“扔紙團”問題的深度探討

鄧天華 ，傅 敏

1.西北師范大學(xué)教育學(xué)院，蘭州 730070

2.西北師范大學(xué)附屬中學(xué)，蘭州 730070

習(xí)題教學(xué)是學(xué)科教學(xué)的重要組成部分，是培養(yǎng)問題解決能力的重要載體。學(xué)生常常在習(xí)題中遇到困難，有時即使對照參考答案也難以釋惑。學(xué)生在習(xí)題中暴露出來的問題往往很關(guān)鍵且重要，反映了他們真實的認知情況，具有很好的研究價值。教學(xué)中如果能緊緊抓住這些契機，有針對性地進行教學(xué)設(shè)計，及時有效地解疑釋惑，將會促進學(xué)生對概念、規(guī)律的深刻理解，也有利于問題解決能力的提升。

1 問題提出

題目（單選）利用手機可以玩一種叫“扔紙團”的小游戲。如圖1所示，游戲時，游戲者滑動屏幕將紙團從P點以速度v水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍，紙團恰好從紙簍的上邊沿入簍并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團進入紙簍中并直接擊中簍底正中間，下列做法可行的是

圖1 “扔紙團”游戲示意圖

A.在P點將紙團以小于v的速度水平拋出

B.在P點將紙團以大于v的速度水平拋出

C.在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出

D.在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出

很多學(xué)生質(zhì)疑D選項：初速度v增加，高度h減小，水平位移還是可能恰好沿左側(cè)上沿飛入并擊中簍底正中間。有的學(xué)生“淺嘗輒止”地試畫拋物線軌跡后發(fā)現(xiàn)“好似不能通過底部中點”或“好似可能”；更多的學(xué)生注意到“單選”，既然認為C選項正確，那結(jié)合“經(jīng)驗”便確定D選項錯誤。參考答案及解析中把正確答案找到就未進一步分析。最后的“同理”應(yīng)該怎么解釋呢？沒有清晰地說明其錯誤原因，蘊含其中的知識和能力需求沒有得以體現(xiàn)。解析的確給出了數(shù)學(xué)關(guān)系和物理意義上的一點解釋，那能不能更進一步探討，以加深對平拋運動及其規(guī)律的理解呢？接下來，從三個角度進行思考。

2 三個角度

2.1 定性分析，把握本質(zhì)

分析D選項，設(shè)滿足題意的紙團運動軌跡如圖2中曲線a所示?？紤]高度減小，運動時間變短，當(dāng)紙團剛好通過紙簍左側(cè)上沿時，豎直方向的分速度也減小。因水平的初速度增加，而紙簍兩側(cè)間距又不變，在紙簍兩側(cè)間的運動時間變短，則沿紙簍豎直方向下降的距離減小，故將擊中紙簍右側(cè)某點，如圖2中曲線b。

圖2 定性分析

2.2 軌跡模擬，直觀呈現(xiàn)

圖3 軌跡模擬

為呈現(xiàn)動態(tài)變化過程，輸入變量a和c，制作滑動條，再輸入函數(shù)y=-ax+c。拖動滑動條，即可以調(diào)節(jié)高度H和初速度v，模擬紙團從不同高度以不同初速度拋出時擊中紙簍的位置關(guān)系。在這一動態(tài)變化過程中，可以發(fā)現(xiàn)擊中兩側(cè)AB和CD的不同情況，也可以找到其他擊中簍底正中間的可能性。 當(dāng) a＝0.12，c＝3.7，即 y=-0.12x+3.7，紙團從更高位置以更小速度拋出將可以擊中簍底中點 F（8.01，－4.00），如圖 3 中曲線 d 所示。

在“軌跡模擬”的動態(tài)呈現(xiàn)過程中，也可以把上述步驟的順序進行調(diào)整：先繪制紙簍兩側(cè)面AB和CD，再繪圖3中曲線a，引導(dǎo)學(xué)生分析“高度和初速度的改變影響拋物線方程的開口度”，呈現(xiàn)系數(shù)調(diào)節(jié)的過程，直到能畫出圖3中的曲線b、c和d。還可演示初速度不變，上下移動拋出點的位置，其拋物線軌跡跟擊中紙簍的位置關(guān)系，尋找規(guī)律。

2.3 數(shù)理結(jié)合，深度釋疑

如圖4，設(shè)紙團拋出的初速度為v，高度為H，紙簍高度為h，其左右側(cè)面分別為AB和CD，間距為L，拋出點離紙簍兩側(cè)的水平距離分別為x和 x，由題意得

圖4 數(shù)理結(jié)合

若紙團從更低位置（H-Δh）以更大的初速度（v＞v）拋出，仍滿足臨界條件，即剛好經(jīng)過紙簍左側(cè)上沿A點并擊中簍底D點，同上分析有

聯(lián)立（3）（4）式知

（7）式不成立，因此假設(shè)不成立。當(dāng)（4）式右側(cè)因（H-Δh）減小而減小，左側(cè)值也應(yīng)該減小，那就只能x增大，故紙團打在右側(cè)D點之上。

再考慮C選項，若紙團從更高位置（H+Δh）以更小初速度（v＜v）拋出，經(jīng)過左側(cè)上沿A點或更大的水平距離（x+Δx）進入紙簍并擊中簍底中點，同上分析有

聯(lián)立（3）（9）式知 H+Δh＞H，（9）式右側(cè)增大，左側(cè)也增大，（8）（9）式可能都成立，說明紙團可以滿足假設(shè)，如圖3中曲線c和d所示。

3 反思

本題考查平拋運動規(guī)律及應(yīng)用，屬簡單題，學(xué)生作出正確選擇并不難，但提出的疑惑很有代表性。學(xué)生在問題解決中易于借助數(shù)學(xué)表達式或憑借不知正誤的“經(jīng)驗”，而往往忽略實際的物理情境便產(chǎn)生疑惑甚至錯誤?！叭蛹垐F”問題中，學(xué)生試畫的“拋物線”并不一定是嚴格的拋物線，而數(shù)學(xué)表達式只能呈現(xiàn)定性分析的某方面，從而產(chǎn)生質(zhì)疑。教師先從物理角度進一步定性分析，又借助信息技術(shù)嚴格作圖，再嘗試數(shù)學(xué)、物理跨學(xué)科融合，從定性到定量，從直觀到抽象，引導(dǎo)學(xué)生逐漸認清問題實質(zhì)，促進學(xué)生深刻理解平拋運動的規(guī)律，加強數(shù)學(xué)分析能力的訓(xùn)練，整體提升問題解決能力。

教學(xué)要以學(xué)為中心，回到教學(xué)中，抓住問題關(guān)鍵，有時還需“慢下來”甚至“停一停”，尋求能力的培養(yǎng)和提升。教學(xué)過程中，不管是概念、規(guī)律的新課教學(xué)，還是其應(yīng)用的習(xí)題教學(xué)，了解學(xué)情越真實越具體，就越能針對學(xué)生在知識和能力上的不足而進行有效設(shè)計，正面回應(yīng)學(xué)生的疑惑，“趁熱打鐵”及時解決問題。