基于公差原則的位置度誤差的評定

宋 勵，黃美發(fā)，唐哲敏，魯周抗

（桂林電子科技大學機電工程學院，廣西 桂林 541004）

1 引言

花鍵在汽車、機床的變速箱及一般的機械傳動裝置中應(yīng)用很廣泛，具有很高的位置精度要求[1]。準確的評定其位置度誤差，不但可作為零件驗收的依據(jù)，還可以用來分析誤差產(chǎn)生的原因。

確定尺寸公差和形位公差之間關(guān)系的原則是公差原則，其中，最大實體要求是體現(xiàn)零件可裝配性的一種公差原則，可逆要求應(yīng)用于最大實體要求的零件[2]，尺寸公差與形位公差相互補償，改善了被測要素的誤差變動范圍，能將以前誤認為不合格的零件納入合格品，從而達到降低產(chǎn)品制造成本的目的。

當被測要素的位置度公差應(yīng)用有最大實體要求、可逆要求時，可以用物理量規(guī)來檢測產(chǎn)品幾何特征的合格性[3]。但是專用綜合量規(guī)檢測不能測出被測要素的實際尺寸和形位誤差的大小，并且一個尺寸型號的產(chǎn)品對應(yīng)一個尺寸型號的綜合量規(guī)，測量柔性小[4]。文獻[5]首先提出了虛擬量具的概念，并建立了被測要素有M的二維數(shù)學模型。文獻[6]根據(jù)產(chǎn)品檢測與設(shè)計標準的一致原則，提出了滿足公差檢測一致性要求的軟件量規(guī)數(shù)學表達式。文獻[7]通過模擬量規(guī)與產(chǎn)品的虛擬測量過程來分析產(chǎn)品基準參考框架的建立問題。

上述模型都是以實際基準特征要素來建立基準的，而較少涉及有公差原則的參考基準。當被測要素的基準遵循公差原則時，基準要素在遵循的邊界范圍內(nèi)浮動[3]。國家標準GB/T16671-2009[2]和美國機械工程師協(xié)會標準ASME Y14.5-2009[8]規(guī)定了被測要素有尺寸公差、方向公差或位置公差和M，并且其基準有M的情況。該情況可以通過相關(guān)聯(lián)的若干個量規(guī)對其合格性進行檢驗，但是此方法主要用于大批量生產(chǎn)或位置度要求不高的零件。

為了提高檢測方法對花鍵零件結(jié)構(gòu)和尺寸的適應(yīng)性，同時解決基準應(yīng)用有公差原則的位置度誤差評定問題，將建立相應(yīng)的虛擬量具的數(shù)學模型并提出位置度誤差合格性評定的數(shù)學方法。

2 花鍵軸M-MR位置度的幾何約束

M-MR位置度公差的標注，如圖1所示。

圖1 花鍵位置度公差標注Fig.1 The Position Tolerance Annotation of the Spline

花鍵軸M-MR位置度公差對被測要素和基準要素有，如下5個要求[2]：（1）花鍵的提取要素不得違反其最大實體實效狀態(tài)MMVC，其寬度為最大實體實效尺寸MMVS。（2）花鍵的提取要素各處的局部尺寸應(yīng)大于最小實體尺寸LMS，可逆要求RPR允許其局部尺寸從MMS增大至MMVS。（3）各個花鍵的最大實體實效邊界MMVB的中心平面通過基準的最大實體實效邊界MMVB2的中心軸線，且各個鍵的理想中心平面分別位于等分位置上。（4）基準要素的提取要素不得違反其最大實體實效狀態(tài)MMVC，由于基準要素的導(dǎo)出要素沒有標注幾何公差要求，其最大實體實效尺寸MMVS為最大實體尺寸MMS。（5）基準要素的提取要素各處的局部直徑大于最小實體尺寸LMS。

3 M-MR位置度的數(shù)學評定方法

為了與GB/T1958-2004[9]給出的綜合量規(guī)的理想幾何特性保持一致，M-MR位置度公差的虛擬量具由被測花鍵鍵寬的最大實體實效邊界MMVBn和基準小徑的最大實體實效邊界MMVBd構(gòu)成。

3.1 虛擬量具的數(shù)學模型

該花鍵檢測量規(guī)模型由被測要素和基準要素的最大實體實效邊界構(gòu)成，各個花鍵的最大實體實效邊界MMVB的中心平面通過基準的最大實體實效邊界MMVBd的中心軸線，且各個鍵的理想中心平面分別位于等分位置上，同時構(gòu)建局部坐標系，將MMVBd的軸線置于局部坐標系Z軸，軸上任取一點置于局部坐標系原點，確定虛擬量具的方位[10]。

3.2 花鍵的合格性評定

基于3.1節(jié)所述的虛擬量具，按以下步驟對花鍵的M-MR位置度誤差進行評定。

3.2.1 將實際被測花鍵的測量坐標置于局部坐標系中

首先將花鍵的三坐標測量數(shù)據(jù)進行粗略平移，如式（1）所示：

式中：Pd，m=（xd，m，yd，m，zd，m）T—實際基準小徑鍵槽面上的測點數(shù)據(jù)；m—測點序數(shù)；Fi=（xi，yi，zi）T、Bi=（xi，yi，zi）T—實際基準小徑圓柱體的前端面和后端面上的測點數(shù)據(jù)；i—測點序數(shù)；PBn，L，a=（xBn，L，a，yBn，L，a，zBn，L，a）T、PBn，R，a=（xBn，R，a，yBn，R，a，zBn，R，a）T—實際被測花鍵n左側(cè)面和右側(cè)面上的測點數(shù)據(jù)；a—測點序數(shù)；n—鍵序數(shù)；Fn，a=（xn，a，yn，a，zn，a）T、Bn，a=（xn，a，yn，a，zn，a）T—實際被測花鍵n前端面和后端面上的測點數(shù)據(jù)；a—測點序數(shù)；n—鍵序數(shù)—粗略平移后的坐標數(shù)值；Pd，1/2—Fi、Bi連線的中點，在實際基準小徑圓柱體兩個端面的對稱平面上。

通過上述的粗略平移之后，再進行旋轉(zhuǎn)平移，采用最小外接圓柱來擬合實際基準小徑，具體的擬合目標函數(shù)，如圖2所示。

圖2 實際基準小徑的擬合Fig.2 The Actual Datum for Fitting

圖中：dm—最小外接圓直徑；L—花鍵的名義長度。目標優(yōu)化：

式中：（x0，y0，0）—實際基準圓柱移動時的平移向量；α0、β0、δ0—實際基準圓柱時繞局部坐標系x軸、y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)弧度。

為旋轉(zhuǎn)矩陣，體現(xiàn)每個測點繞局部坐標系x、y、z軸依次旋轉(zhuǎn)α0、β0、δ0弧度而引起的坐標變動。

采用粒子群算法進行求解，解得最優(yōu)解（x0，min，y0，min，z0，min，α0，min，β0，min，δ0，min），即實際基準小徑 d2的擬合圓柱體 M2對應(yīng)的（x0，y0，z0，α0，β0，δ）0的值，目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值 mindm是實際基準小徑圓柱的最小外接圓柱的直徑。

通過式（2）的坐標轉(zhuǎn)換可分別得到實際被測花鍵n左側(cè)面和右側(cè)面相對于擬合基準圓柱體M2的坐標集

3.2.2 計算虛擬量具的關(guān)鍵尺寸

被測花鍵的最大實體實效邊界MMVBn的鍵寬BVn和基準小徑的最大實體實效邊界MMVBd圓柱體MV2的直徑Dv2。

鍵寬 BVn=Bn+esn+T，直徑 Dv2=d2+es2。

3.2.3 計算實際被測花鍵的極限當量鍵寬 Bn，2M，coa，mM

圖3 被測花鍵的極限當量鍵寬Fig.3 The Limitation Equivalent Spline Width of the Measured Spline

圖4 被測花鍵的等分位置Fig.4 The Equal Distribution of the Measured Spline

實際被測花鍵的極限當量鍵寬是指：當基準小徑的最大實體實效邊界MMVBd包容實際基準小徑d2圓柱體時，以MMVBd的軸線為花鍵的基準軸線，能包容實際被測花鍵的理想花鍵的最小鍵寬，理想花鍵的中心平面通過MMVBd的軸線，且各個鍵的理想中心平面分別位于等分位置上。

以實際基準小徑d2相對于圓柱體MV2的三維空間姿態(tài)v2為變量，以實際被測花鍵鍵寬Bn相對于圓柱體MV2的當量鍵寬Bn，2M，coa=f（v2）為目標函數(shù)進行目標優(yōu)化，得到實際被測花鍵Bn相對于圓柱體 MV2的極限當量鍵寬 Bn，2M，coa，mM。

該過程可以用目標優(yōu)化問題（3）表述如下：

式中：（dx，dy，0）—實際基準圓柱移動時的微小平移向量；dα、dβ、dδ—實際基準圓柱移動時繞局部坐標系x軸、y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)弧度；R（dα，dβ，dδ）=旋轉(zhuǎn)矩陣；dv2，m—實際基準圓柱體上的第m個測點到局部坐標系z軸的距離的二倍，該值不能大于基準小徑最大實體實效邊界MMVBd的直徑 Dv2；

目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值 Bn，2M，coa，mM=minBn，2M，coa是實際被測花鍵的極限當量鍵寬。

3.2.4 判斷被測花鍵的位置度是否合格

當實際被測花鍵的極限位置處的當量鍵寬 Bn，2M，coa，mM均不大于花鍵的MMVBn的寬度Bvn，意味著實際零件能通過虛擬量具。

4 實例驗證

某型號花鍵軸零件的尺寸與幾何公差的初步規(guī)范，如圖5所示。實際零件在三坐標測量機上的測量數(shù)據(jù)，如表1、表2所示。

圖5 某花鍵軸的尺寸與幾何公差的初步規(guī)范Fig.5 The Tolerance Annotation of the Measured Spline Shaft

表1 花鍵軸的端面測量數(shù)據(jù)Tab.1 The Measurement Data of the End Surface of the Spline

表2 鍵槽面和花鍵側(cè)面的測量數(shù)據(jù)Tab.2 The Measurement Data of the Keyway Surface of the Spline and the Side Surface of the Spline

4.1 步驟1將實際被測花鍵的測量坐標置于局部坐標系中

將實際基準小徑上獲得的測點數(shù)據(jù)集擬合成小徑圓柱體M2，求得實際基準小徑圓柱的最小外接圓柱的直徑：mindm=32.0628mm，最優(yōu)解：（xo，min，y0，min，α0，min，β0，min，δ0，min）=（14.2538，15.6679，0.0263，0.0131，0.0273）。

4.2 步驟2計算虛擬量具的關(guān)鍵尺寸

4.3 步驟3計算實際被測花鍵的極限當量鍵寬Bn，2M，coa，mM

解得實際被測花鍵的極限當量鍵寬 Bn，2M，coa，mM=minB1，2M，coa=8.0152mm，以及相應(yīng)的最優(yōu)解（dx，dy，dα，dβ，dδ）=（0.0346，0.0346，0.00231，0.00231，0.00231）。

4.4 步驟4判斷被測花鍵的位置度是否合格

當實際被測花鍵的極限位置處的當量鍵寬 Bn，2M，coa，mM均不大于花鍵的MMVBn的寬度Bvn，意味著實際零件能通過虛擬量具。

5 結(jié)語

根據(jù)被測花鍵軸的基準有最大實體要求，被測要素有最大實體要求、可逆要求的位置度公差的工程語義，分析實際量具的幾何特性及其在合格性評定中的使用過程，建立相應(yīng)的虛擬量具的數(shù)學模型并提出合格性評定的數(shù)學方法。該方法有效地解決了基準要素上應(yīng)用公差原則的位置度誤差的評定問題，同時為確定花鍵的位置精度提供了必要的理論依據(jù)。