銫噴泉鐘C場的測量與計(jì)算

劉洪康，劉 昆，韓 蕾，房 芳，陳偉亮，鄭發(fā)松，戴少陽，左婭妮，李天初,

(1.北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京 100081； 2.中國計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

SI單位“秒”，作為國際單位制的基本單位中最早量子化的單位之一，測量準(zhǔn)確度在7個(gè)基本單位中最高。銫噴泉鐘作為復(fù)現(xiàn)秒定義的基準(zhǔn)裝置[1～3]，不確定度達(dá)到10-16量級[4，19]。

銫噴泉鐘采用激光冷卻技術(shù)[5]將銫原子冷卻到μK量級[6]，并利用原子上拋下落過程中兩次與微波相互作用，實(shí)現(xiàn)Ramsey躍遷[7]。為保證原子在與微波相互作用和自由飛行時(shí)不受外部磁場影響，需要設(shè)計(jì)性能良好的磁屏蔽系統(tǒng)，使磁屏蔽內(nèi)部磁場降到nT量級。同時(shí)在磁屏蔽內(nèi)部需要建立一個(gè)弱磁場，以便在微波與原子相互作用時(shí)為原子提供一個(gè)量子軸方向，即C場[8]。C場的磁感應(yīng)強(qiáng)度小且均勻，可以使處于簡并狀態(tài)的原子基態(tài)能級發(fā)生塞曼分裂[9]。為了使C場盡可能均勻，要把通電螺線管組成的C場組件放置在屏蔽效果良好的多層磁屏蔽的中心，而且在C場線圈上下兩端增加電流可調(diào)的補(bǔ)償線圈。本次實(shí)驗(yàn)中為NIM6銫噴泉鐘[10]的噴泉鐘磁屏蔽做了新的設(shè)計(jì)[11]，磁屏蔽系數(shù)達(dá)到104量級。

C場分布是確定二階塞曼效應(yīng)引入不確定度的關(guān)鍵，二階塞曼頻移是噴泉鐘評定中最大的頻移項(xiàng)[12]，所以C場分布的測量和計(jì)算方法十分重要。在不破壞銫噴泉鐘物理真空系統(tǒng)前提下，C場的測量只能使用間接測量方法，常用的有兩種，噴泉管頂端低頻天線法[13]和微波激勵(lì)法[14]。其中微波激勵(lì)法就是改變向上向下光的失諧頻率，將原子上拋到不同高度，利用磁敏躍遷|F=3，mF=1〉至|F=4，mF=1〉的頻移計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。此處得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度是原子飛行路徑上經(jīng)時(shí)間加權(quán)后的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度。

為了獲得C場不同高度的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，需要對時(shí)間加權(quán)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行去加權(quán)計(jì)算。本文針對去加權(quán)計(jì)算引入了兩種計(jì)算方法，先用仿真數(shù)據(jù)對兩種去加權(quán)計(jì)算方法進(jìn)行了理論驗(yàn)證，最后利用微波激勵(lì)法和兩種去時(shí)間加權(quán)方法對銫噴泉鐘C場的不同高度的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行了測量和計(jì)算。

2 測量原理

C場在各個(gè)高度的磁感應(yīng)強(qiáng)度的微波激勵(lì)測量方法就是改變向上向下光的失諧頻率，將原子上拋到不同的高度獲得不同上拋高度磁敏躍遷的Ramsey條紋，并確定Ramsey條紋的中心峰的躍遷頻率。銫原子超精細(xì)能級|F=3，mF=m〉與|F=4，mF=m〉之間有7個(gè)σ躍遷(m=-3,-2,-1,0,1,2,3)，根據(jù)Breit-Rabi公式[15]，躍遷頻率為：

(1)

式中：νhfs=9 192 631 770 Hz，為銫原子基態(tài)無干擾躍遷頻率；x是Ramsey場無量綱參量，與磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比：

(2)

νz=ν1-νhfs+ο(B2)

(3)

式(3)中的磁場應(yīng)為冷原子飛行路徑上經(jīng)時(shí)間加權(quán)的平均值。

圖1 C場不同高度的磁感應(yīng)強(qiáng)度測量方法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the measurement method of magnetic induction intensity at different heights of C field

3 去時(shí)間加權(quán)計(jì)算方法

3.1 一級近似計(jì)算方法

隨飛行時(shí)間的平均磁場滿足：

(4)

n=1,2,3，…

(5)

式中：Δtn,k為原子上拋到高度hn過程中，所經(jīng)過第k個(gè)C場點(diǎn)Bk的作用時(shí)間，記為：

(6)

邊界條件為：h0=0。轉(zhuǎn)換為矩陣形式為：

(7)

(8)

3.2 二級近似計(jì)算方法

第一種方法包含大量如式(6)對上拋時(shí)間的計(jì)算，相對繁瑣。當(dāng)上拋高度間隔一致時(shí)，進(jìn)一步簡化，可以省略掉上拋時(shí)間的計(jì)算，直接構(gòu)建出轉(zhuǎn)化矩陣。因?yàn)榇朔椒ㄊ褂昧藘纱谓疲苑Q此方法為二級近似方法。

具體來說，原子上拋到高度hn(n=1,2,3,…)時(shí)，測量得到的平均磁場轉(zhuǎn)化為高度積分：

(9)

時(shí)間t與高度x的關(guān)系可由自由落體公式推出：

(10)

對式(10)求導(dǎo)得：

(11)

然后代入到式(9)得：

(12)

再將式(12)離散展開為：

(13)

初始值設(shè)為：h0=0。當(dāng)相鄰兩上拋高度的差即Δh恒定時(shí)，hn=n×Δh，代入到式(13)中可得：

(14)

此時(shí)，高度信息也抵消掉，隨時(shí)間的平均磁場值直接跟上拋測量次數(shù)n相關(guān)，式(14)中定義：

(15)

fn,k為離散化系數(shù)，由于離散化前式(12)中的系數(shù)滿足：

=1

(16)

而離散化處理時(shí)，離散化系數(shù)的和不等于1，需要將fn,1,fn,2,…,fn,n歸一化處理，轉(zhuǎn)化為Fn,1,Fn,2,…,Fn,n，即：

(17)

可得到矩陣表達(dá)式：

(18)

(19)

3.3 兩種計(jì)算方法的理論驗(yàn)證

一級近似方法在式(5)處離散化時(shí)進(jìn)行了一次近似，而二級近似方法在式(13)處離散化和式(17)處歸一化處理時(shí)進(jìn)行了兩次近似，從近似程度上來講，一級近似方法比二級近似方法更加準(zhǔn)確。

但從計(jì)算強(qiáng)度上來說，一級近似方法構(gòu)建的矩陣DT較為復(fù)雜，使得程序的編寫更加繁瑣。而二級近似方法在滿足每次測量增量相同的條件下，便可忽略上拋高度及上拋時(shí)間等參量的計(jì)算，構(gòu)建矩陣F可以直接使用自然數(shù)構(gòu)建，因此程序更加簡潔，通用性更好。

考慮C場隨高度變化周期性波動的情形，以偏置120 nT，幅值0.5 nT的sin函數(shù)來仿真磁場隨高度變化的波動，其周期代表波動頻率。周期越小，波動越劇烈；周期越大，波動越平緩。仿真圖形如圖2所示。

圖2 仿真不同波動周期的磁場驗(yàn)證兩種去時(shí)間加權(quán)算法的有效性Fig.2 Simulation of magnetic fields with different fluctuation periods verifies the effectiveness of the two de-time weighting algorithms

圖2中，仿真了4種不同的波動周期，分別為N=40,80,160,320，C場不同高度磁感應(yīng)強(qiáng)度仿真值如圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)、圖2(d)中細(xì)線所示，高度以激勵(lì)微波腔中心為原點(diǎn)。利用式(14)可以計(jì)算得到經(jīng)時(shí)間加權(quán)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度值，如圖2中粗線所示。設(shè)置上拋高度的間隔為10 mm，通過兩種算法計(jì)算得到C場推算值，一級近似方法和二級近似方法分別如圖2中三角形散點(diǎn)和圓形散點(diǎn)所示。

由圖2中結(jié)果可以看出，磁場波動越劇烈，兩種算法的差異就越大，N=40時(shí)兩組推測值相差最大，最大值為0.40 nT；波動越平緩，差異越小，N=320時(shí)兩組推測值差異最小，最大值為0.12 nT。因此，在C場波動比較平緩的情況下，兩種方法所得推測值差異并不大。波動程度相同的情況下，尤其是在N=40的極值點(diǎn)附近，二級近似算法所得推測值比一級近似算法波動更劇烈，且一級近似算法所得結(jié)果更接近于真實(shí)值。

4 實(shí)驗(yàn)測量與數(shù)據(jù)處理

圖3 不同方法獲得的磁感應(yīng)強(qiáng)度Fig.3 Magnetic field strength obtained by different methods

通過對兩種去時(shí)間加權(quán)算法編寫程序，分別得到式(8)、式(19)中的DT矩陣和F矩陣，其值為：

圖4比較了兩種算法的相對差值，從圖3和圖4的結(jié)果來看，兩種算法計(jì)算存在一定差別，特別是在極值點(diǎn)附近，二級近似算法計(jì)算結(jié)果波動更大一些，而且標(biāo)準(zhǔn)不確定度也大一些。兩種方法所得結(jié)果的相對差值最大為0.11%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算一致。這主要由近似程度不同造成。

根據(jù)式(1)和式(2)，可以得到銫原子噴泉鐘二階塞曼頻移計(jì)算公式為：

(20)

式中：〈B2〉為原子干涉期間感受到的磁感應(yīng)強(qiáng)度平方的時(shí)間加權(quán)平均值。

根據(jù)式(20)和蒙特卡洛方法計(jì)算出兩種算法下的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的估計(jì)值，可以得到兩種算法下二階塞曼頻移的差值為3.7×10-18，遠(yuǎn)小于銫原子噴泉鐘的10-16量級的不確定度，因此兩種算法均可在噴泉鐘實(shí)驗(yàn)中使用。

圖4 兩種方法所得結(jié)果的相對差值Fig.4 The relative difference between the results of two methods

5 結(jié) 論

微波激勵(lì)法測量銫噴泉鐘實(shí)驗(yàn)中C場的磁感應(yīng)強(qiáng)度得到的是經(jīng)時(shí)間加權(quán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的平均值。本文針對去時(shí)間加權(quán)，在不同近似程度上引入了兩種計(jì)算方法，并在理論上對兩種算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。最后，使用微波激勵(lì)法測量了NIM6銫噴泉鐘的C場分布，對經(jīng)時(shí)間加權(quán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值進(jìn)行了不確定度評定。利用蒙特卡洛方法計(jì)算了兩種去時(shí)間加權(quán)算法下的C場的估計(jì)值及其不確定度。結(jié)果表明，兩種算法得到的結(jié)果相差不大，兩種算法均可在噴泉鐘實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用。