如何深入淺出講解變差函數(shù)的內(nèi)涵

喻思羽

（長(zhǎng)江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 湖北 武漢 430100）

地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)提出于20 世紀(jì)50～60 年代，起初用于南非金礦儲(chǔ)層預(yù)測(cè)。地質(zhì)統(tǒng)計(jì)方法論是一種建立在空間自相關(guān)性分析基礎(chǔ)上的空間插值方法體系。使用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法可以得到最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量的插值模型，與傳統(tǒng)的各類樣條函數(shù)插值法和反距離加權(quán)插值法相比，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模型不僅能有效表達(dá)空間變量的分布特點(diǎn)，而且可以量化評(píng)估結(jié)果誤差及不確定性，因此地質(zhì)統(tǒng)計(jì)方法廣泛應(yīng)用于地質(zhì)、石油、固體礦產(chǎn)等地下資源勘查領(lǐng)域，而且在環(huán)境保護(hù)、衛(wèi)星遙感、地下水資源、農(nóng)業(yè)、現(xiàn)代商業(yè)等其他領(lǐng)域也取得了豐碩成果。

為了讓學(xué)生更容易理解變差函數(shù)概念，本文深入淺出地從傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)過渡到變差函數(shù)，著重講解其物理意義及其特點(diǎn)，以多個(gè)實(shí)例演示不同空間結(jié)構(gòu)模型的變差函數(shù)形態(tài)，讓學(xué)生掌握變差函數(shù)的本質(zhì)。本文首先從傳統(tǒng)變量與區(qū)域化變量的異同點(diǎn)入手，由傳統(tǒng)的雙變量相關(guān)性引入到空間單變量的自相關(guān)性，然后再由空間自相關(guān)性過渡到變差函數(shù)的概念及其物理意義，最后講解理論變差函數(shù)模型的參數(shù)意義和不同空間結(jié)構(gòu)的變差函數(shù)曲線特征，為學(xué)生使用變差函數(shù)分析地質(zhì)特征打下基礎(chǔ)。

1 區(qū)域化變量及其空間自相關(guān)性

地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究對(duì)象稱為區(qū)域化變量，這種變量與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)變量的不同之處在于，區(qū)域化變量是一種分布在空間區(qū)域中的變量，并且具有一定結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性。區(qū)域化變量在現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常遇見，例如氣溫、降雨量、儲(chǔ)層地質(zhì)體的物性參數(shù)等?？臻g數(shù)據(jù)采樣具有局限性——某個(gè)位置只能采樣一次，無(wú)法通過對(duì)某個(gè)位置進(jìn)行大量采樣獲取該點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)量（均值、方差等）。地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)重點(diǎn)集中于區(qū)域化變量的空間自相關(guān)性。以例子簡(jiǎn)單闡述傳統(tǒng)變量的相關(guān)性以及與區(qū)域化變量的自相關(guān)性的區(qū)別。假如有一個(gè)小賣部，我們記錄N 天的雪糕銷量與當(dāng)天氣溫的數(shù)值，得到了如圖1（p59）的一組數(shù)據(jù)，并建立銷量與氣溫兩個(gè)變量的映射關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化（圖2，p59），其中圖2[a]是對(duì)銷量與氣溫的歸一化曲線圖，每天統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)變量大致具有規(guī)律：當(dāng)一個(gè)變量增加時(shí)，另外一個(gè)變量也增加，反之亦然，反映了兩個(gè)變量具有一定的相關(guān)性。為了定量計(jì)算兩個(gè)變量的相關(guān)性，建立如圖2[b]的變量映射散點(diǎn)圖，該圖中每個(gè)點(diǎn)的X 軸代表氣溫變量（歸一化數(shù)據(jù)），Y 軸代表銷量變量（歸一化數(shù)據(jù)），將每個(gè)點(diǎn)投影到45 度對(duì)角線上，可以統(tǒng)計(jì)得到當(dāng)前日期的兩個(gè)變量相關(guān)性值，很明顯當(dāng)點(diǎn)偏離對(duì)角線距離越遠(yuǎn)，說明該點(diǎn)將拉低兩個(gè)變量的相關(guān)性，反之將提高相關(guān)性。

圖1 某小賣部的雪糕銷量（元）與當(dāng)天的氣溫（攝氏度）

圖2 氣溫（度）與雪糕銷量（元）的相關(guān)程度

協(xié)方差是衡量?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)性常用指標(biāo)，協(xié)方差計(jì)算公式如下：

基于協(xié)方差對(duì)“氣溫與銷量”的關(guān)系分析可知兩個(gè)變量在變化過程中是同方向變化，還是反方向變化，以及同向或反向變化的程度。例如氣溫與銷量的關(guān)系，氣溫升高，銷量也隨之增加，說明這兩個(gè)變量是同向變化的，則協(xié)方差為正，否則兩個(gè)變量的協(xié)方差為負(fù)。

以上是傳統(tǒng)變量的相關(guān)性分析方法，在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常研究的對(duì)象稱之為區(qū)域化變量，屬于隨機(jī)場(chǎng)的范疇。為了便于描述，下面以一維隨機(jī)過程為例講解如何計(jì)算區(qū)域化變量的相關(guān)性，進(jìn)而引出變差函數(shù)的概念。如圖3 所示是一個(gè)一維隨機(jī)過程，隨機(jī)變量Z隨著時(shí)間t 隨機(jī)波動(dòng)。為了計(jì)算時(shí)間間隔為△t 的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的變量Z(t)與Z(t+△t)之間的相關(guān)性，需要從隨機(jī)過程f 中提取若干個(gè)間隔△t 的點(diǎn)對(duì)。如圖3 所示，t1 和t1+△t 屬于一個(gè)點(diǎn)對(duì)，t2和t2+△t 屬于一個(gè)點(diǎn)對(duì)。注意這里計(jì)算內(nèi)容稱為單個(gè)變量的自相關(guān)性，即變量Z隨著時(shí)間t 變化的自相關(guān)性，而不是兩個(gè)變量的相關(guān)性，此時(shí)如果把橫軸的時(shí)間改為空間位置或者距離，計(jì)算結(jié)果就變換為空間自相關(guān)性了。如圖4所示，得到間距△t 的點(diǎn)對(duì)映射。此時(shí)將變量Z(t)與Z(t+△t)作為兩個(gè)不同的變量，基于傳統(tǒng)變量的協(xié)方差計(jì)算公式即統(tǒng)計(jì)間距△t 的點(diǎn)對(duì)相關(guān)性值，即變量t 的自相關(guān)性。

圖3 隨機(jī)過程中間距為△x

圖4 某小賣部的雪糕銷量與當(dāng)天的氣溫

2 變差函數(shù)概念及其物理意義

傳統(tǒng)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是以空間兩點(diǎn)相關(guān)性，以變差函數(shù)為工具完成空間相關(guān)性分析，進(jìn)而進(jìn)行未采樣區(qū)域的預(yù)測(cè)。1965 年法國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Matheron 提出基于距估計(jì)的變差函數(shù)，定義為在相距h（稱為滯后距，屬于矢量）的區(qū)域化變量Z(x)與Z(x+h)增量的方差之半，計(jì)算公式定義為

其中x 是采樣點(diǎn)的位置，變差函數(shù)反映了區(qū)域化變量的空間結(jié)構(gòu)性，用于評(píng)價(jià)區(qū)域化變量在某個(gè)方向某個(gè)距離的變化程度。實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)是指應(yīng)用觀測(cè)值計(jì)算的變差函數(shù)，計(jì)算公式如下

其中是空間兩點(diǎn)的位置矢量，N()為點(diǎn)對(duì)的總數(shù)，和代表兩個(gè)點(diǎn)，是區(qū)域化變量。

為了在教學(xué)中使學(xué)生易于理解變差函數(shù)，以下面實(shí)例深入淺出地解釋變差函數(shù)的物理意義。如圖5 所示，在研究區(qū)域內(nèi)有多個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)（實(shí)心點(diǎn)表示采樣點(diǎn)，空白位置表示未采樣點(diǎn)）。點(diǎn)與點(diǎn)之間為規(guī)則網(wǎng)格分布，兩個(gè)點(diǎn)之間的水平或垂直間距為100 米。

圖5 某區(qū)域內(nèi)的區(qū)域化變量分布

現(xiàn)計(jì)算滯后距等于1（東西方向、間距100 米）的空間兩點(diǎn)相關(guān)性。如圖6[a]所示，首先從圖5 中提取滯后距為1 的點(diǎn)對(duì)，將所有的點(diǎn)對(duì)按照起點(diǎn)值作為橫軸、終止點(diǎn)值作為縱軸投在圖6[b]的散點(diǎn)圖上。根據(jù)公式2 計(jì)算圖6[b]中全部點(diǎn)到45 度對(duì)角線的距離，統(tǒng)計(jì)得到滯后距等于h1的變量Z 增量的方差，即算出該滯后距的變差函數(shù)值。地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論強(qiáng)調(diào)距離相近的觀測(cè)值比距離較遠(yuǎn)的觀測(cè)值更加相似，即方差較?。∕atheron,1963），反之隨著距離增加，區(qū)域化變量的空間自相關(guān)性逐漸減小。通過計(jì)算不同滯后距的變差函數(shù)值，建立變差函數(shù)值與滯后距h 的函數(shù)關(guān)系（圖7），就能算出評(píng)價(jià)空間相關(guān)性的一組特征定量化參數(shù)，常用參數(shù)包括變差函數(shù)的塊金值、變程和基臺(tái)值。由圖7 可以發(fā)現(xiàn)，隨著滯后距的增加，區(qū)域化變量Z 的增量方差首先快速增加，然后逐漸收斂，表明變差函數(shù)值不會(huì)無(wú)限增加。

圖6 間距h=100 的點(diǎn)對(duì)樣本映射關(guān)系

圖7 實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)

3 基于變差函數(shù)分析地質(zhì)特征

變差函數(shù)曲線能準(zhǔn)確表征出區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)性變化規(guī)律，例如地質(zhì)結(jié)構(gòu)漸變、突變、周期性以及變化幅度都能敏感地投射到變差函數(shù)的曲線波動(dòng)特征上。以兩組實(shí)例展示模型結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)特征。圖8（p61）中有3個(gè)模型，模型中有兩種相類型，用編碼0 和1 代表，圖8[a1]中以背景相編碼為0，目標(biāo)相編碼為1 的垂直高度為10 個(gè)網(wǎng)格單元，圖8[b1]中以背景相編碼為0，目標(biāo)相編碼為1的垂直高度為30 個(gè)網(wǎng)格單元，圖8[c1]中以背景相編碼為1，目標(biāo)相編碼為0 的垂直高度為30 個(gè)網(wǎng)格單元。圖8[a2]、圖8[b2]和圖8[c2]分別是圖8[a1]、圖8[b1]和圖8[c1]的垂直方向的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，滯后距取值范圍為0～80，同時(shí)進(jìn)行理論變差函數(shù)擬合。觀察模型與對(duì)應(yīng)變差函數(shù)曲線特征可以發(fā)現(xiàn)，圖8[a1]的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)在滯后距約為10 網(wǎng)格單元的位置達(dá)到第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這與目標(biāo)相的垂向高度吻合。分析原因?yàn)椋河蓪?shí)驗(yàn)變差函數(shù)公式（公式3）可知，該模型的變差函數(shù)值大小取決于垂直方向上相距h 的點(diǎn)對(duì)差是否等于1，如果點(diǎn)對(duì)的差等于1，則能增加變差函數(shù)公式的分子項(xiàng)，如果點(diǎn)對(duì)的差為0，不會(huì)增加變差函數(shù)分子項(xiàng)。隨著h 的增加，如果分子項(xiàng)沒有增加，則將降低變差函數(shù)最終結(jié)果。因此實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)曲線的幾個(gè)拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)著實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)分子項(xiàng)出現(xiàn)變化的位置。因此圖8[a2]中h 達(dá)到40 時(shí)縱軸值開始下滑，反映了h 大約40 之后，點(diǎn)對(duì)的差值等于1 的比例開始快速減少。在圖8[b2]中，曲線的第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的h 值為30，與圖8[b1]的編碼為1 的相高度一致。值得注意的是，變差函數(shù)的大小只與某個(gè)滯后距的點(diǎn)對(duì)數(shù)量（實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)的分母項(xiàng)）和點(diǎn)對(duì)差的絕對(duì)值（實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)的分子項(xiàng)）有關(guān)。因此如果點(diǎn)對(duì)數(shù)量相同，點(diǎn)對(duì)差絕對(duì)值之和越大，則變差函數(shù)越大，互換背景相和目標(biāo)相的編碼對(duì)變差函數(shù)值沒有本質(zhì)影響，例如圖8[b1]和圖8[c1]中的兩個(gè)模型，它們的相編碼進(jìn)行互換，對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)曲線特征（圖8[b2]與圖8[c2]）完全一樣。

圖8 三個(gè)模型與實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，其中a2 是a1 的垂直方向變差函數(shù)，b2 是b1 的垂直方向變差函數(shù)，c2 是c1 的垂直方面變差函數(shù)

4 結(jié)論

本文針對(duì)石油地礦類高校中地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)鍵概念——變差函數(shù)講授過程較為枯燥和公式化的問題，將變差函數(shù)的基本思想和物理意義作為重點(diǎn)，通過多個(gè)實(shí)例逐步將變差函數(shù)內(nèi)涵展現(xiàn)給學(xué)生。此外還闡述了變差函數(shù)在地質(zhì)研究中的作用特點(diǎn)。本文重點(diǎn)輔助地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的入門學(xué)習(xí)，對(duì)變差函數(shù)的各種高級(jí)復(fù)雜特點(diǎn)不做探討。