陣元失效對克羅內(nèi)克積波束形成性能的影響

戴金洲，沙 碩，厲 劍，孟維鑫，鄭成詩

(1.北京市計量檢測科學研究院，北京 100029；2.中國科學院大學，北京 100049；3.中國科學院聲學研究所，北京 100190)

0 引言

基于傳聲器陣列的波束形成技術(shù)可以構(gòu)建空間濾波器定向提取目標信號并抑制干擾[1]。波束形成技術(shù)按照數(shù)據(jù)相關性劃分，可分為固定波束形成器和自適應波束形成器。固定波束形成器包括延遲求和波束形成器、超指向性波束形成器等，其運算復雜度低，但噪聲抑制能力有限；自適應波束形成器包括最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)波束形成器[2-5]、廣義旁瓣消除器(Generalized Sidelobe Cancellation,GSC)[6-8]、多通道維納濾波(Multi-channel Wiener Filtering,MWF)等[9-11]，這類波束形成器可以根據(jù)噪聲信號的變化自適應地抑制干擾噪聲，具有較強的方向性干擾噪聲抑制能力。然而，自適應波束形成器也存在以下問題：首先，自適應波束形成器需要對信號協(xié)方差矩陣進行求逆運算，為避免奇異，當傳聲器陣元數(shù)較多時往往需要更多的快拍數(shù)估計協(xié)方差矩陣，且矩陣求逆運算復雜度迅速增加，導致波束形成魯棒性降低而系統(tǒng)復雜度增大；其次，自適應波束形成器對導向矢量誤差和協(xié)方差矩陣誤差都較為敏感，這兩種誤差會造成波束形成器性能大幅下降[4]。因此，如何利用較少的快拍數(shù)設計魯棒的波束形成器一直是該方向的研究熱點。

對于一類規(guī)則陣型(例如均勻線陣、均勻面陣等)的傳聲器陣列，其導向矢量對應的高維矩陣可以分解為兩個低維的虛擬矩陣的克羅內(nèi)克積(Kronecker Product,KP)。Benesty等[12-14]將這一特性應用于傳聲器陣列，提出了KP波束形成器，并推導了線陣和面陣的KP波束形成器的解析式。Rajib等[14]分析了KP混合波束形成器應用于遠場語音信號時的收斂性和魯棒性。研究結(jié)果表明，基于KP分解的MVDR波束形成器(KP-MVDR)可以在保證降噪效果的前提下，顯著提高波束形成方法的魯棒性，同時降低計算復雜度。該方法可以提高波束形成的魯棒性，主要是將KP-MVDR的權(quán)向量分解為兩個虛擬子陣列的MVDR權(quán)向量的克羅內(nèi)克積的形式，相當于將傳聲器陣列的等效自由度降低到兩個虛擬子陣中陣元最大數(shù)，從而提高魯棒性。

在實際工程應用中，由于傳聲器焊接工藝、芯片底層數(shù)據(jù)采集驅(qū)動等問題可能會導致傳聲器采集信號出現(xiàn)錯誤，導致傳聲器陣列的若干陣元失效，影響最終的波束形成結(jié)果。常見的陣元失效包括三種情況：第一種是信號幅度異常變小或為0，第二種是信號中只有自噪聲，第三種是某些傳聲器信號完全一致。實際中可通過特征提取對比和壓縮感知等方法準確地檢測出異常的信號通道[15-16]，從而在波束形成中僅用有效陣元采集的信號。然而，上述方法并不適用于KP-MVDR波束形成器，因為此時均勻陣列將變?yōu)榉蔷鶆蜿嚵校鋵蚴噶坎荒軌蜻M行克羅內(nèi)克分解，導致KP-MVDR波束形成算法的理論模型失配。另一方面，若直接使用失效陣元的數(shù)據(jù)可能會嚴重影響噪聲的協(xié)方差矩陣估計，導致自適應波束形成器性能下降。為了解決上述問題，本文將分析不同陣元失效情境下各種自適應波束形成器的性能，并給出相應場景下提高自適應波束形成器性能的解決方法。本文將以鳴笛數(shù)據(jù)為例進行對比測試。仿真及實際數(shù)據(jù)實驗結(jié)果表明，本文提出的改進方法可以有效提高失效陣元場景下的KPMVDR及MVDR波束形成器性能。

本文建立了信號模型，對基于均勻面陣的MVDR及KP-MVDR算法進行討論，分析了不同陣元失效場景下的波束形成器性能，并提出了陣元失效的解決方法。

1 信號模型

如圖1所示，考慮M元均勻面陣，其垂直xOy平面并位于xOz平面上，陣列中心放置在原點，每一行有M1個全指向性傳聲器，每一列有M2個全指向性傳聲器，滿足M=M1M2，任意兩個相鄰傳聲器間隔為δ。陣列采集信號經(jīng)過K點短時傅里葉變換(Short-time Fourier Transform,STFT)后表示為

圖1 均勻面陣模型及其KP分解示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform rectangular array model and its KP decomposition

其中：y(k，l)=[Y1(k，l)...YM(k，l)]T為陣列采集信號在第l幀第k個頻點對應的頻譜分量，l∈ {1，2，...，L}，k∈ {1，2，...，K}。X(k，l)為期望信號，v(k，l)=[V1(k，l)...VM(k，l)]T為 加 性 噪 聲 矢 量 ，h(k)為目標信號導向矢量。假設目標聲源距離傳聲器陣列較遠，滿足遠場假設，且以角度Ω0=[φ0θ0]T入射，其中φ0和θ0分別為俯仰角和水平角，此時期望信號導向矢量可以表示為

其中：Xfd1為輸出的期望信號，Vrn為殘留噪聲成分。

2 基于克羅內(nèi)克積的波束形成器

2.1 最小方差無失真響應波束形成器

最小方差無失真響應波束形成器的優(yōu)化準則是在期望方向信號無失真的約束下最小化噪聲能量，具體可表示為

其中：Rv(k)=E{v(k，l)vH(k，l)}為干擾噪聲協(xié)方差矩陣。MVDR波束形成器需要已知干擾噪聲協(xié)方差矩陣，但采集信號是期望信號與加性噪聲的混合信號。本文考慮車輛鳴笛聲檢測及提取的實際應用場景，在該場景中，鳴笛信號在時間維度上較為稀疏，而道路噪聲等噪聲信號幾乎一直存在，可通過長時統(tǒng)計的方法估計干擾噪聲協(xié)方差矩陣。

2.2 基于克羅內(nèi)克積的最小方差無失真響應波束形成器

KP-MVDR波束形成器將整個陣列分解為兩個虛擬子陣的克羅內(nèi)克積形式，對每個虛擬子陣分別進行傳統(tǒng)MVDR濾波，再將虛擬子陣對應的濾波器利用克羅內(nèi)克積重構(gòu)出整個陣列的空間濾波器，下面以圖1所示的均勻面陣介紹KP-MVDR算法。

該優(yōu)化問題為雙變量優(yōu)化問題，不存在閉式解，可采用文獻[14]提出的迭代方式進行求解。選虛擬子陣1作為迭代初始陣列，則第n次迭代時虛擬子陣1的濾波器系數(shù)為

將其記為基于克羅尼克積的最小方差無失真響應聯(lián)合延遲求和(Kronecker Product Minimum Variance Distortionless Response Delay and Sum,KP-MVDAS)波束形成器。

3 陣元失效對波束形成性能的影響

KP-MVDR波束形成器可以降低估計協(xié)方差矩陣所需的快拍數(shù)，同時降低計算復雜度，但其只能適用于一類規(guī)則陣列。如前所述，當規(guī)則陣列中出現(xiàn)陣元失效時，如果依然使用這些失效陣元，可能會導致KP-MVDR的性能有所下降，但該問題至今未有相關理論研究和實驗研究工作。本節(jié)將以KP-MVDR波束形成器以及MVDR波束形成器為例，分析陣元失效對其波束形成性能的影響，并提出相應解決方案以提高它們的波束形成性能。

3.1 理論分析

為簡化問題，假設噪聲是由Ωi=[φiθi]T方向入射的干擾噪聲以及傳聲器自噪聲組成：

相應的噪聲協(xié)方差矩陣為

下面將針對三種不同陣元失效場景進行具體分析。

(1)陣元采集信號為0

不失一般性，面陣陣元將按照從左到右，從上到下的順序進行排序編號，當?shù)趍個傳聲器采集信號為0時，實際得到的噪聲協(xié)方差矩陣為

本文以窄帶信號為例對上述理論分析進行仿真驗證。仿真測試選用陣元間隔δ為4 cm的32元均勻面陣，其中M1=8，M2=4，干擾為4 kHz窄帶信號，能量為10 dB，干擾方向Ωi=[90°-30°]T，陣元自噪聲為-35 dB。實驗結(jié)果為1 000次蒙特卡洛實驗的平均結(jié)果。圖2給出了此時三種不同陣元受損情景時協(xié)方差矩陣誤差的變化情況。

由圖2結(jié)果可知，仿真實驗結(jié)果與理論分析相符，即采集信號與相鄰通道重復對協(xié)方差矩陣的影響小于采集信號為0對協(xié)方差矩陣的影響，而采集信號為白噪聲時對協(xié)方差矩陣的影響與白噪聲能量有關。我們將進一步通過寬帶仿真實驗驗證理論分析。上述結(jié)果同時也表明，采用估計協(xié)方差矩陣與真實協(xié)方差矩陣誤差的F范數(shù)度量陣元失效對自適應波束形成的影響是合理的。

圖2 三種陣元受損情況下協(xié)方差矩陣誤差隨白噪聲能量的變化Fig.2 Variations of the estimation error of covariance matrix with white noise energy in three cases of array element damage

3.2 客觀指標

常用的波束形成器客觀指標包括陣增益，以及均方誤差(Mean Squared Error,MSE)等，其中陣增益可用于衡量波束形成器的干擾噪聲抑制性能，不失一般性，如果選擇第一個傳聲器計算噪聲功率時，陣增益定義式為

其中：RSIN，I(k)表示第k個頻點對應頻率的輸入信干噪比；RSIN，O[w(k)]表示第k個頻點對應頻率的輸出信干噪比。

均方誤差用來評估濾波后信號和期望信號的統(tǒng)計誤差，其定義式為

其中：Δf為相鄰頻點的間隔。

3.3 仿真實驗

在鳴笛信號檢測提取的應用場景中，往往需要較多的傳聲器陣元進行處理，因此本文以鳴笛應用為背景，對陣元失效的影響進行仿真和實驗研究。選取汽車鳴笛信號作為期望信號放置在Ω0=[90°0°]T，選取白噪聲作為干擾放置在Ωint=[90°50°]T。使用32元均勻面陣進行測試，其中M1=8，M2=4，傳聲器間隔δ為4.3 cm，采樣率為16 kHz，實驗時進行分幀處理，幀長及FFT點數(shù)為512，幀移為256。這里使用約10 s長的純噪聲段估計噪聲協(xié)方差矩陣。如前所述常見的陣元失效場景包括兩個傳聲器采集信號完全一致、信號幅度異常變小或為零、以及采集信號中只有自噪聲。為了便于描述，在下文中將兩個傳聲器采集信號完全一致定義為失效場景1，將信號幅度異常變小或為0定義為失效場景2，采集信號中只有自噪聲定義為失效場景3。

首先設計仿真實驗來探究三種陣元失效情景下，KP-MVDR波束形成器的陣增益及均方誤差變化情況。本節(jié)選取DAS波束形成器，傳統(tǒng)MVDR和KP-MV-DAS波束形成器進行對比，其中KPMVDR迭代次數(shù)選擇為5次，仿真中的輸入信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)設為0 dB，失效場景3中的白噪聲能量為-10 dB，不存在誤差時的參考陣增益及均方誤差如表1所示。由表1結(jié)果可知，與固定波束形成器相比，自適應波束形成器具有較高的陣列增益和較低的均方誤差，且三種自適應波束形成器性能大致相同。

表1 不同波束形成方法在典型情況下的參考陣增益及均方誤差Table 1 Reference array gains and MSEs of different beamforming methods in a typical case

3.3.1 仿真實驗1

圖3給出了不同陣元失效場景下，不同陣元失效數(shù)量對不同波束形成器的陣增益及均方誤差的影響。由圖3中的結(jié)果可知，隨著陣元失效數(shù)量的增加，三種場景下所有自適應波束形成器的陣增益都有不同程度的下降，而DAS波束形成器的陣增益基本保持不變。這是由于DAS波束形成器的濾波器系數(shù)不依賴于數(shù)據(jù)，因此陣元失效不會對其產(chǎn)生嚴重影響。在所有測試場景中，失效場景2對陣增益的影響最大，陣增益產(chǎn)生了大幅度下降，而失效場景1和3對陣增益的影響相對較小，陣增益存在微弱下降。在所有的自適應波束形成器中，KP-MVDR波束形成器表現(xiàn)出較強的魯棒性，在三種失效場景下都保持著較高的陣增益，其對應的均方誤差也相對較小，優(yōu)于其他兩種波束形成器。

圖3 受損傳聲器數(shù)量不同情況下不同波束形成方法的陣增益及均方誤差結(jié)果Fig.3 Array gains and MSEs of different beamforming methods for different numbers of damaged microphones

3.3.2 仿真實驗2

本節(jié)將研究不同陣元失效情景中輸入信干噪比對四種波束形成器陣增益及均方誤差的影響。仿真中固定陣元失效個數(shù)為2，其他參數(shù)同仿真實驗1。圖4給出了不同輸入信干噪比情況下各波束形成器的陣增益以及均方誤差的對比結(jié)果。由圖4可知，隨著輸入信干噪比增加，失效場景1和失效場景3中不同算法的陣增益變化不明顯。而在失效場景2中陣增益表現(xiàn)出不同的變化趨勢，其中在絕大多數(shù)情況下，KP-MVDR以及KP-MV-DAS算法的陣增益隨著輸入信干噪比增加而增加，而MVDR算法的陣增益隨著輸入信干噪比增加反而降低。

圖4 不同輸入信干噪比下不同波束形成方法的陣增益及均方誤差結(jié)果Fig.4 Array gains and MSEs of different beamforming methods for different input SINR

由上述兩個仿真結(jié)果可知，失效場景1和3對自適應波束形成器影響較小，失效場景2即信號幅度為0對自適應波束形成器的性能影響較為嚴重。

3.3.3 仿真實驗3

本節(jié)研究失效場景3中白噪聲能量大小對自適應波束形成器的性能影響，參數(shù)設置同仿真實驗1。圖5給出了陣增益和均方誤差隨白噪聲能量的變化情況。由結(jié)果可知，白噪聲能量嚴重影響波束形成器的性能。當白噪聲能量較小時，失效場景3接近失效場景2，陣增益出現(xiàn)明顯下降，均方誤差相應增大。但陣增益并非隨著白噪聲能量增大而不斷增大，當白噪聲能量過大時，陣增益會相應下降，即0 dB時的陣增益小于-10 dB時的陣增益。

圖5 在失效場景3和白噪聲能量不同情況下不同波束形成方法的陣增益及均方誤差隨白噪聲能量的變化Fig.5 Array gains and MSEs of different beamforming methods for different white noise energies in the third microphone failure scene

由上述三個仿真實驗可知，失效場景1和失效場景3對波束形成器性能的影響較小，失效場景2對波束形成器性能影響的較嚴重。失效場景3中白噪聲能量的大小嚴重影響波束形成器的性能，但在真實場景下，陣元失效時白噪聲能量通常較小，因此失效場景1對波束形成器的性能影響最小。

基于上述分析，本文針對失效場景2和3提出了一種可行的陣元受損補救方法，使用相鄰通道的數(shù)據(jù)替換受損通道數(shù)據(jù)，再進行KP-MVDR和KPMV-DAS波束形成。在3.4節(jié)中，我們用實驗數(shù)據(jù)進一步驗證上述方法的可行性。

3.4 實際場景實驗

本節(jié)以傳聲器陣列實錄的道路實測噪聲和鳴笛信號作為傳聲器采集信號，對比真實場景中三種陣元失效場景下各波束形成器的性能。

實驗所用陣列為32元均勻矩形面陣，其中M1=8，M2=4，傳聲器間隔δ為4.3 cm。實驗所用鳴笛信號為陣列實錄鳴笛信號，陣列布放在腳手架上，陣列中心距離地面高度約為8.15 m，鳴笛聲源放置在陣列正前方30 m處，高度約為0.5 m，此時期望信號方向約為Ω0=[105°，0°]T。噪聲信號為同一陣列錄制的真實道路噪聲信號。這里使用約10 s的純噪聲段估計噪聲協(xié)方差矩陣。使用實錄噪聲信號和實錄鳴笛聲信號的復合信號模擬真實行車道路時傳聲器陣列采集到的鳴笛信號。圖6給出了實錄較純凈鳴笛信號及帶噪鳴笛信號的語譜圖。

圖6 純凈鳴笛信號與帶噪鳴笛信號語譜圖Fig.6 Spectrograms of clean and noisy horn signals.

失效場景3中的白噪聲能量在實驗中設置為-30 dB，其余參數(shù)設置同仿真1。四種波束形成器的陣增益和均方誤差變化情況如表2所示。

由表2可得到與仿真1相似的結(jié)果，即失效場景1對自適應波束形成器的性能影響相對較小，失效場景2及白噪聲能量較小時的失效場景3對自適應波束形成器的性能影響最嚴重。在所有自適應波束形成器中，KP-MVDR性能最優(yōu)，魯棒性也較強，在所有場景下都有最高的陣增益。表2中均方誤差的性能表現(xiàn)出與陣增益相似的變化趨勢，即失效場景1對應的均方誤差最小。根據(jù)3.1節(jié)中的理論分析可知，失效場景1對應的估計協(xié)方差矩陣在F范數(shù)度量下最接近真實協(xié)方差矩陣，因此失效場景1較其余兩種失效場景具有更高的陣增益及更低的均方誤差。仿真和實驗結(jié)果進一步驗證了3.1節(jié)中的理論推導。因此，在實際應用中，當陣列檢測到出現(xiàn)失效場景2和3時，對失效陣元使用其相鄰通道的數(shù)據(jù)代替，將失效場景2和3轉(zhuǎn)換為失效場景1，可以起到提升自適應波束形成器性能的效果。

表2 三個實驗場景下不同波束形成方法的陣增益與均方誤差的變化Table 2 Changes of array gain and MSE of different beamforming methods in three experimental scenarios

4 結(jié)論

當傳聲器陣列陣元較多時，往往會出現(xiàn)陣元失效的情景，此時自適應波束形成器的干擾噪聲抑制性能可能會有所降低。本文討論并分析了三種常見陣元失效對最小方差無失真響應波束形成器及基于克羅內(nèi)克積的自適應波束器的性能影響。仿真與實驗結(jié)果表明，信號完全缺失的通道對自適應波束形成器的影響最大，信號重復的通道對自適應波束形成器的影響最小?；诖私Y(jié)果，本文提出了一種方便可行的信號恢復方法，即使用相鄰通道代替信號缺失通道，進而提升陣元失效場景下自適應波束形成器的性能。不同于已有的協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法，本文提出的方法可以在不引入額外計算量的前提下，大幅度提高陣元失效場景下自適應波束形成器的性能。這對于真實應用場景下的中、大型傳聲器陣列的陣元失效問題具有重要意義。