小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題的三種表征及其解題策略

李娜玲

（廈門市海滄區(qū)延奎實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 廈門 361026）

“表征”即人對(duì)某一特定事物或人的特定印象。思維訓(xùn)練題的表征，即解題者基于對(duì)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題的理解，對(duì)題中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行歸納，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)要求解的問(wèn)題產(chǎn)生的印象。思維訓(xùn)練題包含“題問(wèn)”和“題干”?，F(xiàn)有教材中的思維訓(xùn)練題，對(duì)“題干”與“題問(wèn)”的表征都是經(jīng)過(guò)精雕細(xì)琢的：從文字描述上看，思維訓(xùn)練題的意思在學(xué)生理解范圍內(nèi)，不會(huì)超出學(xué)生的正常認(rèn)知；從情境設(shè)定上看，思維訓(xùn)練題和學(xué)生的生活貼近，不會(huì)花費(fèi)學(xué)生太多時(shí)間思考情境意思。因此，思維訓(xùn)練題的表征是命題的精髓，也是解題的橋梁。

參照不同標(biāo)準(zhǔn)，思維訓(xùn)練題的類型也不同。將思維訓(xùn)練題按照難度水平進(jìn)行區(qū)分，有初始和深層表征之分；假使是按照呈現(xiàn)方式來(lái)區(qū)分，則有外顯和內(nèi)隱表征之分。［1］本文以數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題的“外顯表征”為例。外顯表征指的是將題干與題問(wèn)以文字、圖表、符號(hào)、模型等形式完整地體現(xiàn)與表達(dá)出來(lái)。依據(jù)教材編排特點(diǎn)，可將數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題的“外顯表征”分為“文字表征、圖表表征、符號(hào)表征”。以下作具體探析。

一、文字表征型：多項(xiàng)對(duì)比表征，變直線為橫向

文字表征通常是針對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)文字結(jié)構(gòu)。［2］多項(xiàng)對(duì)比表征是訓(xùn)練學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維與排除干擾技能的常用策略。教師可以抓住現(xiàn)有教材例題或習(xí)題的題干與題問(wèn)的動(dòng)態(tài)點(diǎn)，改變題的文字表征形式（條件開放或問(wèn)題開放），使題向“寬度、深度、高度”發(fā)展，以提升數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題的表征含量與質(zhì)量，充分展示“一題多鑒”的思辨過(guò)程。

（一）題干表征

為了凸顯教材“題條件”的隱藏性特點(diǎn)，建構(gòu)學(xué)生解題思維網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)模塊對(duì)比解題能力，可以改變初始單項(xiàng)（直線）題干表征方式為多項(xiàng)橫向表征方式，即逐一選擇題干模塊，形成條件開放的思維訓(xùn)練題。

例如，人教版教材改編題：

已知修建的沼氣池為圓柱形，沼氣池有4m 深，底部直徑為5m。在_____________抹上水泥，計(jì)算該部位需要刷的水泥面積大小。

按照你的理解，從下述選項(xiàng)中選擇答案填入空白處，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考計(jì)算。

選項(xiàng)：A.池的四壁與下底面；B.池的四壁與上、下底面；C.池的四壁。

這樣抓住題干的動(dòng)態(tài)點(diǎn)進(jìn)行“多項(xiàng)對(duì)比”表征，使題由單項(xiàng)向多項(xiàng)發(fā)展，即橫向發(fā)展。既增強(qiáng)題的容量，又增強(qiáng)題的寬度與厚度，從而建構(gòu)表征空間，使思維訓(xùn)練題更富有挑戰(zhàn)性。

（二）題問(wèn)表征

為了凸顯教材“題答案”的開放性特點(diǎn)，幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化思維網(wǎng)絡(luò)，挖掘遞進(jìn)對(duì)比解題潛能，同樣可以改變初始單項(xiàng)（直線）題問(wèn)表征方式為多項(xiàng)橫向表征方式，即逐一訓(xùn)練題問(wèn)模塊，形成問(wèn)題開放的思維訓(xùn)練題。

例如，創(chuàng)編題：

如圖1 所示，已知蔬菜大棚的橫截面為半圓形，直徑是3 米，且蔬菜大棚的長(zhǎng)度為25 米。

題問(wèn)：（1）要將圖1 中的蔬菜大棚全部覆蓋上塑料薄膜，需要耗費(fèi)多少面積的塑料薄膜？

圖1

（2）蔬菜大棚的內(nèi)部空間有多少立方米？

（3）王叔叔想要在這個(gè)蔬菜大棚里面種植菠菜，已知這種蔬菜大棚每平方米可產(chǎn)5 千克菠菜，這種菠菜每千克售價(jià)3.6 元，問(wèn)這個(gè)大棚的菠菜可賣出多少錢？

這樣抓住題問(wèn)的拓展點(diǎn)進(jìn)行“多元”表征，既從容積、表面積答項(xiàng)進(jìn)行表征，又從長(zhǎng)方形面積、產(chǎn)量與價(jià)錢答項(xiàng)進(jìn)行表征。除了擴(kuò)充題的容量外，還提升解題思維的高度與深度，從而拓寬題的表征結(jié)構(gòu)，使思維訓(xùn)練題更富有綜合性。

二、圖表表征型：多向推理表征，變抽象為直觀

圖表表征通常是把題的已知狀態(tài)（說(shuō)明已知條件或情境）與目標(biāo)狀態(tài)（說(shuō)明欲達(dá)成的目的）運(yùn)用圖形或表格形式，精煉簡(jiǎn)潔直觀地描述出數(shù)學(xué)圖表結(jié)構(gòu)的過(guò)程。推理表征是訓(xùn)練學(xué)生合情推理（題干→題問(wèn)）和演繹推理（題問(wèn)→題干）能力的重要方法。為了訓(xùn)練學(xué)生多向打通已知狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間障礙的技能，可以改變現(xiàn)有教材例題或習(xí)題的單軌道文字表征為多軌道雙向圖表表征方式。這樣既凸顯題干與題問(wèn)信息的形象直觀化，又能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、邏輯推理思維，充分展示“一題多創(chuàng)”的價(jià)值觀。

（一）圖式表征

為了體現(xiàn)教材“題干”的隱藏性特點(diǎn)（題干隱含在圖式中），建構(gòu)學(xué)生識(shí)圖、解圖思維網(wǎng)絡(luò)，培育想象推理能力，可以將教材題改編成題干與題問(wèn)都隱含在圖畫（線段）中或題干與題問(wèn)圖文并茂的思維訓(xùn)練推理題。

例如，人教版教材原題：

改編題：

評(píng)析：原題的題干與題問(wèn)隱含在圖畫中。題干的比較量為：交警攔截下來(lái)的貨車自重為2.8 噸，載貨量為6 噸；題干的標(biāo)準(zhǔn)量為：滿載時(shí)共重8.7 噸；題問(wèn)為：它是否超載了。這種圖式表征示意性強(qiáng)，便于學(xué)生獲取與理解數(shù)學(xué)信息，并從中找到雙向解題思維策略。而改編題的題干與題問(wèn)隱含在線段中。此題可獲取的題干信息為：六年1 班科技發(fā)明獲獎(jiǎng)32 件，六年2 班科技發(fā)明獲獎(jiǎng)比六年1 班多1/4；題問(wèn)信息為：六年級(jí)兩個(gè)班科技發(fā)明獲獎(jiǎng)共幾件？這種圖式表征示意性也較強(qiáng)，除了容易找到外顯信息外，還便于獲取內(nèi)隱信息，即兩個(gè)班科技發(fā)明獲獎(jiǎng)件數(shù)相當(dāng)于六年1 班的1+1+1/4，從而打破題干至題問(wèn)間的障礙通道，并求出答案32+32+32×1/4=72（件）。這樣用圖式（圖畫、線段）方式表征題的結(jié)構(gòu)，凸顯多向推理思想的綜合運(yùn)用，使思維訓(xùn)練題更富有推理性。

（二）格式表征

為了體現(xiàn)教材的“規(guī)律”探究性特點(diǎn)，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化思維網(wǎng)絡(luò)，提升類比推理能力，可以將教材題改編成題干與題問(wèn)都隱含在表格直觀情境中的多向思維訓(xùn)練推理題。

例如，人教版教材原題：

此題的題干與題問(wèn)隱含在表格中。表格橫向可以看出：各種水果原有的重量與賣出的重量（題干），求各種水果剩下的重量（題問(wèn)）?？v向可以看出：表中隱含4 道文字表征題：如已知水果部已賣掉145 千克蘋果，原有的蘋果重量為250 千克，則剩余的蘋果重量是多少？水果部有香蕉105 千克，賣出88 千克后，還剩多少千克香蕉？……這種格式表征題的容量大，規(guī)律性強(qiáng)，便于學(xué)生獲取表格中直觀的數(shù)學(xué)信息（整體與部分），并從中找到解題的規(guī)律，即已知整體與部分，求部分，用減法，如250-145=105 千克；已知部分與部分，求整體，用加法，如212+98=310 千克。把同類題組進(jìn)行格式化表征，既能直觀溝通題干與題問(wèn)間的關(guān)系，又能層層揭開題干與題問(wèn)間的隱含信息。除了擴(kuò)充題的容量外，還提升推理思維的廣度與深度，從而體驗(yàn)格式表征題結(jié)構(gòu)的價(jià)值，使思維訓(xùn)練題更富有對(duì)比性。

三、符號(hào)表征型：多層敘述表征，變結(jié)論為過(guò)程

題的符號(hào)表征具有顯著特點(diǎn)，且包含一些特殊規(guī)律，是理解與把握解題規(guī)律的重要方法?？赏ㄟ^(guò)多層語(yǔ)言敘述表征，將符號(hào)表征的結(jié)論轉(zhuǎn)化為解題過(guò)程。

（一）內(nèi)隱符號(hào)表征

內(nèi)隱符號(hào)表征即按要求將語(yǔ)言敘述的數(shù)學(xué)題以數(shù)學(xué)符號(hào)等形式表達(dá)出來(lái)，將文字精簡(jiǎn)成數(shù)學(xué)信息。內(nèi)隱符號(hào)表征是四則運(yùn)算抽象概括的思維導(dǎo)行圖，也是題干與題問(wèn)內(nèi)隱信息的語(yǔ)言表達(dá)形式。為了凸顯簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確的符號(hào)語(yǔ)言功能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)能力的提升，可以將教材題改編成題干與題問(wèn)都隱含在抽象符號(hào)情境中的思考與表達(dá)題。

例如，人教版教材原題：

改編題：

評(píng)析：原題的左圖題干信息為：小丑右手拿著3 個(gè)氣球，左手拿著1 個(gè)氣球；題問(wèn)信息為：小丑手中共有幾個(gè)氣球？右圖題干信息為：左邊有1 把扇子，右邊有3 把扇子；題問(wèn)信息為：共有幾把扇子？左圖的內(nèi)隱信息為：將左集合圈與右集合圈合并成一個(gè)集合圈；右圖的內(nèi)隱信息為：將左右兩邊的扇子合并在一起。該題的深層表征為：借助“合起來(lái)”的生活情境，采用大括號(hào)把兩部分合并一起的活動(dòng)情境，凸顯加法的含義，即部分加部分等于整體。改編題的左圖題干信息為：小丑手中共有4 個(gè)氣球，放飛1 個(gè)氣球；題問(wèn)信息為：小丑手中還有幾個(gè)氣球？右圖的題干信息為：商店有4 朵向日葵，賣掉1 朵或送走1 朵；題問(wèn)信息為：還剩幾朵向日葵？該題的深層表征為：用畫虛線圈、畫斜線的方式，表示把部分物體“移走”或“拿掉”，凸顯從整體中去掉一部分，求剩余部分的減法含義。這樣的內(nèi)隱符號(hào)表征，可以增強(qiáng)閱讀與理解的思維含量。同時(shí)，幫助學(xué)生積累解題的經(jīng)驗(yàn)，并從中感悟數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)悟內(nèi)隱符號(hào)表征題的含義，使思維訓(xùn)練題更富有啟迪性。

（二）外顯符號(hào)表征

外顯符號(hào)表征指將一些抽象的數(shù)學(xué)概念或問(wèn)題帶入具體情境中，利用客觀事實(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)呈現(xiàn)。為了凸顯外顯符號(hào)表征的特征，可以把特殊標(biāo)志符號(hào)語(yǔ)言隱含在挑戰(zhàn)、趣味情境中，形成富有規(guī)律性的表征題。在解釋數(shù)學(xué)信息時(shí)，抓住題的外顯符號(hào)表征的特殊結(jié)構(gòu)與語(yǔ)言特征，用自己喜歡的方式圈圈畫畫，從而深化理解題意。

以人教版教材習(xí)題為例：

（1）已知鉛錘為圓錐形，鉛錘的底部周長(zhǎng)為12.56cm，高為5cm。該鉛錘的主要材料是鋼，而每立方厘米鋼的重量是7.8 克。問(wèn)鉛錘的重量是多少？（結(jié)果取整數(shù)）

（2）某班級(jí)教室墻面要重新粉刷，該教室的長(zhǎng)寬高分別為8m、6m 和3m，且教室門窗為11.4 平方米。已知粉刷一平方米需4 元人民幣，則完成整間教室的粉刷需要多少費(fèi)用？

例（1）的題干與題問(wèn)的外顯符號(hào)表征特點(diǎn)為：題干與題問(wèn)間的單位重量為每立方厘米（怎樣）……，從題中可知，單位重量為“每立方厘米鋼大約重7.8 克”；例（2）的題干與題問(wèn)的外顯符號(hào)表征特點(diǎn)為：題干與題問(wèn)間的單位重量為每平方米（怎樣）……，本題的單位重量為“每平方米需要花4 元的涂料費(fèi)”。題的外顯符號(hào)表征是判斷解題策略的依據(jù)與關(guān)鍵，如單位重量是“每平方（怎樣）……”屬于求面積算重量，而單位重量是“每立方（怎樣）……”屬于求體積算重量。同理，解決立體幾何思維訓(xùn)練題，若題問(wèn)的外顯符號(hào)表征單位是“立方……”，則可推斷本題是求體積或容積；若題問(wèn)的外顯符號(hào)表征單位是“平方……”，則可推斷本題是求面積。