內(nèi)壓作用下含凹痕管道三維應(yīng)變計(jì)算新方法

伍 穎 吳 鵬 張 媛 鄢小兵

1. 西南石油大學(xué)土木工程與測繪學(xué)院 2. 東方電氣集團(tuán)東方鍋爐股份有限公司 3.中國石油西南油氣田公司川中油氣礦

0 引言

油氣管道在搬運(yùn)和回填的過程中經(jīng)常會(huì)發(fā)生管道碰撞或巖石等外物壓砸管道的情況，造成管道凹痕缺陷[1-8]。凹痕是指由于管壁永久塑性變形而使管道橫截面發(fā)生的總的變形，是造成長輸油氣管道失效的一個(gè)常見原因[9-10]。凹痕缺陷會(huì)改變管體局部應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)[11]，并增加管道的失效敏感性，直接影響管道的局部應(yīng)變、剩余強(qiáng)度和疲勞壽命[12]。因此，需要對油氣管道上的凹痕進(jìn)行正確評估，以判斷是否對變形管段進(jìn)行修復(fù)或更換[13-14]。

傳統(tǒng)的基于凹痕深度的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，忽略了凹痕其他的幾何形狀特征，忽視了凹痕區(qū)域的局部應(yīng)變和應(yīng)力分布，會(huì)導(dǎo)致管道的安全狀況被高估或低估[15]。因此，Rosenfeld等[16]提出了基于應(yīng)變的評價(jià)思想，美國機(jī)械工程師協(xié)會(huì)ASME B31.8-2003[17]將該思想納入其中，制訂了從應(yīng)變的角度評估凹痕缺陷的準(zhǔn)則，成為傳統(tǒng)深度準(zhǔn)則的替代方案。為了獲得凹痕區(qū)域應(yīng)變，ASME B31.8-2003[17]中給出了計(jì)算凹痕區(qū)域等效塑性應(yīng)變的非強(qiáng)制表達(dá)式，隨后在ASME B31.8-2007[18]、ASME B31.8-2018[19]中進(jìn)行了部分改進(jìn)。Baker等[20]認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)中沒有指明應(yīng)變計(jì)算的假設(shè)條件和應(yīng)變確定的依據(jù)，計(jì)算等效塑性應(yīng)變的方法需要進(jìn)一步改善。Lukasiewicz等[21]綜合采用數(shù)學(xué)方法和基于殼單元的有限元模型，針對管道特有的圓形薄殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了凹痕應(yīng)變求解，但由于該模型考慮了管材的非線性本構(gòu)關(guān)系，在涉及大變形問題時(shí)計(jì)算十分復(fù)雜。Tindall等[22]利用漏磁檢測數(shù)據(jù)來預(yù)測凹痕的軸向彎曲應(yīng)變[23]，提出了將軸向彎曲應(yīng)變作為衡量凹痕嚴(yán)重程度指標(biāo)的預(yù)測模型，不過該模型只考慮了凹痕處的軸向彎曲應(yīng)變，因此存在一定的局限性。馮慶善等[24]利用慣性測繪數(shù)據(jù)，提出了基于彎曲應(yīng)變的管道凹痕建模計(jì)算方法，但該方法也只考慮了彎曲應(yīng)變與凹痕深度的關(guān)系。Adrian等[25]利用管壁質(zhì)點(diǎn)在發(fā)生變形時(shí)產(chǎn)生的位移進(jìn)行應(yīng)變求解，但作者假設(shè)管道發(fā)生凹痕變形時(shí)只存在徑向位移，這就使得計(jì)算結(jié)果缺乏可信度。Husain[26]使用概率統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)了管道凹痕區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變的數(shù)學(xué)解析式，但該方法公式過于復(fù)雜，不利于工程實(shí)際應(yīng)用。筆者團(tuán)隊(duì)也從凹痕輪廓插值和應(yīng)變計(jì)算方面對凹痕評價(jià)進(jìn)行了研究，通過彎曲應(yīng)變使用關(guān)系表達(dá)式計(jì)算膜應(yīng)變可以得到很好的結(jié)果，但是這只針對特定情況，不具有普遍性[27-28]。上述應(yīng)變計(jì)算方法在一定程度上能夠得到誤差更小的凹痕區(qū)域的應(yīng)變結(jié)果，但是存在假設(shè)條件過多、局限性高、計(jì)算復(fù)雜、不利于工程實(shí)際應(yīng)用的問題。Chike等[29-32]針對無壓管道形成的約束凹痕，通過以位移函數(shù)來定義凹痕輪廓，提出了基于應(yīng)變張量進(jìn)行應(yīng)變求解的方法，但針對有壓管道及非約束凹痕的適用性還有待進(jìn)一步研究。綜上所述，目前國際上仍尚無精確的分析方法用于確定實(shí)際管道凹痕處的應(yīng)變[33]，并且過去的研究都忽略了剪切應(yīng)變的計(jì)算，導(dǎo)致凹痕處總應(yīng)變的確定可能存在偏差。

筆者提出了一種考慮剪切應(yīng)變的計(jì)算內(nèi)壓作用下含約束型和非約束型凹痕管道應(yīng)變的新方法。首先，采用有限元方法對管道上約束凹痕和非約束凹痕的產(chǎn)生過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了管道內(nèi)外壁等效塑性應(yīng)變沿管道軸向、環(huán)向的分布規(guī)律，然后通過對凹痕變形區(qū)域進(jìn)行三維插值生成定義凹痕表面的位移函數(shù)，最終采用以應(yīng)變張量形式分析凹痕區(qū)域應(yīng)變的解析模型，建立了考慮剪切應(yīng)變的管道凹痕區(qū)域應(yīng)變計(jì)算模型。考慮剪切應(yīng)變的計(jì)算模型能夠更為準(zhǔn)確地反應(yīng)管道凹痕區(qū)域的應(yīng)變分布，能為評估凹痕缺陷的嚴(yán)重程度提供一定的參考。

1 有限元數(shù)值模型

1.1 管材參數(shù)

管材選用API 5L X80管線鋼，管材的特性參數(shù)如表1所示[34]。

表1 鋼管的材料性能表

1.2 有限元模型建立

采用ABAQUS軟件建立橢球形壓頭作用于管道的三維實(shí)體模型，橢球形壓頭如圖1所示。筆者重點(diǎn)在于提出一種考慮剪切應(yīng)變的計(jì)算內(nèi)壓作用下含約束型和非約束型凹痕管道應(yīng)變的新解析方法，而不是研究凹痕尺寸對應(yīng)變的影響規(guī)律，因此假設(shè)橢球形壓頭短軸a、c大小相等，長軸為b。壓頭模型采用離散剛體建立，管道采取八節(jié)點(diǎn)線性六面體實(shí)體單元C3D8R建立，采用各向同性硬化模型。以國際上常用的準(zhǔn)靜態(tài)分析方法模擬凹痕的形成，準(zhǔn)靜態(tài)模擬以分步或多步將載荷非常緩慢地加載到管道結(jié)構(gòu)上，相對于動(dòng)態(tài)模擬可以忽略慣性效應(yīng)[35-36]。由于管道模型和荷載的對稱性，建立了1/4對稱模型。通過在網(wǎng)格分布中產(chǎn)生一些偏差來優(yōu)化數(shù)值模擬的計(jì)算時(shí)間，局部網(wǎng)格細(xì)化分配在凹痕區(qū)域，而粗網(wǎng)格應(yīng)用于管道模型的其他區(qū)域。

圖1 橢球形壓頭圖

有限元模型及網(wǎng)格劃分情況如圖2所示。

圖2 有限元模型網(wǎng)格劃分圖

壓頭加載采用位移加載方式。對受壓工況下的含約束凹痕管道進(jìn)行模擬時(shí)，通過合理簡化，主要載荷加載步驟為：①建立接觸；②施加位移荷載；③施加內(nèi)壓。對于非約束凹痕，有限元分析中的加載步驟為：①建立接觸；②施加位移荷載；③卸載位移；④施加內(nèi)壓。非約束凹痕由于壓頭的移除會(huì)導(dǎo)致凹痕區(qū)域的彈性變形恢復(fù)，再施加內(nèi)壓會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致凹痕區(qū)域的塑性變形得到部分恢復(fù)，因此凹痕深度會(huì)減小。其中，內(nèi)壓采用均布?jí)毫d荷的方式均勻施加在管道的內(nèi)表面。約束凹痕及非約束凹痕的有限元加載步驟分別如圖3、4所示。

圖3 約束凹痕加載步驟圖

圖4 非約束凹痕加載步驟圖

1.3 有限元模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建有限元模型的可靠性，對Naghipour等[37-38]中的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，并將模擬結(jié)果與試驗(yàn)值進(jìn)行對比。試驗(yàn)管材為X80鋼，試驗(yàn)管道長度為290 mm，管徑為44 mm，壁厚為2 mm，壓頭為直徑20 mm的半球。筆者建立了與試驗(yàn)管參數(shù)一致的有限元模型，試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果對比如表2所示。從表2可以看出，該數(shù)值模型與試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。將試驗(yàn)邊界條件誤差考慮在一定范圍內(nèi)是合理的，因此可以認(rèn)為所建立的數(shù)值模型是有效的。

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和有限元結(jié)果比較表

1.4 有限元應(yīng)變結(jié)果分析

1.4.1 非約束凹痕

建立橢球形壓頭按壓管道形成非約束凹痕的有限元模型，壓頭短軸（a=c）為120 mm，長軸（b）為400 mm，管道外徑（D）為1 016 mm，壁厚（t）為15.3 mm，管道長度為3 048 mm，設(shè)計(jì)壓力為10 MPa，管道幾何尺寸選自國內(nèi)某在役長輸管道的實(shí)際數(shù)據(jù)。凹痕深度（d）范圍為1%D～12%D（即10.16～121.92 mm）。圖5、6分別顯示了不同凹痕深度下凹痕區(qū)域管道內(nèi)外壁沿管道環(huán)向和軸向的等效塑性應(yīng)變分布情況。

從圖5-a可知，沿管道環(huán)向，最大等效塑性應(yīng)變點(diǎn)始終位于凹痕中心的管道內(nèi)表面，但隨著距凹痕中心距離的增加，應(yīng)變值的變化規(guī)律呈現(xiàn)較為頻繁的波動(dòng)。從圖5-b可知，管道外壁的等效塑性應(yīng)變隨著距凹痕中心距離的增加不斷減小，最大等效塑性應(yīng)變位置同樣位于凹痕中心，但管道外壁的應(yīng)變遠(yuǎn)小于管道內(nèi)壁的應(yīng)變。

圖5 非約束凹痕沿管道環(huán)向的等效塑性應(yīng)變變化圖

從圖6可知，沿管道軸向，不論管道內(nèi)表面還是外表面，凹痕區(qū)域等效塑性應(yīng)變值的變化趨勢相似，但外壁等效塑性應(yīng)變小于管道內(nèi)壁。對比圖5、6，由于非約束凹痕失去壓頭的限制，因此會(huì)在內(nèi)壓作用下發(fā)生塑性回復(fù)，導(dǎo)致凹痕區(qū)域邊緣的應(yīng)變發(fā)生波動(dòng)。

圖6 非約束凹痕沿管道軸向的等效塑性應(yīng)變變化圖

1.4.2 約束凹痕

建立橢球形壓頭按壓管道形成約束凹痕的有限元模型，有限元模型幾何尺寸不變。圖7、8分別顯示了不同凹痕深度下凹痕區(qū)域管道內(nèi)外壁沿管道環(huán)向和軸向的等效塑性應(yīng)變分布情況。

從圖7-a可知，等效塑性應(yīng)變隨著距凹痕中心沿管道環(huán)向距離的增加而呈非線性變化，最大等效塑性應(yīng)變點(diǎn)始終位于凹痕中心。從7-b可知，凹痕區(qū)域管道外壁的等效塑性應(yīng)變隨著距凹痕中心的管道環(huán)向距離的增加而不斷減小直至0，最大等效塑性應(yīng)變位置同樣位于凹痕中心，但管道外壁的應(yīng)變遠(yuǎn)小于管道內(nèi)壁的應(yīng)變。這可能是因?yàn)楣艿朗┘觾?nèi)壓后，由于受到壓頭的限制，管道外表面處于受壓狀態(tài)而管道內(nèi)表面處于受拉狀態(tài)，因此導(dǎo)致管道內(nèi)壁的塑性應(yīng)變急劇增加。

圖7 約束凹痕沿管道環(huán)向的等效塑性應(yīng)變變化圖

從圖8-a可知，凹痕區(qū)域管道內(nèi)壁的等效塑性應(yīng)變值隨軸向距離的增加而不斷變化，但與管道環(huán)向相比，管道軸向的塑性變形區(qū)域更小，在很短的一段距離內(nèi)等效塑性應(yīng)變急劇減小。從圖8-b可知，凹痕區(qū)域管道外壁的等效塑性應(yīng)變值的變化規(guī)律與內(nèi)壁相似，但由于外表面直接受到壓頭的限制作用，在內(nèi)壓作用下更容易受到壓頭的影響而產(chǎn)生塑性變形。此外，對比同等條件下的非約束凹痕，含約束凹痕的管道產(chǎn)生了更大的應(yīng)變。

圖8 約束凹痕沿管道軸向的等效塑性應(yīng)變變化圖

2 解析模型

解析模型參照了Chike等[29-32]提出的基于應(yīng)變張量進(jìn)行應(yīng)變求解的方法，在此基礎(chǔ)上建立了考慮剪切應(yīng)變的管道凹痕區(qū)域應(yīng)變計(jì)算模型。

2.1 凹痕輪廓插值

凹痕區(qū)域應(yīng)變可以通過對在線檢測工具的數(shù)據(jù)點(diǎn)插值形成變形輪廓來估計(jì)。選擇3次B-樣條來插值形成凹痕區(qū)域連續(xù)且可微分的三維拓?fù)淝?。樣條曲線遵循由凹痕坐標(biāo)定義的控制多邊形的形狀，并且不圍繞任何直線振蕩。相鄰樣條函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在它們相遇的節(jié)點(diǎn)處相等，二階導(dǎo)數(shù)也設(shè)為零。在這些條件下，由該方程可以得到插值常數(shù)，以分段的方式應(yīng)用在管道的凹痕變形區(qū)域，因此可獲得凹痕區(qū)域連續(xù)且可微分的輪廓表面。

以橢球形壓頭形成的6%D（60.96 mm）約束凹痕為例，通過直接從數(shù)值模型的節(jié)點(diǎn)提取矢量位置來獲得插值點(diǎn)，并將有限元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到圓柱坐標(biāo)系（R，θ，Z）中。用于內(nèi)插凹痕表面的數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)于在圓周方向上具有64個(gè)傳感器的在線檢測工具的分辨率，并且沿著管道的縱軸以每15 mm的間隔獲得數(shù)據(jù)。從凹痕頂點(diǎn)所在的橫截面作為鏡像中心，分析了沿管道長度300 mm的變形。使用計(jì)算工具M(jìn)ATHEMATICA完成對數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值，示例凹痕內(nèi)表面的三維插值曲面如圖9所示。

圖9 6%D約束凹痕插值內(nèi)表面圖

2.2 幾何變形分析

2.2.1 基本假設(shè)

用于插值凹痕輪廓的樣條函數(shù)定義了管道內(nèi)表面的幾何變形，因此可以通過分析管道中表面的變形獲得管道在軸向、環(huán)向和徑向的位移。所做的基本假設(shè)為：①假設(shè)凹痕頂點(diǎn)處經(jīng)歷的變形是純徑向的；②假設(shè)變形過程中管壁厚度沒有減少；③假設(shè)管道在環(huán)向上不可延伸。

2.2.2 位移分解

定義凹痕頂點(diǎn)所在的角位置在0 rad處，整個(gè)圓周方向的角位置范圍為[－π, π]。圖10顯示了變形管的中面橫截面的示意圖，變形管道中間表面半徑為Rm，R0代表截面未變形的初始中面半徑，即為管徑（D）與壁厚（t）之差的一半。若一個(gè)點(diǎn)從未變形輪廓中的m移動(dòng)到變形輪廓中的m'，管道變形后質(zhì)點(diǎn)的角度變化為φ，則質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的位移與角變形（φ）和中表面的環(huán)向位移有關(guān)。

圖10 變形和未變形狀態(tài)下管道中表面的剖面圖

通過在線檢測得到的數(shù)據(jù)是變形管道內(nèi)壁半徑（Ri）和每個(gè)檢測點(diǎn)的相應(yīng)角度位置（θ）。管壁中間表面的半徑（Rm）可以被評估為管道內(nèi)壁半徑和管道厚度方向分量的總和。使用下式評估該半徑：

管道中表面徑向位移（urm）為：

管道中表面的環(huán)向位移（uθm）為：

管道的整體環(huán)向變形與管壁的橢圓化和由管壁在環(huán)向軸線上的傾斜引起的管壁局部變形有關(guān)。作為變形的結(jié)果，變形后的矢量位置與原始位置之間的環(huán)向角度形成三角關(guān)系，圖11顯示了管道在環(huán)向（R，θ）平面的變形，其中er和eθ表示為管道在徑向和環(huán)向方向上的單位矢量，θθ表示變形管道的中間表面在環(huán)向方向上形成的偏移角度。

圖11 管道在環(huán)向（R, θ）平面的變形圖

管道內(nèi)表面的位移是管壁厚度的函數(shù)，管內(nèi)壁環(huán)向位移（uθ）為：

管內(nèi)壁徑向位移（ur）為：

其中θθ的計(jì)算方法如下：

變形管道的中間表面在軸向方向上形成偏移角度（θz），在管道的中間表面處，軸向位移（uzm）為0。內(nèi)表面軸向位移（uz）由下式計(jì)算：

其中管壁軸向變形角度（θz）為：

2.3 應(yīng)變測量

變形輪廓坐標(biāo)以徑向位置（R）、角位置（θ）和軸向位置（Z）表示。管道變形在柱坐標(biāo)系中管道的全局位移場（u）的定義為：

式中ez表示管道軸向方向上的單位矢量。

式中r表示管道的可變半徑，mm，它是管道的假設(shè)中間表面半徑（R0）與管壁厚度之和。

根據(jù)拉格朗日應(yīng)變張量的定義，可得到格林—拉格朗日應(yīng)變張量（E）為：

上述應(yīng)變公式包含非線性項(xiàng)，因而可以解釋與變形相關(guān)的大變形和旋轉(zhuǎn)。當(dāng)進(jìn)行線性應(yīng)變或小應(yīng)變測量時(shí)，假設(shè)變形體材料顆粒的位移無窮小，因此在變形過程中，物體的幾何形狀不會(huì)發(fā)生變化。小應(yīng)變張量（e）的定義表示為：

假設(shè)所研究的應(yīng)變方向均在主軸上，則應(yīng)變矩陣中的對角線應(yīng)變分量εrr、εθθ和εzz分別代表徑向、環(huán)向和軸向應(yīng)變分量；非對角線應(yīng)變分量εrθ、εθz和εrz分別代表剪切應(yīng)變分量。

在軸向方向，當(dāng)管道發(fā)生凹痕變形時(shí)，以管壁膜的延伸為特征在軸向上發(fā)生較大變形，因此采用非線性拉格朗日應(yīng)變測量，能夠獲得由于管道的膜延伸引起的應(yīng)變。軸向應(yīng)變的數(shù)學(xué)表示為：

在環(huán)向上，由于假設(shè)管道在環(huán)向上不可延伸，即管道變形后環(huán)向的總長度仍然保持不變，因而在該軸上管道發(fā)生了小的旋轉(zhuǎn)和小變形，應(yīng)使用線性小應(yīng)變公式來評估環(huán)向應(yīng)變，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由于凹痕區(qū)域發(fā)生較大的塑性變形，可以忽略彈性的體積變化，認(rèn)為材料在塑性狀態(tài)時(shí)的體積不可壓縮，這意味著有效應(yīng)變矩陣的跡的和是0，則徑向應(yīng)變公式為：

將3個(gè)方向的應(yīng)變分量和剪切應(yīng)變進(jìn)行分析組合，能夠得到管道凹痕段的等效總應(yīng)變?yōu)椋?/p>

若不考慮剪切應(yīng)變，用徑向、環(huán)向、軸向的應(yīng)變作為主應(yīng)變表示時(shí)，

3 結(jié)果分析

3.1 非約束凹痕

3.1.1 變形對比分析

以初始加載深度為6%D（60.96 mm）的非約束凹痕為例，通過解析模型求解整個(gè)凹痕管道區(qū)域的方向位移表達(dá)式，這些表達(dá)式的解由分析模型得到的等值線表示（圖12～14），得到的管內(nèi)壁徑向位移、環(huán)向位移、軸向位移分布如圖12-a、13-a、14-a所示。數(shù)值模擬得到的凹痕管道的徑向位移、環(huán)向位移、軸向位移分布如圖12-b、13-b、14-b所示。

從圖12-a可以看出，解析模型預(yù)測的變形區(qū)域中心的徑向位移最大，最大徑向位移為25.00 mm，負(fù)號(hào)代表發(fā)生向內(nèi)的變形。徑向位移由初始加載深度6%D（60.96 mm）減小到25.00 mm，這是因?yàn)閴侯^移除后，凹痕區(qū)域發(fā)生回彈現(xiàn)象，導(dǎo)致凹痕深度減小。隨著距凹痕中心沿管道軸向、環(huán)向距離的增加，徑向位移不斷減小直至為0，與圖12-b中有限元預(yù)測的頂點(diǎn)最大徑向位移為25.85 mm的結(jié)果一致。

圖12 解析模型和有限元模型預(yù)測的徑向位移圖

從圖13-a可以看出，沿管道環(huán)向方向，凹痕區(qū)域肩部出現(xiàn)了明顯的橢圓化現(xiàn)象。沿管道環(huán)向方向，凹痕頂點(diǎn)另一側(cè)會(huì)出現(xiàn)對稱的環(huán)向位移分布，負(fù)號(hào)表明為管壁發(fā)生反向的延伸。從圖13-b可以看出，有限元計(jì)算得到的最大環(huán)向位移出現(xiàn)在凹痕區(qū)域的側(cè)部，且最大環(huán)向位移量為25.65 mm，遠(yuǎn)大于解析模型。這可能是由于解析模型中采用了管道環(huán)向不可延長的假設(shè)，才導(dǎo)致管道的環(huán)向位移被低估。但是在凹痕評估中，影響凹痕缺陷嚴(yán)重程度的主要因素為徑向位移，環(huán)向位移對凹痕缺陷評估影響不大，所以本模型可以很好地對凹痕缺陷進(jìn)行評估。

圖13 解析模型和有限元模型預(yù)測的環(huán)向位移圖

從圖14-a可以看出，解析模型得到的管道最大軸向位移出現(xiàn)在凹痕區(qū)域的側(cè)部，最大軸向位移為1.00 mm。變形區(qū)域的軸向位移沿凹痕頂點(diǎn)對稱分布，正負(fù)號(hào)代表管壁沿軸向延伸的方向。從圖14-b可以看出，數(shù)值模擬預(yù)測的最大軸向位移同樣位于凹痕區(qū)域的管道內(nèi)壁，且最大軸向位移量為1.50 mm，有限元模型與解析模型的預(yù)測基本一致。

圖14 解析模型和有限元模型預(yù)測的軸向位移圖

3.1.2 應(yīng)變對比分析

通過解析模型求解管道凹痕區(qū)域的應(yīng)變張量，各分量的值在分析模型得到的等值線圖上表示（圖15～17）。解析模型預(yù)測得到的管道內(nèi)表面的徑向應(yīng)變分量、環(huán)向應(yīng)變分量、軸向應(yīng)變分量分別如圖15-a、16-a、17-a所示，有限元模擬得到的管道內(nèi)壁徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變、軸向應(yīng)變分別如圖15-b、16-b、17-b所示。

圖15 解析模型和有限元模型中管內(nèi)壁的徑向應(yīng)變圖

從圖15-a可以看出，解析模型求得的管道內(nèi)表面最大徑向應(yīng)變位于凹痕中心，值為0.100，負(fù)值代表壓縮應(yīng)變。隨著距凹痕中心沿管道軸向、環(huán)向距離的增加，徑向應(yīng)變不斷減小直至為0。從圖15-b可以看出，有限元模擬得到的管道內(nèi)表面最大徑向應(yīng)變同樣位于凹痕中心，值為0.071，與解析模型預(yù)測結(jié)果存在較小差異。

從圖16-a可知，解析模型預(yù)測的管內(nèi)壁最大環(huán)向應(yīng)變的位置位于凹痕中心，值為0.010。圖16-b中觀察到有限元分析得到的管道內(nèi)壁最大環(huán)向應(yīng)變點(diǎn)偏于凹痕頂點(diǎn)，位于凹痕頂點(diǎn)所在管道橫截面上凹痕區(qū)域的側(cè)部，管道內(nèi)壁最大環(huán)向應(yīng)變?yōu)?.069，大于解析模型對內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)變的預(yù)測。這可能是由于上述提到的解析模型中對圓管環(huán)向不可延長的假設(shè)使得管壁環(huán)向變形被低估，因此導(dǎo)致了解析模型預(yù)測了較小的環(huán)向變形而使得估計(jì)的環(huán)向應(yīng)變值偏小。

圖16 解析模型和有限元模型中管內(nèi)壁的環(huán)向應(yīng)變圖

從圖17-a觀察到管內(nèi)壁的凹痕頂點(diǎn)位置的軸向應(yīng)變最大，值為0.090，沿管道環(huán)向和軸向隨著距離凹痕中心距離的增大，管道內(nèi)表面各點(diǎn)的軸向應(yīng)變呈不斷減小的趨勢。數(shù)值模擬得到的管道內(nèi)壁最大軸向應(yīng)變?yōu)?.067，同樣位于凹痕中心，但值略小于解析模型預(yù)測的軸向應(yīng)變。

圖17 解析模型和有限元模型中管內(nèi)壁的軸向應(yīng)變圖

考慮不同等效塑性應(yīng)變組合公式，由解析模型得到的等效塑性應(yīng)變分布如圖18所示。圖18-a為不考慮剪切應(yīng)變的等效塑性應(yīng)變分布，圖18-b為考慮剪切應(yīng)變的等效塑性應(yīng)變分布。

圖18 等效塑性應(yīng)變分布圖

由有限元模型得到的等效塑性應(yīng)變分布如圖19所示。

圖19 有限元分析得到的管內(nèi)壁等效塑性應(yīng)變分布圖

從圖18-a可知，不考慮剪切應(yīng)變時(shí)，解析模型預(yù)測的凹痕管道的等效塑性應(yīng)變的最大值為0.100，位于凹痕中心。從圖18-b可知，考慮剪切應(yīng)變時(shí)的凹痕管道等效塑性應(yīng)變最大值也為0.100，同樣位于凹痕中心，但應(yīng)變分布范圍有所不同。對比圖18-a、b，剪切應(yīng)變對等效塑性應(yīng)變的峰值影響較小，因此剪切應(yīng)變在一般的等效塑性應(yīng)變求解中可以忽略，但剪切應(yīng)變會(huì)影響凹痕區(qū)域的應(yīng)變分布。

從圖19可知，有限元分析得到的管道內(nèi)壁最大等效塑性應(yīng)變?yōu)?.108，位于凹痕區(qū)域中心，有限元結(jié)果與解析模型預(yù)測結(jié)果基本一致。因此可以認(rèn)為，對于非約束凹痕的總體應(yīng)變評估，解析模型能很好地預(yù)測凹痕管道的最大應(yīng)變值和峰值位置。

3.2 約束凹痕

將上述步驟應(yīng)用于本研究中的約束凹痕，得到了相似的變形和應(yīng)變結(jié)果。由解析模型得到的深度為6%D（60.9 mm）的凹痕管道內(nèi)表面等效塑性應(yīng)變分布如圖20所示，由有限元模型得到的等效塑性應(yīng)變分布如圖21所示。

圖20 等效塑性應(yīng)變分布圖

圖21 有限元分析得到的管內(nèi)壁等效塑性應(yīng)變分布圖

對比圖20-a、20-b可知，解析模型預(yù)測的凹痕管道內(nèi)壁的等效塑性應(yīng)變的最大值均為0.160，位于凹痕中心，但應(yīng)變分布范圍有所不同。圖21中有限元分析得到的管道內(nèi)壁最大等效塑性應(yīng)變?yōu)?.152，有限元結(jié)果與解析模型預(yù)測結(jié)果基本一致。因此可以認(rèn)為，對于約束凹痕的總體應(yīng)變評估，解析模型依然能很好地預(yù)測凹痕管道的最大應(yīng)變值和峰值位置，且與文獻(xiàn)[21]所得到的結(jié)論一致。

4 結(jié)論

1）建立了含約束型和非約束型凹痕缺陷的有壓管道非線性有限元模型，分析了管道內(nèi)外壁等效塑性應(yīng)變沿管道軸向、環(huán)向的分布規(guī)律，結(jié)果表明對于內(nèi)壓作用下初始加載深度為6%D（60.96 mm）的凹痕缺陷，整個(gè)凹痕管道的塑性化程度最大點(diǎn)位于凹痕最深處的管道內(nèi)壁，與文獻(xiàn)所得到的結(jié)論一致，且約束凹痕的應(yīng)變大于同等條件下的非約束凹痕。

2）通過對凹痕變形區(qū)域進(jìn)行三維插值生成定義凹痕表面的位移函數(shù)，提出了以應(yīng)變張量形式分析凹痕區(qū)域應(yīng)變的解析模型，并利用該解析模型預(yù)測的應(yīng)變分布與非線性有限元法預(yù)測的應(yīng)變分布進(jìn)行了對比，結(jié)果表明，解析模型可用來求解管道凹痕區(qū)域的應(yīng)變，且能很好地預(yù)測凹痕管道的最大應(yīng)變值和峰值位置。

3）通過考慮和不考慮剪切應(yīng)變的等效塑性應(yīng)變求解，發(fā)現(xiàn)剪切應(yīng)變對凹痕區(qū)域等效塑性應(yīng)變的峰值影響較小，因此在一般的等效塑性應(yīng)變求解中剪切應(yīng)變可以忽略，但剪切應(yīng)變會(huì)對凹痕區(qū)域范圍的應(yīng)變分布產(chǎn)生影響。所提出的解析模型可以高效便捷地獲得凹痕區(qū)域?qū)嶋H應(yīng)變分布，為精確評價(jià)管道凹痕缺陷提供了科學(xué)依據(jù)，可用于改進(jìn)現(xiàn)有的基于應(yīng)變的凹痕評價(jià)體系。