一類帶收獲和毒素項種群競爭模型的擴散性質(zhì)

武海輝

(1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 安康 725000; 2.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,陜西 安康 725000)

由于種群擴散可防止長期近親繁殖而產(chǎn)生的不良后代,使種群能適應(yīng)不宜的氣候環(huán)境條件,可以擴大種群分布,尋找合適的生活環(huán)境,避免局部惡劣條件造成的全軍覆滅,有益于保持種群結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定,減少種群壓力和進攻行為等,而種群擴散模型能夠更深刻、更精準地反映種群數(shù)量的變化規(guī)律。因此,具有擴散影響的種群生存狀態(tài)被人們廣泛關(guān)注,大量文獻研究了這類模型[1-9]。

文獻[10]中將毒素、收獲項以及擴散項引入到一般的種群競爭模型中,研究了如下的種群模型:

(1)

其中:xi表示競爭種群x在斑塊i(i=1,2)中的數(shù)量;y是另一類競爭種群;ε為種群擴散系數(shù);s為自身增長率;ci(i=1,2)為種群的競爭系數(shù),取收獲系數(shù)為c1;c1E為收獲的努力量;c1Ex2為捕獲數(shù)量;pi(i=1,2)為環(huán)境毒素項系數(shù),設(shè)收獲的數(shù)量與收獲努力量成正比,且r1,r2,c1,c2,E,s,p1,p2,ε>0。該模型研究了在不同種群斑塊環(huán)境中,一類帶毒素和收獲項的種群競爭模型的全局穩(wěn)定性,得到一些實用的擴散性質(zhì),使模型更為全面地描述此類生態(tài)系統(tǒng)。文章在文獻[10]的基礎(chǔ)上,研究了系統(tǒng)(1)的局部漸近穩(wěn)定性及局部Hopf分支。考慮到模型的實際生態(tài)意義,僅在R+={(x,y)|x≥0,y≥0}中研究分析。

1 模型的局部擴散性質(zhì)

先給出模型(1)非負平衡點的存在條件。

在滿足引理1的條件時,下面給出定理1。

令

r2-c1r1+c2r2+p1p2+p2r1+p2r2),

f(ε)=Aε2+Bε+C,

Δ1≡B2-4AC。

定理1如果模型(1)滿足

c2>c1,p2+c2+1>c1,

由于

得到它的特征方程為

λ3+I1λ2+I2λ+I3=0,

(1)

因此,根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)[11]得到:

f(ε)=Aε2+Bε2+C,

(2)

從而關(guān)于f(ε)=0的判別式為

Δ1≡B2-4AC。

顯然式(2)的二次項系數(shù)A大于零,故滿足(1)Δ1<0;(2)Δ2>0,ε<ε1;(3)Δ1>0,ε>ε2時,有H2>0,其中ε1和ε2為Δ1>0時f(ε)=0的兩個實根,且ε2>ε1。

考慮到,當c2>c1,p2+c2+1>c1時,I3>0,即H3>0,故定理得證。

下面給出模型在正平衡點附近的局部Hopf分支。

D=-p12-2p1r1-4p1r2-r12-4r1r2-r22,

Δ2=E2-4DF。

將特征方程式(1)對ε求導(dǎo)數(shù),得

其中：

c2r2+p1p2+p2r1+p2r2),

從而

p1p2+p2r1+p2r2)}÷(3λ2+2λI1+I2),

即

p1p2+p2r1+p2r2)}÷2ω(ω-iI1),

進而得到

c1r2+c2r1+c2r2+p1p2+p2r1+

p2r2)}÷2(ω2+I12)。

由條件(1)知當滿足1+p2-c1>0時,I2>0。

由條件(2),并將I1,I2代入后需滿足[14]

(-p12-2p1r1-4p1r2-r12-4r1r2-r22)x2+

2 數(shù)值仿真

例1考慮以下競爭系統(tǒng):

利用Matlab軟件給出模型的數(shù)值仿真圖形[15]，如圖1所示。

由圖1可以看出,該模型的正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的,從而進一步驗證了定理的準確性。

圖1 系統(tǒng)的模擬圖

3 結(jié)論

研究在一般競爭模型中引入了收獲項和毒素項,使得模型分析的難度明顯加大。文中給出了正穩(wěn)定點存在的條件,得到了該模型在不同斑塊環(huán)境下的一些擴散性質(zhì),并對一些重要結(jié)論進行了數(shù)值仿真,更加全面地描述了這類模型的性態(tài),使擴散在這類模型中得到更為廣泛的應(yīng)用。借助定理1和定理2可以得到實用的策略,使種群數(shù)量保持相對穩(wěn)定或產(chǎn)生周期性變化,進而達到生態(tài)平衡。