四頂點(diǎn)定理的物理意義

劉白羽

四頂點(diǎn)定理的物理意義

劉白羽

（北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

四頂點(diǎn)定理是平面閉曲線的一個(gè)重要性質(zhì)．將平面卵形線的頂點(diǎn)與平面卵形薄板的平衡點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，利用四頂點(diǎn)定理可得到均勻卵形薄板至少有４個(gè)平衡點(diǎn)，從而給出四頂點(diǎn)定理的物理意義．

微分幾何；四頂點(diǎn)定理；頂點(diǎn)；平衡點(diǎn)

四頂點(diǎn)定理是微分幾何平面曲線論中一個(gè)著名的經(jīng)典結(jié)果，即平面上簡(jiǎn)單光滑閉曲線至少有４個(gè)頂點(diǎn)．這里，曲線的頂點(diǎn)是指曲率函數(shù)的局部極值點(diǎn)．1909年印度數(shù)學(xué)家Mukhopadhyaya[1]針對(duì)嚴(yán)格凸曲線證明了四頂點(diǎn)定理，1912年Kneser[2]證明了一般的簡(jiǎn)單閉曲線情形．此后，四頂點(diǎn)定理的逆定理也被證明[3]．在微分幾何課程的教學(xué)中，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮卵形線，即簡(jiǎn)單的正規(guī)平面閉曲線且具有嚴(yán)格正的（相對(duì)）曲率．因此，四頂點(diǎn)定理敘述為：卵形線至少有４個(gè)頂點(diǎn)[4-5]．

1　平衡點(diǎn)及其數(shù)學(xué)描述

考慮一塊只受重力和地面支撐力作用的平面均勻薄板，垂直放置于水平的地面上，當(dāng)其處于靜止時(shí)，薄板與地面接觸的點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)．考慮邊界曲線為卵形線的均勻薄板（下稱卵形薄板）的平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．

圖1 卵形薄板的平衡點(diǎn)

從力學(xué)角度可以證明平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)至少有４個(gè)[7]．文獻(xiàn)[8]中也提出這一力學(xué)結(jié)論可作為微分幾何中的四頂點(diǎn)定理的推論，但尚無(wú)文獻(xiàn)給出由四頂點(diǎn)定理得到這一結(jié)論的詳細(xì)證明．本文將給出這一詳細(xì)證明．

2　平衡點(diǎn)與頂點(diǎn)的關(guān)系

利用平衡點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述不難驗(yàn)證圖2中橢圓形薄板的平衡點(diǎn)恰好有４個(gè)，且邊界曲線的頂點(diǎn)就是薄板的平衡點(diǎn)．

圖2 橢圓形薄板及其平衡

圖3　三次卵形線及其曲率函數(shù)

因此，卵形線的頂點(diǎn)不一定是卵形薄板的平衡點(diǎn)，卵形薄板的平衡點(diǎn)也不一定是邊界卵形線的頂點(diǎn)．從直觀上來(lái)看，曲率描述曲線在一點(diǎn)處的彎曲程度，是曲線的局部性質(zhì)，而平衡點(diǎn)與整個(gè)薄板區(qū)域有關(guān)，是整體性質(zhì)，兩者顯然是不同的．

3　卵形薄板至少有４個(gè)平衡點(diǎn)

[1] Mukhopadhyaya S．New methods in the geometry of a plane arc[J]．Bull Calcutta Math Soc，1909（1）：21-27．

[2] Kneser A．Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema der Krummung auf geschlossenen Kurven und uber verwandte Fragen in einer nichteuklidischen Geometrie[J]．Festschrift Zum，1912，70：170-180．

[3] Dahlberg B E J．The converse of the four vertex theorem[J]．Proceedings of the American Mathematical Society，2005，133（7）： 2131-2135．

[4] 梅向明，黃敬之．微分幾何[M]．5版．北京：高等教育出版社，2019．

[5] 蔣德瀚．整體微分幾何中兩定理的證明補(bǔ)闕[J]．甘肅高師學(xué)報(bào)，2002，7（5）：1-3．

[6] 周衍柏．理論力學(xué)教程[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[7] Várkonyi P L，Domokos G．Static equilibria of rigid bodies：dice，pebbles，and the Poincaré-Hopf theorem[J]．Journal of Nonlinear Science，2006，16（3）：255-281．

[8] Domokos G，Papadopulos J，Ruina A．Static equilibria of planar，rigid bodies：is there anything new?[J]．Journal of elasticity，1994，36（1）：59-66．

[9] 李湘江．卵圓方程研究[J]．圖學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（4）：467-470．

Physical meaning of the four vertex theorem

LIU Baiyu

（School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China）

The four vertex theorem is an important globalof planar closed curve．the connection between the static balance points of an oval shape thin plate and the vertex of a planar oval is shown．By using the four vertex theorem， it was proved that there are at least four equilibrium points in a uniform ovoid thin plate，thus giving the physical meaning of the four vertex theorem．

differential geometry；four vertex theorem；vertex；static balance point

1007-9831（2022）09-0008-04

O186.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.002

2022-01-17

北京科技大學(xué)青年教學(xué)骨干人才培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（2302020JXGGRC-001）；北京科技大學(xué)本科教育教學(xué)改革重大項(xiàng)目（JG2019ZD05）

劉白羽（1982-），女，上海人，教授，博士，從事偏微分方程與幾何分析研究．E-mail：liuby@ustb.edu.cn