一類具有全局中心的Hamilton系統(tǒng)在分片多項式擾動下極限環(huán)個數(shù)的估計

賈秀平，李寶毅，張永康，隋世友

（1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387；2.天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300134）

1 引言與主要結(jié)果

在平面微分方程定性理論中，Hamilton系統(tǒng)在小擾動下極限環(huán)個數(shù)的估計是一個熱點問題，其與弱化Hilbert第16問題[1-2]密切相關(guān).對于特殊形式的Hamilton函數(shù)H（x，y）=y2/2+Pk（x），Pk（x）為x的k次多項式，當k=3、4時，稱H（x，y）為橢圓函數(shù)，當k≥5時，稱H（x，y）為超橢圓函數(shù).

當k=3時，若對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)具有周期閉軌族，則Hamilton函數(shù)可以標準化為H（x，y）=y2/2+x3-x.對于該系統(tǒng)，文獻[3]討論了其在多項式擾動下Abel積分的孤立零點個數(shù)，文獻[4]將平面分為左右2個區(qū)域，文獻[5]將平面分為上下2個區(qū)域，分別得到該系統(tǒng)在分片n次多項式擾動下的極限環(huán)個數(shù)不超過16n+[n/2]-10（計重數(shù)）和7n+[（n-1）/2]（計重數(shù)）.

當k=4時，若對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)具有周期閉軌族，則系統(tǒng)有5種拓撲結(jié)構(gòu)：①包含2個鞍點異宿環(huán)圍成的周期環(huán)域；②同宿環(huán)圍成周期環(huán)域；③尖點環(huán)內(nèi)外均為周期環(huán)域；④“8字形”雙同宿環(huán)內(nèi)外具有3個周期環(huán)域；⑤具有全局中心.文獻[6]綜合考慮了這5種情況，證明了系統(tǒng)在n次多項式擾動下Abel積分的孤立零點個數(shù)不超過7n+5.文獻[7]對這5種情況的研究結(jié)果進行了綜述.對于情況④，文獻[8]討論了H（x，y）=y2+x4-x2的系統(tǒng)在多項式擾動下Abel積分的孤立零點個數(shù)；文獻[9]研究了H（x，y）=y2+x4-x2-λx的系統(tǒng)在n次多項式擾動下Abel積分的孤立零點個數(shù)；當平面分為左右2個區(qū)域時，文獻[10]得到了H（x，y）=y2/2-x2/2+x4/2的系統(tǒng)在分片n次多項式擾動下Abel積分的零點個數(shù)不超過2n+7[n/2]+1（計重數(shù)）.對于情況⑤，文獻[11]討論了H（x，y）=y2+x4+x2的系統(tǒng)在多項式擾動下Abel積分的孤立零點個數(shù)；文獻[12]證明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/2的系統(tǒng)在一類特殊的3次多項式擾動下至多有2個極限環(huán)；文獻[13]證明了當Abel積分不恒為零時，H（x，y）=y2/2+x2/2+x4/2的系統(tǒng)在一般的3次多項式擾動下極限環(huán)個數(shù)的上確界為2.

當k≥5時，系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的研究難度陡然增加，文獻[14]證明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/4+cx6/6的系統(tǒng)在n次多項式擾動下極限環(huán)個數(shù)不超過54n-13（計重數(shù)）.

本文以x軸為切換直線將平面分為上下2個區(qū)域，考慮系統(tǒng)

其中：0＜ε?1，n∈N+；

當ε=0時，系統(tǒng)（1）0的Hamilton函數(shù)為

當h∈（0，+∞）時，系統(tǒng)（1）0存在順時針走向的周期閉軌族Γh＝Γh＋∪Γh-，其中

設(shè)Γh與x軸正、負半軸分別交于點A+（ah，0）、A-（-ah，0），其中

定理當h∈（0，+∞），且系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)不恒為零時，系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個數(shù)不超過6n-2[1+（-1）n]（計重數(shù)）.

2 一階Melnikov函數(shù)的推導(dǎo)

根據(jù)Γh的對稱性可得

引理1當h∈（0，+∞），i、j∈N+時，有

證明對式（2）關(guān)于x求導(dǎo)得

式（7）乘以x2i+1yjdx，并沿Γh＋積分得

因為

將式（9）代入式（8）整理得

即

式（5）得證.

式（2）乘以x2iyjdx，并沿Γh＋積分得

將式（5）代入上式化簡得

式（6）得證.引理得證.

引理2當h∈（0，+∞）時，有

其中：fl（h）、（h）、gl（h）、（h）分別為關(guān)于h的次數(shù)不超過l的多項式.

證明當m=1、2時，由引理1可知式（10）顯然成立.

假設(shè)當m≤2k時式（10）成立，則當m=2k+1時，由式（5）可得

其中：

從而有

因此，當m=2k+1時，式（10）成立.當m=2k+2時，由式（5）可得

其中：

從而有

因此，當m=2k+2時，式（10）成立.綜上式（10）得證.

利用與式（10）類似的證明過程可證得式（11）成立.引理得證.

命題當h∈（0，+∞）時，系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

其中：多項式ui，n（h），i=1、2、3、4滿足

證明由式（3）、式（4）和式（9）可得

在式（6）中?。╥，j）=（0，0）得

采用數(shù)學(xué)歸納法證明式（13）.當n=2時，M1（h）=q*00I+00，式（13）成立.當n=1時，M1（h）=q*00I+00+q*01I+01，式（13）成立.由式（14）可知，當n=2時，

式（13）成立.假設(shè)當n=2k時式（13）成立，則當n=2k+1時，結(jié)合引理2可知，式（13）右端新增加的項為hkI+01和hk-1I+21，式（13）左端新增加的項為

因此，當n=2k+1時，有

其中系數(shù)多項式滿足

即當n=2k+1時式（13）成立.

當n=2k+2時，結(jié)合引理2可知，式（13）右端新增加的項為hk+1I+00和hkI+20，式（13）左端新增加的項為

其中系數(shù)多項式滿足

因此，當n=2k+2時，有

其中系數(shù)多項式滿足

即當n=2k+2時式（13）成立.綜上，命題得證.為方便，記Δ（h）=h（4h+1）.

引理3I+00、I+20滿足Picard-Fuchs方程組

證明由式（2）得，所以又因為

則有

所以式（15）成立.對式（15）關(guān)于h求導(dǎo)，并將式（15）代入，整理可得式（16）.引理得證.

引理4I+01、I+21滿足Picard-Fuchs方程組

證明利用結(jié)合文獻[13]的引理1可知式（18）成立.對式（18）關(guān)于h求導(dǎo)，并將式（18）代入，整理可得式（19）.引理得證.

3 一階Melnikov函數(shù)零點個數(shù)的估計

引理5[4]設(shè)K為一個開區(qū)間，h∈K，P2（h）、P1（h）、P0（h）和R（h）均為K上的充分光滑的連續(xù)函數(shù)，P2（h）的零點是孤立的，且

存在一個非平凡解Φ1（h），則

的任一解在K上的零點個數(shù)（計重數(shù)）不超過p+2w+r+2，其中p、w、r分別為P2（h）、Φ1（h）、R（h）在K上的零點個數(shù)（計重數(shù)）.

為方便，f（h）在h∈（0，+∞）上的孤立零點個數(shù)（計重數(shù)）記為#f（h）.

定理的證明在式（12）中令

對Ψ1（h）關(guān)于h求導(dǎo)，由引理4可得

其中：

從而

設(shè)P2（h）為k次多項式，P1（h）為k+1次多項式，P0（h）為k+2次多項式，則式（20）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過β+k+2的多項式，共有β+k+3項，若令各項系數(shù)為0，則得到β+k+3個線性方程.式（21）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過β+k+1的多項式，共有β+k+2項，若令各項系數(shù)為0，則得到β+k+2個線性方程.因此可得到一個含有2β+2k+5個方程的線性方程組.又由于P2（h）、P1（h）和P0（h）中分別有k+1個、k+2個和k+3個待定系數(shù)，則線性方程組共有3k+6個待定系數(shù).因此，當3k+6>2β+2k+5，即k>2β-1時，線性方程組存在非零解.取k=2β，則存在系數(shù)不全為0的實系數(shù)2β次多項式P2（h）、2β+1次多項式P1（h）和2β+2次多項式P0（h），使得L（Ψ1（h））≡0.

對Ψ0（h）關(guān)于h求導(dǎo)，由引理3可得

其中：

從而

其中：

從而

因此

由P2（h）的次數(shù)可得p=#P2（h）Δ2（h）=#P2（h）≤2β，又由文獻[15]可知w=#Ψ1（h）≤2[（n-1）/2]=2β，則由引理5可得

由此可得，在分片n（n∈N+）次多項式擾動下，當M1（h）?0時，系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個數(shù)不超過6n-2[1+（-1）n]（計重數(shù)）.定理得證.