試談“猜想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

威信縣第一中學(xué) 陳 潔

有一部分教師、家長(zhǎng)和學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)中的“猜想”是不動(dòng)腦筋的亂猜、瞎想，總是覺(jué)得“猜”就是懶惰的表現(xiàn)，會(huì)誤入歧途，不能在數(shù)學(xué)教學(xué)中大肆宣揚(yáng).我認(rèn)為這是一種偏見(jiàn)，是對(duì)“猜想”的完全否定.“猜想”就是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)和教學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)未知量及其規(guī)律作出的似真判斷.合乎情理的“猜想”往往蘊(yùn)含著創(chuàng)造性思維活動(dòng)，它有時(shí)可以發(fā)現(xiàn)真理，有時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)解題的有效途徑.縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，“猜想”有著極為重要的作用，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想……在漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程中，有些“猜想”可能被否決了，但隨之而來(lái)的，可能是更多奇妙的發(fā)現(xiàn).

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，許多性質(zhì)定理和判定定理可以說(shuō)是通過(guò)“猜想”得以實(shí)現(xiàn)的.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，我們總是要先猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容及其證明思路，甚至是一次又一次的不斷嘗試.在幾次示范課中，我鼓勵(lì)學(xué)生大膽“猜想”，通過(guò)“猜想”四個(gè)環(huán)節(jié)（實(shí)驗(yàn)→“猜想”的產(chǎn)生→“猜想”的驗(yàn)證→正確結(jié)論）的層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，教學(xué)效果較好，連學(xué)困生也能激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

一、典型案例分析和啟示

案例1：垂徑定理

在講授“垂徑定理”時(shí)，如果教師直接寫出這一定理來(lái)加以論證，學(xué)生會(huì)感到太突然.教師不妨先讓學(xué)生來(lái)“猜想”它的內(nèi)容.

教師讓學(xué)生課前準(zhǔn)備一張圓形紙片，在上面任畫(huà)一條弦AB，過(guò)圓心O作直徑CD使CD⊥AB，垂足為E，這樣就構(gòu)建了“垂直于弦的直徑”，如圖1.接著，教師請(qǐng)學(xué)生把這個(gè)圓形紙片沿直徑CD對(duì)折，讓他們仔細(xì)觀察分析，并提問(wèn)：“同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生甲回答：“弦AB被直徑CD分成的兩部分重合了.”學(xué)生乙回答：“弧AC和弧BC、弧AD和弧BD分別重合.”然后，教師引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“猜想”：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.接著，教師又問(wèn)：“這一‘猜想’對(duì)嗎？”然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“猜想”進(jìn)行驗(yàn)證.

圖1

這樣一節(jié)課上下來(lái)，教師和學(xué)生都覺(jué)得非常輕松.學(xué)生在“猜想”的過(guò)程中，既動(dòng)手又動(dòng)腦，積極性較高，教學(xué)效果較好.

案例2：三角形內(nèi)角和定理

“三角形內(nèi)角和定理”這節(jié)課也可以用到“猜想”.學(xué)生在小學(xué)時(shí)就了解了“三角形內(nèi)角和等于180°”的知識(shí).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以大膽地開(kāi)展一些實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中獲得感性認(rèn)識(shí)，去觀察、分析、概括出產(chǎn)生的“猜想”，然后再加以驗(yàn)證.

教師讓學(xué)生做一個(gè)三角形紙片，把它的三個(gè)角用不同方式拼在一起（如圖2甲、乙），讓學(xué)生觀察三個(gè)角拼在一起好像構(gòu)成一個(gè)平角.由此“猜想”：三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180°.教師再提出疑問(wèn):“三角形內(nèi)角和為什么是180°？”問(wèn)題的提出激發(fā)了學(xué)生的求知欲。在拼圖的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)原因，找到證明的途徑.

圖2

由此可見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)不僅產(chǎn)生“猜想”，又為“猜想”的驗(yàn)證提供了很大的幫助.實(shí)踐證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中大膽“猜想”，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知的欲望，從而增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

案例3：矩形的判定定理

在教學(xué)矩形的判定定理“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“矩形的對(duì)角線相等”這一性質(zhì)進(jìn)行“猜想”：對(duì)角線相等的四邊形是矩形.討論時(shí)，一位同學(xué)認(rèn)為這個(gè)命題是對(duì)的，并且畫(huà)出圖形給大家看（如圖3）.另一名同學(xué)說(shuō)：“不行，我畫(huà)出的圖形不一樣（如圖4）.圖4是等腰梯形，它的兩條對(duì)角線也相等，但不是矩形.”通過(guò)討論學(xué)生最后得出“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”的結(jié)論不成立。教師又引導(dǎo)學(xué)生“猜想”：“如果我們把四邊形改成平行四邊形呢？”學(xué)生討論了一下找不出反例。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生來(lái)證明這個(gè)“猜想”。

圖3

圖4

通過(guò)驗(yàn)證，教師和學(xué)生辨別出兩個(gè)命題的真假，雖然“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”這一“猜想”被否決了，但是它可以讓學(xué)生更牢固地掌握矩形的判定方法——“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”.

二、“猜想”在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不可忽視的作用

1.“猜想”有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性.通過(guò)做實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的“猜想”，是有根由的，不是無(wú)緣無(wú)故的“瞎猜”.在做實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中絕大多數(shù)學(xué)生都主動(dòng)參與了活動(dòng)，促進(jìn)了獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成.

2.“猜想”有助于幫助學(xué)生尋求解題的有效途徑，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們的求知欲.很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)太難了，枯燥無(wú)味.“猜想”可以讓他們?cè)凇巴妗敝小皩W(xué)”，在“學(xué)”中“玩”，積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.通過(guò)“猜想”的四個(gè)環(huán)節(jié)的層層遞進(jìn)，教師不僅讓學(xué)生尋找到解題的有效途徑，還激發(fā)了他們的求知欲望.

3.“猜想”有一個(gè)主要的環(huán)節(jié)，那就是驗(yàn)證.驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生需要去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，親自驗(yàn)證“猜想”的正確與否.這就讓學(xué)生有了成功的體驗(yàn)，他們會(huì)覺(jué)得自己還“行”，從而增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

4.“猜想”有助于學(xué)生辨析知識(shí)，提高他們的識(shí)別能力，增強(qiáng)在學(xué)習(xí)和生活中的判斷能力.在案例3中，雖然有的“猜想”被否決了，但是學(xué)生“牢固”地掌握了矩形的判定方法，從另一個(gè)角度幫助他們識(shí)別對(duì)錯(cuò)，從而提高了他們的識(shí)別能力，讓他們體驗(yàn)成功與失敗，分享發(fā)現(xiàn)和成果.

5.“猜想”不但有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.