)用不同顏色的小正方形擺一擺，不僅讓大家看到32，還可以清楚地看出1+3+5。

學(xué)生操作后，展示學(xué)生作品，并組織學(xué)生說(shuō)一說(shuō)。（算式左邊的加數(shù)是正方形圖中左下角的小正方形和其他“┐”形圖中所包含的小正方形個(gè)數(shù)之和，正好等于每個(gè)正方形圖中每列小正方形個(gè)數(shù)的平方。）

師：圖中的小正方形還可以擺成這樣的三層（如下圖），也能夠更清楚地看出1+3+5。

師：22和42可以怎樣擺呢？

22：

42：

師：我們借助圖形研究了從1 開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)的和等于這些奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。今天，我們繼續(xù)研究像12+22+…+992+1002，從1 開(kāi)始連續(xù)自然數(shù)的平方和。

學(xué)生獨(dú)立嘗試后，發(fā)現(xiàn)困難。

師：老子在《道德經(jīng)》中說(shuō)“天下難事，必作于易?！本褪歉嬖V我們，天下的難事，一定從簡(jiǎn)易的地方做起。我們研究12+22+…+992+1002遇到了困難，可以先研究比較簡(jiǎn)單的算式，比如先研究12+22+32+42的和，再研究12+22+…+992+1002的和。

二、探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維

數(shù)學(xué)是思維的體操。我們要在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教材第1 課時(shí)是借助正方形圖研究數(shù)的規(guī)律，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀。數(shù)與形的拓展課在分析教材的基礎(chǔ)上，對(duì)相似數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行拓展延伸，在教學(xué)時(shí)要合理設(shè)計(jì)探索數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)生活動(dòng)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

活動(dòng)一：借助數(shù)與形，初探平方和

師：12可以用一個(gè)小正方形表示。

師：22、32、42可以有下面兩種不同擺放，其中一種方法易看出一個(gè)數(shù)的平方，另一種方法易看出從1 開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)的和。

師邊敘述邊板書：12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）

師：我們利用加法交換律和結(jié)合律可以把算式整理如下：

12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）=（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7

師：小正方形怎么整理一下，就能夠清晰地看出（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7 呢？（學(xué)生操作后，展示如右圖）

師：這個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)等于12+22+32+42的和。

師：上圖中左邊是對(duì)齊的，我們把表示12、22、32、42的正方形補(bǔ)在上圖的右側(cè)。

師：邊長(zhǎng)是4 的正方形補(bǔ)在哪里？（和最上面的正方形對(duì)齊）

師：為什么要這樣補(bǔ)呢？（因?yàn)檫@一列正方形有四個(gè)，正好可以補(bǔ)齊）

師：邊長(zhǎng)是3 的正方形補(bǔ)在哪里呢？（和下面三行三列正方形補(bǔ)齊）

師：邊長(zhǎng)是2的正方形呢（和兩行的正方形補(bǔ)齊）？還剩一個(gè)小正方形呢？（和最下面的一行正方形補(bǔ)齊）

師：現(xiàn)在小正方形的個(gè)數(shù)等于12+22+32+42之和的2 倍，再這樣操作一次就變成了12+22+32+42之和的3 倍了。動(dòng)手拼一拼、試一試吧。

師：這樣拼完后，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：拼成一個(gè)長(zhǎng)方形了。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形中小正方形的個(gè)數(shù)是12+22+32+42之和的3 倍。

師：看似求12+22+32+42的3 倍比求12+22+32+42復(fù)雜了，但通過(guò)轉(zhuǎn)化，我們把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，更容易得到小正方形的個(gè)數(shù)了。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形中小正方形的個(gè)數(shù)是多少呢？

生：（1+2+3+4）×（4×2+1）。

師：也就是12+22+32+42之和的3 倍。

師：那么12+22+32+42=（1+2+3+4）×（4×2+1）÷3=30。

師：12+22+32+42+52等于什么呢？

生：（1+2+3+4+5）×（5×2+1）÷3=55。

教師組織學(xué)生驗(yàn)證12+22+32+42+52的和正好是55。

師：12+22+32+42+52+62等于多少呢？

生：（1+2+3+4+5+6）×（6×2+1）÷3=91。

教師組織學(xué)生驗(yàn)證12+22+32+42+52+62的和正好是91。

師：看起來(lái)12+22+…+（n-1）2+n2=（1+2+…+n）×（2n+1）÷3。

師：請(qǐng)你用這種方法計(jì)算12+22+…+992+1002的和。

生：（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3

活動(dòng)二：借助數(shù)與形、再探平方和

學(xué)生計(jì)算12+22+…+992+1002時(shí)，遇見(jiàn)新問(wèn)題——1+2+…+99+100 的和怎么快速計(jì)算呢？

師：計(jì)算12+22+…+992+1002，要先計(jì)算1+2+…+99+100 的和。為了更深入研究平方和，我們要知道1+2+…+99+100 的和怎么計(jì)算。這個(gè)新問(wèn)題又應(yīng)該怎么研究呢？

生：可以像剛才一樣，借助圖形先研究1+2+3+4 的和，再思考1+2+…+99+100 的和。

師：請(qǐng)用小正方形表示1+2+3+4，并讓其他同學(xué)清楚地看出你擺的就是這道算式。

學(xué)生操作后展示。

師：這是一個(gè)不規(guī)則圖形，接下來(lái)怎么辦呢？（展示學(xué)生擺的圖形）

師：你能給大家解釋一下為什么要這樣擺嗎？

生：倒著擺放一個(gè)這樣的圖形，拼起來(lái)正好是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中小正方形的個(gè)數(shù)是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：你能用剛才研究的方法思考新問(wèn)題，很了不起。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形中小正方形的個(gè)數(shù)是多少呢？

生：（4+1）×4。

師：也就是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：那么1+2+3+4=（4+1）×4÷2=10。

師：1+2+3+4+5 等于多少呢？

生：（5+1）×5÷2=15。

教師組織學(xué)生驗(yàn)證1+2+3+4+5 之和正好是15。

師：1+2+3+4+5+6 等于多少呢？

生：（6+1）×6÷2=21。

教師組織學(xué)生驗(yàn)證1+2+3+4+5+6 之和正好是21。

師：看起來(lái)1+2+…+n=（n+1）×n÷2。

師：請(qǐng)你用這種方法計(jì)算1+2+…+99+100的和。

生：（100+1）×100÷2=5050。

師：數(shù)越多越發(fā)現(xiàn)用這一規(guī)律計(jì)算的簡(jiǎn)便?，F(xiàn)在快去算一算12+22+…+992+1002的和是多少吧。

板書：12+22+…+992+1002=（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3=5050×201÷3=338350。

師：12+22+…+9992+10002等于多少呢？下課后，大家可以繼續(xù)研究。我們利用數(shù)與形的關(guān)系找到了計(jì)算規(guī)律，運(yùn)用這個(gè)規(guī)律我們可以更加簡(jiǎn)便地解決這一類問(wèn)題。華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：數(shù)與形本相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺(jué)，形少數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。我們只觀察12+22+32+42，不如用圖形表示直觀。但一直用圖形表示下去，研究12+22+…+992+1002就顯得復(fù)雜了。借助圖形研究數(shù)的規(guī)律，最后還需要運(yùn)用規(guī)律回到算式中去研究，尋找解決問(wèn)題的辦法。

三、總結(jié)

像這樣的數(shù)學(xué)拓展課，教學(xué)內(nèi)容與教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)是緊密相連的，是對(duì)教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升。數(shù)學(xué)拓展課的開(kāi)發(fā)是在研讀教材、遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)推理的魅力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。