數(shù)形相依 化繁為簡
——例談“數(shù)形結(jié)合思想”在二年級(jí)問題解決中的應(yīng)用

余敏霞

浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 310023

馬克思曾經(jīng)說過：數(shù)學(xué)是空間形式與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合的一門學(xué)科，它是以自然科學(xué)為基礎(chǔ)的，解釋自然和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)。可見數(shù)學(xué)就是對(duì)于“數(shù)”和“形”的研究。數(shù)形結(jié)合思想是將直觀的空間形式和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)量關(guān)系相結(jié)合來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，利用“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行互補(bǔ)，使抽象的問題變得更加具體，復(fù)雜的問題變得更加簡單［1］。因此，在小學(xué)階段進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題顯得非常必要。筆者結(jié)合二年級(jí)數(shù)學(xué)，探索“數(shù)形結(jié)合思想”在問題解決中的實(shí)際應(yīng)用。

一、由形及數(shù)

1.依托形，計(jì)算數(shù)

初學(xué)計(jì)算過程中，學(xué)生對(duì)于計(jì)算還不是很熟悉，教師往往需要利用小棒幫助學(xué)生進(jìn)行計(jì)算。從20 以內(nèi)的加減法、100 以內(nèi)的加減法、乘法、除法到有余數(shù)的除法的過程中，學(xué)生初次進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要借助小棒。而在有余數(shù)的除法計(jì)算中，學(xué)生則需要利用小棒擺出圖形幫助解決。

案例1“有余數(shù)的除法”教學(xué)片段

片段一

師（課件動(dòng)態(tài)演示分草莓的過程，如圖1）：你們看到了什么？

圖1

生：7 個(gè)草莓?dāng)[成了3 盤，每盤2個(gè)，還多了1 個(gè)。

師：你們能用一個(gè)算式表示出來嗎？生：7÷2=3（盤）……1（個(gè)）。

師：3 表示什么意思？1 表示什么意思？

片段二

師：用8、9、10、11、12 根小棒擺正方形，你能用算式表示出來嗎？

生：8÷4=2（個(gè)）；

9÷4=2（個(gè)）……1（根）；

10÷4=2（個(gè)）……2（根）；

11÷4=2（個(gè)）……3（根）；

12÷4=3（個(gè)）。

師：為什么不能多余4 根小棒呢？有沒有同學(xué)上來動(dòng)手做一做？

師（總結(jié)）：通過小棒操作，學(xué)生理解4 根小棒可以拼成一個(gè)正方形。

面對(duì)一個(gè)新的問題，學(xué)生僅僅通過理解題意來解決是有困難的。因此教師需要借助小棒解決問題，而在第二個(gè)問題中，僅靠小棒還不夠，還要將小棒拼成正方形（如圖2），利用圖形解決問題。教師在解決問題的過程中，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，幫助解決問題。

圖2

2.依托形，解決數(shù)的問題

學(xué)生在解決問題過程中，由于有時(shí)不能對(duì)圖形信息進(jìn)行加工、分析，解決問題的策略不能得以優(yōu)化，故在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖片信息加以整理、分析。

案例2“有余數(shù)的除法解決問題”教學(xué)片段

師：按照下面的規(guī)律擺小旗（如圖3）。這樣擺下去，第16 面小旗應(yīng)該是什么顏色？

圖3

生：我是用算一算的方法來完成的，用16 除以3 等于5 組余1 面。我是這樣想的，這道題是算16 面小旗里有幾個(gè)3，所以用除法來解決。每3 面小旗一組，所以要用16 除以3，商是5，余數(shù)是1，表示是下一組里面的第一面，就是黃色的小旗。

師：16 表示什么？3 表示什么？5 表示什么？1 表示什么？

生：16 表示總共有16 面小旗，3 表示每組里面有3 面小旗，5 表示有這樣的5 組小旗，1 表示下一組里面的第一面小旗。

師：第27 面小旗應(yīng)該是什么顏色？

有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)27÷3＝9 沒有余數(shù)，該怎樣判斷呢？

小結(jié)：余數(shù)是幾，答案就是這一組中的第幾個(gè)。沒有余數(shù)說明正好分完，就是每組最后一個(gè)。

解決問題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到圖片信息，學(xué)生可能會(huì)感覺比較棘手，這個(gè)時(shí)候教師要引導(dǎo)學(xué)生善于轉(zhuǎn)化，將圖片信息轉(zhuǎn)化成文字信息。根據(jù)學(xué)生的情況，將具體的圖形轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)字，符合學(xué)生思維發(fā)展的順序，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

二、轉(zhuǎn)數(shù)為形

1.依托數(shù)，解決圖形問題

解決實(shí)際問題過程中，往往信息比較多，需要學(xué)生進(jìn)行加工整理。而二年級(jí)的學(xué)生對(duì)于信息的整理能力還比較弱，因此需要借助圖形進(jìn)行展示，將題意用線段圖的方式表示。因此教師要對(duì)線段圖進(jìn)行滲透，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)畫線段圖并理解線段圖的含義。

案例3“解決問題”教學(xué)片段

甲：“我們一共要烤90 個(gè)面包，已經(jīng)烤了36 個(gè)?！?/p>

乙：“每次能烤9 個(gè)?！?/p>

提問：剩下的要烤幾次？

師：仔細(xì)讀題，你知道了什么？誰能完整地說說這道題的意思？你打算用什么方式解決？

生：可以畫圖（如圖4）。

圖4

師：你看得懂這個(gè)圖嗎？藍(lán)色部分表示什么？粉色部分表示什么？

師：你能列式計(jì)算嗎？

在混合運(yùn)算解決問題中，信息較多，學(xué)生不會(huì)進(jìn)行整理，可以引導(dǎo)學(xué)生將獲得的信息進(jìn)行整理分析，轉(zhuǎn)化成圖形，有利于學(xué)生解決問題。用線段圖幫助學(xué)生厘清解題思路，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維之間的聯(lián)系，讓學(xué)生迅速分析問題和解決問題。

2.依托數(shù)，解決實(shí)際問題

面對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)，數(shù)據(jù)信息較難分析。比如，在有余數(shù)的除法解決問題中，對(duì)于余數(shù)的取舍難以把握，這個(gè)時(shí)候通過畫圖的方式可以清晰明了地表示出題意，幫助判斷余數(shù)的取舍。

案例4“有余數(shù)的除法解決問題”教學(xué)片段

（1）溝通方法，數(shù)形結(jié)合

例題：22 個(gè)學(xué)生去劃船，每條船最多坐4 人。他們至少要租多少條船？

在反饋學(xué)生的方法（如圖5）時(shí)，筆者把教學(xué)分為兩個(gè)層次：第一，一個(gè)一個(gè)地理解方法表示的含義；第二，聯(lián)系三種方法，將算式中的各個(gè)數(shù)字畫一畫、寫一寫、找一找，幫助學(xué)生理解三種方法的本質(zhì)是一樣的，表示的意義也是一樣的。在教學(xué)中溝通三種方法間的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

圖5

（2）練習(xí)鞏固，扎實(shí)基礎(chǔ)

二年級(jí)的學(xué)生較容易受圖畫影響，所以筆者對(duì)選一選中的練習(xí)增加了圖片，如圖6、圖7，不僅吸引了學(xué)生的注意力，同時(shí)也能幫助學(xué)生理解對(duì)余數(shù)的取舍。通過圖片，學(xué)生更能理解為什么多余的數(shù)量要舍去或者進(jìn)一，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的知識(shí)，加深對(duì)新知的理解。在課外練習(xí)中，筆者滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生加以鞏固。

圖6

圖7

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合。因此課堂中，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題更方便，也更有實(shí)效。

總之，教師遵循一定的教育、教學(xué)規(guī)律，及時(shí)根據(jù)學(xué)生的情況，調(diào)整自己的教學(xué)預(yù)設(shè)。當(dāng)學(xué)生學(xué)有余力時(shí)，適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，豐富方法的多樣性，發(fā)展學(xué)生的思維［2］。學(xué)生在解決問題時(shí)，具象思維轉(zhuǎn)成抽象思維容易，而抽象思維轉(zhuǎn)成具象思維有難度，故而需要教師加以引導(dǎo)、幫助。因此教師在日常教學(xué)中，無論是圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)，還是根據(jù)數(shù)或式轉(zhuǎn)化成圖形，都需要加以重視。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)長遠(yuǎn)的過程，教師需要潛移默化地影響學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。