四元數(shù)矩陣方程最小二乘問題的半張量積解法

王 棟，李 瑩，丁文旭

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

矩陣方程在計算機(jī)科學(xué)、量子物理、統(tǒng)計、信號與彩色圖像處理、剛性力學(xué)、量子力學(xué)、控制理論、場論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-6]。因此，許多學(xué)者對不同代數(shù)結(jié)構(gòu)上的矩陣方程都進(jìn)行了研究，并使用不同的方法得到許多結(jié)果[7-15]。例如，Chu通過GSVD分解研究了實矩陣方程AXB+CYD=E，并給出了其最小二乘解[7]；徐使用 CCD分解得到了復(fù)矩陣方程AXAH+CYCH=F的最小二乘解和對稱(反對稱)解[8]；廖結(jié)合GSVD和CCD研究了復(fù)矩陣方程AXBH+CYDH=E的極小范數(shù)最小二乘問題[9]；王利用四元數(shù)矩陣的復(fù)表示研究了四元數(shù)矩陣方程AXB=C的最小二乘雙對稱解、斜對稱解、中心對稱解[11]；袁研究了四元數(shù)矩陣方程(AXB,CYD)=(E,F)的η-bi-Hermitian 解[13]；宋給出了多類廣義Sylvester四元數(shù)矩陣方程解存在的充要條件和解的表達(dá)式[14]等等。

近些年來，程及其團(tuán)隊提出了矩陣半張量積(STP)理論[16]以解決非線性系統(tǒng)的線性化問題。STP打破了經(jīng)典矩陣乘法在維數(shù)上的限制，并且有許多有趣的性質(zhì)，比如換位矩陣、偽交換性等。大量學(xué)者將STP作為工具，已在博弈論[17]、圖論[18]、邏輯系統(tǒng)[19]等多個領(lǐng)域取得了許多重要成果。

1 問題描述

我們將利用矩陣半張量積研究下列四元數(shù)矩陣方程的最小二乘問題

(1)

因為Hermitian矩陣在工程問題和線性系統(tǒng)理論中起著重要作用，我們將研究(1)的最小二乘Hermitian解。具體問題如下

問題1設(shè)Ai∈Qm×n，Bi∈Qn×q，C∈Qm×q，求

本文的結(jié)構(gòu)如：第2節(jié)列舉四元數(shù)矩陣和STP的基礎(chǔ)知識。第3節(jié)提出一種四元數(shù)矩陣的實向量表示，并給出部分性質(zhì)及證明。第4節(jié)用這種實向量表示、矩陣半張量積和MP逆來研究問題1。第5節(jié)提供算法和算例以驗證第4節(jié)對于問題1 求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。最后，第6節(jié)進(jìn)行簡單總結(jié)。

2 預(yù)備知識

定義1[20]一個四元數(shù)q∈Q可以表示為q=a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d∈R，三個虛部i，j，k滿足i2=j2=k2=ijk=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。

定義2[21]設(shè)A∈Rm×n，B∈Rp×q，矩陣A和B的半張量積定義為A*B=(A?It/n)(B?It/p)，其中t=lcm(n,p)是n和p的最小公倍數(shù)。

如果n=p，矩陣A和B的半張量積就變成了矩陣經(jīng)典乘法。因此，矩陣半張量積可以看作矩陣經(jīng)典乘法的推廣。

定理1[21]設(shè)A，B，C是實矩陣，a，b∈R，則下列性質(zhì)成立

(1) (分配律)A*(aB±bC)=aA*B±bA*C，(aA±bB)*C=aA*C±bB*C；

(2) (結(jié)合律) (A*B)*C=A*(B*C)；

(3) 設(shè)x∈Rm，y∈Rn，則有x*y=x?y。

矩陣和向量的半張量積具有如下的偽交換性。

定理2[21]設(shè)x∈Rt，ω∈Rt，A∈Rm×n，則有x*A=(It?A)*x,A*ω=ω*(It?A)。

換位矩陣的作用就是交換向量的半張量積中兩個向量的順序。

定理3[23]設(shè)x∈Rm，y∈Rn，則下式成立W[m,n](x*y)=y*x。

3 四元數(shù)矩陣的實向量表示及其相關(guān)性質(zhì)

我們將提出四元數(shù)矩陣的實向量表示并給出其部分性質(zhì)及證明。首先介紹四元數(shù)的實向量表示。

定義5設(shè)x=x1+x2i+x3j+x4k∈Q，其中x1,x2,x3,x4∈R，定義

基于四元數(shù)的實向量表示，將四元數(shù)向量的每一個元素都實向量表示，即可得到四元數(shù)向量的實向量表示，如下。

四元數(shù)矩陣的每一行(每一列)都是四元數(shù)向量，將矩陣按行(列)分塊，即可通過四元數(shù)向量的實向量表示得到四元數(shù)矩陣的實向量表示，如下。

為四元數(shù)矩陣A的實行排形式。

下面給出四元數(shù)向量和矩陣實向量表示的性質(zhì)。

證明通過簡單的計算，我們可得(1), (2)，下證(3)

根據(jù)定理5，我們可以得到下述四元數(shù)矩陣實表示的相關(guān)性質(zhì)。

證明(1), (2), (3)顯然成立,下證(4)

根據(jù)定理6和矩陣半張量積的相關(guān)性質(zhì)，我們可以推出三個矩陣乘積的實向量表示，這是解決問題1的關(guān)鍵。

定理7設(shè)A∈Qm×n，B∈Qn×n，C∈Qn×q，則

(2)

(3)

同理，(3)式易得。

4 問題1的矩陣半張量積解法

本節(jié)我們將利用矩陣半張量積解法來求解問題1。利用Hermitian矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，我們將提取其獨立元素進(jìn)行計算，以簡化運算規(guī)模。

(4)

則問題1的解集可表示為

(5)

問題1的極小范數(shù)最小二乘Hermitian解XHQ滿足

(6)

證明由定理7、定理8可得

(5)得證。

由于

推論1 設(shè)Ai∈Qm×n，Bi∈Qn×q，C∈Qm×q,(1)有Hermitian解的充要條件是

(7)

其中L為(4)式。若(7)成立，則(1)的解可以表示為

因此，對于任意X∈SHQ，都有

成立。

因此，若(1)有Hermitian解X，則X滿足

由經(jīng)典矩陣?yán)碚摽芍?/p>

5 數(shù)值算例

算法1

Begin

Step1 輸入Ai∈Qm×n，Bi∈Qn×q，C∈Qm×q,G，G1′，J，W[4nq,4n2];

End

算例2取不同規(guī)模下四元數(shù)矩陣方程(1)，分別用實表示[24]、復(fù)表示[25]和實向量表示方法進(jìn)行誤差比較，使其進(jìn)行k次，統(tǒng)計其最優(yōu)次數(shù)，取k=30，三種方法的最優(yōu)次數(shù)表如圖2所示。

圖1 不同維數(shù)下問題1的誤差圖 圖2 不同維數(shù)下三種方法達(dá)到最優(yōu)次數(shù)圖

由圖1可看出該算法的有效性，由圖2可看出在維數(shù)變大時，實向量表示方法誤差最小的概率會更大。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于矩陣半張量積，求解四元數(shù)矩陣方程最小二乘問題的方法。利用此方法可以避免四元數(shù)乘積中冗雜的運算，將四元數(shù)矩陣方程轉(zhuǎn)化為實矩陣方程，使求解過程更加簡便。通過驗證，該算法精度較高，可行性較強(qiáng)。