基于矩陣半張量積的模糊邏輯研究進(jìn)展

孫長(zhǎng)樂，李海濤

(山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250358)

0 引言

模糊邏輯利用部分專家知識(shí)或有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來處理系統(tǒng)的復(fù)雜性、非線性與不確定性，是復(fù)雜系統(tǒng)建模與控制的革命性方法[1,2]。自Zadeh于1988年提出模糊邏輯以來[3,4]，經(jīng)過三十多年的研究發(fā)展，模糊邏輯已經(jīng)引起了許多學(xué)科的關(guān)注并已成功應(yīng)用于眾多領(lǐng)域：控制工程[5-7]、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)[8-11]、故障檢測(cè)與診斷[12-16]、模式識(shí)別[17-20]等。

模糊推理是模糊邏輯系統(tǒng)最為核心的部分，一般可分為兩類：Mamdani規(guī)則推理[21]、T-S模糊推理[22]。模糊推理可分為前提與結(jié)論兩部分，Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理前提部分相同，但是Mamdani規(guī)則推理在結(jié)論部分輸出為模糊子集，而T-S模糊推理在結(jié)論部分輸出為多項(xiàng)式函數(shù)。Mamdani規(guī)則推理具有更好的解釋能力，而T-S模糊推理一般與優(yōu)化算法相結(jié)合具有更好的逼近能力。模糊推理通過模糊規(guī)則將人類推理與模糊信息聯(lián)系起來去處理復(fù)雜系統(tǒng)，并進(jìn)行多方面的擴(kuò)展研究。例如，遺傳模糊系統(tǒng)[23-25]將遺傳算法與模糊系統(tǒng)相結(jié)合，對(duì)模糊規(guī)則進(jìn)行設(shè)計(jì)、優(yōu)化，并使其具有一定的學(xué)習(xí)能力。模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[26-29]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力與模糊系統(tǒng)的解釋能力相結(jié)合可更有效的處理復(fù)雜系統(tǒng)。分層模糊系統(tǒng)[30-33]利用多個(gè)低維模糊子系統(tǒng)構(gòu)建大規(guī)模模糊系統(tǒng)，減少系統(tǒng)模糊規(guī)則數(shù)量，簡(jiǎn)化模糊推理過程。

模糊推理過程本質(zhì)上是模糊邏輯處理過程，現(xiàn)有處理模糊邏輯系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法少之又少，模糊邏輯系統(tǒng)研究過程中迫切需要一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以求突破。近年來，程代展教授及其團(tuán)隊(duì)提出矩陣半張量積理論，突破了普通矩陣乘積維數(shù)的限制，還能保持普通矩陣乘積的性質(zhì)[34-36]。矩陣半張量積將模糊推理過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，從而有效簡(jiǎn)化了模糊推理過程。特別是對(duì)于具有多重耦合模糊關(guān)系的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)，當(dāng)多重耦合模糊關(guān)系不可按控制進(jìn)行分解時(shí)，多個(gè)模糊控制器必須同時(shí)設(shè)計(jì)，其它模糊邏輯理論中逐個(gè)設(shè)計(jì)模糊控制器的方法就不再適用，而基于矩陣半張量積框架的模糊控制器設(shè)計(jì)方法為解決此類問題提供了便捷的研究框架?；诰仃嚢霃埩糠e的模糊邏輯的理論核心為模糊關(guān)系矩陣，在其它模糊邏輯理論中，當(dāng)輸入變量的個(gè)數(shù)N>2時(shí)，模糊關(guān)系矩陣會(huì)受到維數(shù)的限制，很難進(jìn)行準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表示。但利用矩陣半張量積理論，模糊關(guān)系矩陣突破了維數(shù)的限制，進(jìn)而將模糊推理過程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)形式，借助相應(yīng)的代數(shù)理論知識(shí)，可以更加簡(jiǎn)便的研究模糊邏輯理論?；诰仃嚢霃埩糠e框架的模糊系統(tǒng)研究取得了重大的理論突破且已成功應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)控制，包括原料質(zhì)量控制系統(tǒng)[37]、電力工業(yè)[38，39]、廢棄物處理[40]、空調(diào)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[41-48]等。

隨著矩陣半張量積理論的提出，邏輯系統(tǒng)研究取得了重大突破并成功應(yīng)用于眾多方向，包括動(dòng)態(tài)博弈[48-51]，動(dòng)態(tài)-靜態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)[52-56]與網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的建模及安全性分析[57-60]等。程代展教授在矩陣半張量積框架上對(duì)混合值邏輯定義、運(yùn)算以及應(yīng)用給出了一個(gè)較為系統(tǒng)的綜述[61]。然而，對(duì)基于矩陣半張量積框架下的模糊系統(tǒng)研究進(jìn)展鮮有較為系統(tǒng)的總結(jié)，本文旨在對(duì)基于半張量積理論的模糊系統(tǒng)發(fā)展研究進(jìn)行綜合概述，并給出基于矩陣半張量積理論的模糊系統(tǒng)的研究前景。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1 符號(hào)簡(jiǎn)介

(1)Mm×n為m×n階實(shí)矩陣構(gòu)成的集合。

(6) 給定α，β∈Dk，α與β的布爾乘α×Bβ，定義為α×Bβ=(α∧β)，∧為“合取”邏輯算子。

1.2 矩陣半張量積

矩陣A、B做普通矩陣乘積時(shí)，A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)。矩陣半張量積是普通矩陣乘積的推廣，突破了矩陣A、B做普通矩陣乘積時(shí)維數(shù)的限制，同時(shí)還保持了普通矩陣乘積的性質(zhì)。

矩陣半張量積可以將邏輯算子轉(zhuǎn)化為矩陣形式，是邏輯演算代數(shù)化的一個(gè)重要方法，并已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[62-65]。

下面通過一個(gè)例子來說明混合值邏輯映射的代數(shù)化，以便讀者理解。

給定邏輯變量x1∈Δ2，x2∈Δ2，x3∈Δ2，邏輯函數(shù)f(x1,x2,x3)=x1∧x2∨x3，則有形式

式中合取邏輯算子的矩陣表示形式Mc=δ2[1 2 2 2]，析取邏輯算子的矩陣表示形式Md=δ2[1 1 1 2]，結(jié)構(gòu)矩陣Mf=δ2[1 1 1 2 1 2 1 2]。

2 模糊控制系統(tǒng)研究進(jìn)展

模糊推理是模糊控制系統(tǒng)中最重要也是最復(fù)雜的一部分，現(xiàn)有對(duì)模糊推理進(jìn)行分析研究的數(shù)學(xué)方法較少。隨著程代展教授提出矩陣半張量積理論，并與其團(tuán)隊(duì)取得了一些基本研究成果，為模糊集描述與一般模糊關(guān)系描述提供了一種新方法。利用矩陣半張量積方法可以將模糊推理過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，使得模糊推理過程研究取得了突破性進(jìn)展。

2.1 歷史回顧

模糊控制系統(tǒng)一般分為模糊化、知識(shí)庫、模糊推理、解模糊化四部分，其中以基于模糊規(guī)則求解模糊控制量的模糊推理為核心部分[66，67]。模糊推理在處理系統(tǒng)不確定性、隨機(jī)性與復(fù)雜性方面有著天然的優(yōu)勢(shì)。模糊推理一般可分為Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理，模糊規(guī)則表達(dá)式為“IFXisATHENYisB”，其中，Mamdani規(guī)則推理類型中“B”為模糊子集[68，69]，T-S模糊推理中“B”為與變量X相關(guān)的多項(xiàng)式[70-74]。

(1) 求取矩陣D，其中dxy=μA(x1)∧μB(x2)

(2) 求取模糊關(guān)系矩陣MR

除上述通過模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行模糊推理以外，還可以通過隸屬度函數(shù)圖像進(jìn)行模糊推理。模糊系統(tǒng)中輸入變量個(gè)數(shù)r≤2時(shí)，模糊推理過程通過模糊關(guān)系矩陣可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，簡(jiǎn)化推理過程，降低推理過程的復(fù)雜度。當(dāng)r≥3時(shí)，從步驟(1)、(2)可知，模糊關(guān)系矩陣變?yōu)閞維矩陣，無法應(yīng)用于模糊推理過程，模糊推理過程計(jì)算復(fù)雜度劇增。但模糊控制系統(tǒng)具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)性較強(qiáng)，控制效果明顯等優(yōu)點(diǎn)，在各方面得到了廣泛的應(yīng)用，因此多輸入變量模糊系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣研究是一個(gè)比較重要且有意義的課題。

2.2 模糊控制系統(tǒng)最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積方法，文獻(xiàn)[75-77]將模糊推理過程轉(zhuǎn)化為模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，不再受系統(tǒng)輸入變量個(gè)數(shù)的限制，即模糊關(guān)系矩陣不受維數(shù)的限制，模糊推理研究取得了突破性進(jìn)展。

基于矩陣半張量積理論，模糊關(guān)系矩陣不再受維數(shù)的限制。為了文章緊密性，通過兩輸入單輸出模糊系統(tǒng)對(duì)模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行介紹。系統(tǒng)輸入變量X={x1,…,xm}、Y={y1,…,yn}，輸出變量Z={z1,…,zr}，隸屬度值{μR(xi,yj,zk)|i=1,…,m;j=1,…,n;k=1,…,r}按Id(k;r)×Id(i,j;m,n)順序進(jìn)行排列，進(jìn)而構(gòu)建系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣

如圖1模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖所示，基于矩陣半張量積方法，模糊關(guān)系矩陣替代模糊規(guī)則，將模糊推理過程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算過程，簡(jiǎn)化其計(jì)算復(fù)雜度，降低了模糊控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。

圖1 模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

為便于讀者理解，下面用一個(gè)例子來說明基于矩陣半張量積理論的模糊推理過程。

給定兩輸入單輸出的模糊控制系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入變量A、B均有7個(gè)模糊子集{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}，輸出變量U有13個(gè)模糊子集{NVB,NB,NMB,NMS,NS,NVS,ZO,PVS,PS,PMS,PMB,PB,PVB}。給定模糊輸入VA=[0 0 0.75 0.25 0 0 0]T，VB=[0 0 0 0 0.25 0.75 0]T，模糊規(guī)則如表1所示，求模糊輸出VU。

表1 系統(tǒng)模糊規(guī)則表

通過模糊規(guī)則表可知此系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣

基于模糊規(guī)則表可求得模糊關(guān)系矩陣，然而在實(shí)際應(yīng)用過程中，有些模糊控制系統(tǒng)無法直接給出模糊控制規(guī)則表，只有相應(yīng)的系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)，此時(shí)模糊關(guān)系矩陣求解就會(huì)相對(duì)困難。為此，文獻(xiàn)[78]在隸屬度函數(shù)中參數(shù)不確定時(shí)基于最小二乘法等優(yōu)化算法利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行逼近，進(jìn)而間接求取模糊關(guān)系矩陣；當(dāng)系統(tǒng)變量模糊集對(duì)應(yīng)的隸屬度參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)，基于測(cè)量數(shù)據(jù)使用直接法對(duì)模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行求解。例如對(duì)三輸入單輸出模糊控制系統(tǒng)，給定P組測(cè)量數(shù)據(jù)，模糊關(guān)系矩陣求解過程如：

(1) 指定測(cè)量數(shù)據(jù)中任意一組輸入輸出數(shù)據(jù)(x1i,x2i,x3i,yi)，對(duì)其進(jìn)行模糊化，求解其向量表示形式Vx1(x1i)Vx2(x2i)Vx3(x3i)Vy(yi)。

文獻(xiàn)[79]提出了基于模糊關(guān)系矩陣的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的通用逼近方法，從理論上證明了該框架下的模糊系統(tǒng)能夠以所需的精度逼近非線性函數(shù)，并通過仿真驗(yàn)證了其有效性。模糊系統(tǒng)中控制規(guī)則完備時(shí)，模糊關(guān)系矩陣是唯一確定的，模糊規(guī)則非完備時(shí)，模糊關(guān)系矩陣有多個(gè)。文獻(xiàn)[80]針對(duì)模糊隨機(jī)變量，將概率轉(zhuǎn)移矩陣與模糊關(guān)系矩陣相結(jié)合，提出了隨機(jī)模糊控制器的設(shè)計(jì)方法，當(dāng)模糊規(guī)則完備時(shí)，隨機(jī)模糊控制器是唯一確定的。

3 分層模糊控制系統(tǒng)研究進(jìn)展

3.1 歷史回顧

模糊系統(tǒng)中控制規(guī)則會(huì)隨著系統(tǒng)輸入變量的增加呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，即給定的模糊系統(tǒng)有m個(gè)輸入變量，每個(gè)變量有n個(gè)模糊子集，那么模糊規(guī)則有nm條，輸入變量增加p個(gè)，模糊規(guī)則數(shù)量變?yōu)閚m+p條，這種現(xiàn)象稱為“維數(shù)災(zāi)難”。模糊規(guī)則數(shù)量增多會(huì)增加模糊控制器設(shè)計(jì)的難度與模糊推理的復(fù)雜度。為處理模糊系統(tǒng)“維數(shù)災(zāi)難”問題，文獻(xiàn)[81]提出了分層模糊系統(tǒng)的思想，即整個(gè)模糊系統(tǒng)由多個(gè)低維模糊子系統(tǒng)構(gòu)成，使得模糊規(guī)則的數(shù)量會(huì)隨著輸入變量個(gè)數(shù)的增加呈現(xiàn)線增加，有效減少了大規(guī)模模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù)量[82]。分層模糊控制系統(tǒng)已廣泛的應(yīng)用于航空航天[83，84]，機(jī)器人控制[85，86]，社會(huì)管理[87]等領(lǐng)域[88-91]。

分層模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中，中間層涉及的模糊規(guī)則結(jié)構(gòu)幾乎沒有任何物理意義，其規(guī)則解釋性較弱，難以設(shè)計(jì)[92]。文獻(xiàn)[93]提出一種新的映射規(guī)則庫方案，基于原系統(tǒng)模糊規(guī)則獲取分層系統(tǒng)的模糊規(guī)則，增強(qiáng)了中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可解釋性。分層模糊控制子系統(tǒng)之間經(jīng)過解模糊化、模糊化過程，控制變量的精度會(huì)受到影響。針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[94]提出一種基于轉(zhuǎn)移矩陣快速推理獲取分層模糊系統(tǒng)矩陣表達(dá)形式的方法，構(gòu)造輔助矩陣，有效避免了中間層人工參與過程，使得中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加透明。

3.2 分層模糊系統(tǒng)最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積方法，分層模糊系統(tǒng)研究取得了較大進(jìn)展。文獻(xiàn)[95]提出基于矩陣半張量積方法的分層模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法，構(gòu)建了分層模糊系統(tǒng)的矩陣半張量積代數(shù)框架，基于混合值邏輯函數(shù)的半張量積分解方法，降低了中間層設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，使得中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加透明。

分層模糊系統(tǒng)可分為串聯(lián)、并聯(lián)與混合分層模糊系統(tǒng)，其中混合分層模糊系統(tǒng)為串聯(lián)與并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的組合，因此綜合運(yùn)用串聯(lián)、并聯(lián)層次模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法即可構(gòu)建混合分層模糊系統(tǒng)。

串聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)形式如

(1)

并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)形式如

(2)

基于混合值邏輯函數(shù)的矩陣半張量積分解方法，整個(gè)模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣可以分解為形如串聯(lián)、并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)中子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣，進(jìn)而獲取分層模糊系統(tǒng)中子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣?；诰仃嚢霃埩糠e分解的方法，將模糊推理過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，使得設(shè)計(jì)過程更加透明、簡(jiǎn)潔，其次，在中間層子系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中不需要人工參與也不需要構(gòu)建輔助矩陣，并降低了分層模糊控制系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度。

4 模糊關(guān)系方程與模糊關(guān)系不等式研究進(jìn)展

4.1 歷史回顧

模糊關(guān)系方程與模糊關(guān)系不等式方程求解問題是模糊集與模糊系統(tǒng)領(lǐng)域最重要的問題之一。由于其重要性與研究難度，該問題一直是富有挑戰(zhàn)性的研究課題[96，97]。

模糊關(guān)系方程求解問題可詮釋為給定模糊集A∈F(U×W)、B∈F(U×V)，尋找一個(gè)X∈F(W×V)滿足

A°X=B。

(3)

文獻(xiàn)[98]提出了一種模糊關(guān)系系統(tǒng)的識(shí)別算法，該算法對(duì)系統(tǒng)模糊數(shù)據(jù)或非模糊數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，構(gòu)建基本模糊集，并根據(jù)相應(yīng)的性能指標(biāo)對(duì)模糊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)[99]提出基于規(guī)則的方法，使用符號(hào)矩陣與輔助矩陣，求解最廣泛的解決集。文獻(xiàn)[100]通過排除規(guī)則事先排除冗余解，并通過構(gòu)建準(zhǔn)則矩陣和輔助矩陣給出了求解模糊關(guān)系的算法，通過簡(jiǎn)單的邏輯運(yùn)算即可求得獨(dú)立的解集。

模糊關(guān)系不等式方程表示為

s≤A°x≤t，

(4)

式中s=[s1,s2,s3,…,sm]T，A=(aij)∈[0,1]m×n，x=[x1,x2,x3,…,xn]T，t=[t1,t2,t3,…,tm]T。

文獻(xiàn)[101]定義了模糊關(guān)系不等式路徑，簡(jiǎn)化了模糊關(guān)系不等式求解過程，并給出受限于多個(gè)模糊關(guān)系不等式的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法，縮小優(yōu)化搜索范圍。文獻(xiàn)[102]對(duì)這一算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，并給出了模糊關(guān)系不等式路徑與最小解之間的關(guān)系，提出了具有模糊關(guān)系不等式約束的優(yōu)化問題的新解法。文獻(xiàn)[103]討論了模糊關(guān)系不等式最小解的唯一性，通過定義關(guān)鍵集、關(guān)鍵系統(tǒng)給出了求解模糊關(guān)系不等式的算法。

4.2 模糊關(guān)系方程最新研究進(jìn)展

給定邏輯方程

(5)

(1) 根據(jù)邏輯方程構(gòu)造有序集合Ξ={0, 0.32, 0.68, 1}

(3) 基于矩陣半張量方法，將邏輯方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式

(6)

式(4)可進(jìn)一步寫為

由向量形式轉(zhuǎn)化為模糊值

4.3 模糊關(guān)系不等式最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積理論，文獻(xiàn)[108，109]定義相關(guān)參數(shù)集，并證明了模糊關(guān)系不等式解集最小解的唯一性，提出了求解模糊關(guān)系不等式全解的算法。下面通過一個(gè)例子來介紹相關(guān)算法。

(7)

(1) 根據(jù)邏輯方程構(gòu)造有序集合Ξ={0, 0.1 0.2 0.3, 0.5, 0.7 0.9 1}。

(2) 將集合Ξ中的元素轉(zhuǎn)化為向量形式

(4) 求得解集Γ=Γ1∩Γ2，并求出解集中最大解對(duì)應(yīng)的模糊值為[0.5 1]T，最小解對(duì)應(yīng)的模糊值分別為[0.2 0]T與[0.0.2]T，模糊關(guān)系不等式的全部解可表示為

文獻(xiàn)[110]將這一結(jié)果進(jìn)行擴(kuò)展，將更為廣泛的五種模糊關(guān)系不等式轉(zhuǎn)化為式(2)的形式，利用參數(shù)集進(jìn)行求解運(yùn)算，并給出了相應(yīng)的求解算法。文獻(xiàn)[111]對(duì)基于布爾半張量積復(fù)合算子的模糊關(guān)系不等式進(jìn)行了研究，通過構(gòu)造參數(shù)集的方法，求得其模糊關(guān)系不等式的所有解。

5 基于矩陣半張量積方法的模糊控制系統(tǒng)應(yīng)用研究進(jìn)展

利用矩陣半張量積方法，構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣替代模糊規(guī)則進(jìn)行模糊推理過程，大大簡(jiǎn)化了模糊推理過程，為模糊邏輯分析與推理提供了新方法，并成功應(yīng)用于實(shí)際控制系統(tǒng)。

通過文獻(xiàn)[112]中混合動(dòng)力電動(dòng)汽車能量管理與控制系統(tǒng)介紹基于矩陣半張量積方法的模糊控制系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用過程。車輛行駛期間，電池電量充足時(shí)，車輛電動(dòng)機(jī)主要由電池供電；電池電量不足時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)工作，一方面給電池充電，另一方面為電動(dòng)機(jī)工作提供能量；當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的能量不足以使電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)，電池會(huì)為電動(dòng)機(jī)提供能量。

混合動(dòng)力電動(dòng)汽車能量模糊控制系統(tǒng)以電池儲(chǔ)能狀態(tài)(SOC)、駕駛員命令指令(Pdriver)與電機(jī)轉(zhuǎn)速(ωEM)為輸入變量，發(fā)動(dòng)機(jī)功率(Pgen)與比例因子(scalefacctor)為輸出變量。電池儲(chǔ)能狀態(tài)有四個(gè)模糊子集{toolow,low,normal,toohigh}；駕駛員功率命令有兩個(gè)模糊子集{normal,high}；電機(jī)轉(zhuǎn)速有三個(gè)模糊子集{low,optimal,high}。輸入變量的隸屬度函數(shù)如圖2所示。

注：(a) 電機(jī)轉(zhuǎn)速的隸屬度函數(shù)；(b) 發(fā)動(dòng)機(jī)功率的隸屬度函數(shù)；(c) 比例因子的隸屬度函數(shù)。圖2 輸入變量的隸屬度函數(shù)

系統(tǒng)模糊規(guī)則表示如

系統(tǒng)模糊規(guī)則可表示為

基于模糊規(guī)則可得此系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣為

混合動(dòng)力電動(dòng)汽車能量模糊控制系統(tǒng)的輸出表示如y1=MR1x1x2x3，y2=MR2x1x2x3。

基于文獻(xiàn)[112]所提出的最小入度控制算法，檢查輸入變量中是否存在冗余變量。首先對(duì)x1進(jìn)行檢查，將模糊關(guān)系矩陣MR1等分為4部分

MR1=δ5[ 5 5 5 5 5 5 2 4 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]。

可見MR1均勻分割為4個(gè)不相同模塊，則說明x1不是冗余變量。其次分別對(duì)x2、x3進(jìn)行檢查

得知x2、x3均不是y1的冗余變量。類似的，對(duì)x1、x2、x3是不是y2的冗余變量進(jìn)行檢查，得知x2、x3為y2的冗余變量，矩陣MR2可簡(jiǎn)化為MR2=δ2[2 1 1 1]。

假設(shè)輸入變量x1為0.8，x2為45 kW，x3為450 rad/s，其向量形式表示如

模糊輸出變量y1、y2可表示為

采用重心法進(jìn)行解模糊化，系統(tǒng)實(shí)際輸出變量y1為3.3，y2為1?；旌蟿?dòng)力電動(dòng)汽車能量模糊控制系統(tǒng)采用矩陣半張量積理論，利用模糊關(guān)系矩陣替代了模糊規(guī)則，簡(jiǎn)化了模糊推理過程，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)。

6 結(jié)論與展望

近年來，基于矩陣半張量積理論的模糊邏輯系統(tǒng)研究已經(jīng)得到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注，其理論研究成果在機(jī)器人控制、混合動(dòng)力車輛控制、電力系統(tǒng)控制等實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用方面得到了驗(yàn)證。基于半張量積的模糊邏輯理論與其它模糊邏輯理論的對(duì)比分析如：(1) 對(duì)于多輸入單輸出模糊系統(tǒng)，在其它模糊邏輯理論中，當(dāng)輸入變量的個(gè)數(shù)N>2時(shí)，由于維數(shù)的限制，模糊關(guān)系矩陣很難準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表示出來，進(jìn)而導(dǎo)致模糊推理過程的計(jì)算復(fù)雜度增加，且隨著系統(tǒng)輸入變量的增多，模糊推理過程的計(jì)算復(fù)雜度劇增；而利用矩陣半張量積理論，模糊關(guān)系矩陣的維數(shù)突破了維數(shù)的限制，進(jìn)而可以大幅度降低模糊推理過程的計(jì)算復(fù)雜度，緩解實(shí)際應(yīng)用過程中內(nèi)存使用問題與實(shí)時(shí)性能問題。(2) 對(duì)于具有多重耦合模糊關(guān)系的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)，當(dāng)多重耦合模糊關(guān)系不可按控制進(jìn)行分解時(shí)，多個(gè)模糊控制器必須同時(shí)設(shè)計(jì)，其它模糊邏輯理論中逐個(gè)設(shè)計(jì)模糊控制器的方法便不再適用，而基于矩陣半張量積框架的模糊控制器設(shè)計(jì)方法便可解決此類情況。

模糊系統(tǒng)的主要缺點(diǎn)是不能適應(yīng)變化的情況，為此利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的模糊推理系統(tǒng)[113]或?qū)⒛：到y(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法相結(jié)合都能很好的處理這種情況[114]。另一方面，建立模糊規(guī)則的知識(shí)是不確定性的，這種不確定性反映在不確定的前件或結(jié)論的隸屬度部分，I型模糊系統(tǒng)是不能直接處理這種不確定性的，為此，II型模糊系統(tǒng)的概念被提出，通過模糊化隸屬度函數(shù)來處理這種不確定性[115]。對(duì)于基于矩陣半張量積框架的模糊邏輯理論方面，文獻(xiàn)[78]利用系統(tǒng)數(shù)據(jù)構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣模型來改善模糊系統(tǒng)適應(yīng)性問題，但鮮有文獻(xiàn)研究II型模糊系統(tǒng)或者模糊系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法的結(jié)合問題?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大部分致力于完善基于半張量積的模糊邏輯理論底部框架，仍需大量學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究與探討。

針對(duì)矩陣半張量積框架下模糊邏輯系統(tǒng)分析與控制這一基本課題，雖然取得了一系列優(yōu)秀的研究成果，但仍有部分問題尚需解決：(1) 模糊推理過程一般可分為Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理?，F(xiàn)有研究主要集中在如何利用矩陣半張量積理論構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣，將Mamdani規(guī)則推理過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)過程來簡(jiǎn)化推理過程，對(duì)于T-S規(guī)則推理過程研究較少。(2) 利用矩陣半張量積理論所構(gòu)建的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣維數(shù)較大，如何進(jìn)一步縮小模糊關(guān)系矩陣的維數(shù)，是一個(gè)比較有意義的課題。(3) 矩陣半張量積理論是模糊邏輯表達(dá)式轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式過程中的重要數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步完善矩陣半張量積理論，進(jìn)而克服模糊系統(tǒng)“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象，是一個(gè)較為重要且有意義的課題。