基于數(shù)值實驗的醫(yī)療排隊模型的優(yōu)化策略

劉 博 凡

(北京郵電大學 理學院，北京100876)

由于人口老齡化的加劇，我國醫(yī)療資源相對稀缺、分布不均衡的問題日益凸顯，也導致了醫(yī)療資源的供需差距逐步提升[1].隨著就醫(yī)人數(shù)增多，大量醫(yī)療窗口的長時間等待現(xiàn)象也逐漸增多.與此同時，我國存在傳統(tǒng)的就醫(yī)習慣，如集中在上午八點開始掛號，集中在工作日就醫(yī).也就導致了許多醫(yī)療系統(tǒng)出現(xiàn)急診患者就診延誤、醫(yī)療窗口空閑與飽和同時存在、患者滿意度下降等問題.因此，醫(yī)療系統(tǒng)的排隊問題也成為一個亟待解決的問題.

數(shù)據(jù)挖掘是從大量數(shù)據(jù)中挖掘有趣模式和知識的過程[2].由于醫(yī)療需求增加但醫(yī)療資源有限，資源的合理配置成為衛(wèi)生管理的重點，數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)可幫助衛(wèi)生管理人員深入洞察數(shù)據(jù)，從而支持決策[3].彭金燕等人[4]基于患者基本特征、所患疾病、看病次數(shù)、付費方式等變量，使用k-means聚類方法將門診患者聚為四類，并針對每一類提出不同管理策略.急診主要針對病情嚴重或情況緊急的患者，確定病人就診及處置的優(yōu)先次序是急診管理的首要問題.Lin等人[5]首先根據(jù)患者基本信息、掛號時間、就診途徑、疾病類型將22 990名患者分為6類，然后基于粗糙集理論提取不同類型患者與急救等級之間的規(guī)則，從而實現(xiàn)病人分流.Talbert等人[6]對比了決策樹、人工神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機在創(chuàng)傷病人分流中的效果，結(jié)果顯示支持向量機算法在準確度和特異性方面的表現(xiàn)更好.

在排隊論領(lǐng)域，對于等待延遲時間的預測是一個熱門課題[7].Houston[8]探究了延遲預測的公布對等待對顧客滿意度的負面影響的研究.根據(jù)Carmon[9]和Larson[10]的研究，如果排隊者看到前面的隊列行進情況和等待時間的估計信息，他們的等待體驗會想著積極的方向發(fā)展.Senderovich等人[11]對一個呼叫中心在多種優(yōu)先度在多種服務窗的情況下進行建模分析，使用了數(shù)據(jù)挖掘的方法，從而估計隊列中某個人的平均等待時間.上述文獻雖然利用了數(shù)據(jù)挖掘，但并未應用在公共衛(wèi)生領(lǐng)域進行分析.Worthington[12]分析了病人從門診醫(yī)生到住院醫(yī)生的轉(zhuǎn)移排隊模型，患者被指定為三個優(yōu)先級別，根據(jù)優(yōu)先級別，建議在較低優(yōu)先級患者之間共享剩余的空閑診室，以使它們各自超出其標準等待時間相同的百分比.L·Green等人[13]提出了醫(yī)療保健中應用的排隊論，本文討論了等待時間、窗口利用率和服務窗數(shù)量之間的關(guān)系；構(gòu)建了基本的排隊模型，以及該理論在確定所需診室數(shù)量.Ameh等人[14]根據(jù)來自尼日利亞三級醫(yī)院的排隊、患者問卷調(diào)查數(shù)據(jù)，對排隊時間與滿意度進行了調(diào)查分析.

以上的研究均未能考慮到患者、診室等服務多樣化.如銀行等一般服務行業(yè)大多實行一站式服務，客戶只需要到一個窗口就可以辦理所有業(yè)務.而醫(yī)院的則不同，患者到醫(yī)院則需要先后到多個部門窗口才能完成整個診療過程.簡單套用銀行業(yè)的排隊叫號而忽略醫(yī)院的特殊性，效果必然有限.加之隨著醫(yī)院提供的服務也越來越多樣化.服務對象不再僅限于病員，許多健康人也會到醫(yī)院接受諸如健康體檢、門診復查、產(chǎn)前檢查、兒童保健、健康咨詢等服務.服務的多樣化帶來醫(yī)院門診人群的增加和流程的復雜，導致排隊隊列變長，排隊者負面情緒增加.現(xiàn)有的醫(yī)院排隊系統(tǒng)，未能考慮到上述變化，采用簡單的先到先服務規(guī)則(First come first serve, FCFS)，沒能有效起到優(yōu)化流程減少排隊時間的作用.本文通過患者多個來源、多種優(yōu)先級等設(shè)定，有創(chuàng)新性地考慮到了這個問題.與此同時，上述的研究未能綜合考慮病員整個就診過程.在大多數(shù)醫(yī)院針對門診收費、診室候診、檢查科室候檢、藥房取藥等窗口部門都建立了排隊系統(tǒng)用于管理本窗口的排隊隊列.但是各個排隊叫號系統(tǒng)都各自獨立運行，未能有效整合.都只站在本科室角度考慮本窗口隊列問題，沒有站在病員角度考慮整個就診過程.大部分研究，都只考慮了其中一部分的分析，并沒有考慮到一個患者經(jīng)過整體就醫(yī)過程中，在一些窗口的等待時間是與其他窗口的關(guān)聯(lián).未能考慮到模型的整體性，也未曾建立一個更符合實際的排隊模型.而本文考慮到了不同線路的插隊模型、多優(yōu)先級就醫(yī)者共用一個服務窗(診室或者檢查室)等不同情況，較為創(chuàng)新地提出了一些新模型.

1 模型概述

1.1 多類患者檢查共用檢查窗口

由于醫(yī)院設(shè)有急診和普通掛號兩種流程，所以往往很多檢查科室也有專用的急診窗口以便于應急.但是由于急診患者的特殊性，醫(yī)院診室(有時是醫(yī)生去急診病房會診)、檢查科室必須為插隊的急診患者提供更高優(yōu)先度的診斷、檢查等救治服務.

本文討論具有一定普遍性的多類顧客服務窗口問題，以便于拓展到之后的兩個醫(yī)療排隊模型.

圖1 多優(yōu)先度排隊模型Figure 1 Multi-priority queuing model

假設(shè)對于任意服務窗，其系統(tǒng)負荷水平小于1，即對于優(yōu)先度為c的診室，有：

對于第n個檢查窗口，有：

下面我們分析兩種不同優(yōu)先級患者的排隊時間估計：

對于其他優(yōu)先級的患者，他在檢查階段的等待時間，不但要取決于排在前面的同優(yōu)先級患者，還要考慮到已在隊里的和插隊進來的比他優(yōu)先級更高的患者.

c=1,2,…,M.

將之代入原式反解出來，有：

下面我們沿用這種算法，對分流問題進行討論.

1.2 繁忙窗口的分流

通過1.1中提到的方法，進行不同優(yōu)先度在同窗口的等待時間估算，在此建立兩個新的模型.

1.2.1 情況1

假設(shè)在就診過程中，有一種服務過程，在流程一中，作為服務窗第二階段進行，在流程二中是唯一服務窗口.設(shè)這個流程對于所有人，服務率為μ2.進入流程一的顧客記為甲類患者，設(shè)他們到達的時間間隔分布滿足指數(shù)分布，到達率為λ1，進入流程二的顧客，設(shè)為乙類患者，設(shè)他們到達的時間間隔分布滿足指數(shù)分布，到達率為λ2，其拓撲結(jié)構(gòu)見圖2.

圖2 分流排隊系統(tǒng)(一)Figure 2 Diverted queuing system (1)

這里我們假設(shè)流程一是急診窗口，流程二為常規(guī)窗口，根據(jù)醫(yī)院統(tǒng)計數(shù)據(jù)，急診患者的到達率是較低的，到達的平均間隔時間較長.而常規(guī)患者到達率較高，到達平均時間間隔較低，到達較為頻繁.因此假定

λ2>λ1.

隨機地抽取一部分排在流程二的患者，前往流程一進行服務，但是他們的服務優(yōu)先度低于流程一第一階段服務結(jié)束的患者，假設(shè)每個人被抽到的概率都為p.假設(shè)流程一第一階段的服務率為μ1，系統(tǒng)負荷水平小于1，即

那么一個排在流程二的乙類患者，預計逗留時間為：

排在流程一第二階段的甲類患者，預計逗留時間為：

那么排在流程一第二階段的乙類患者，預計逗留時間為：

顯然，這里有實際意義的前提是

μ2>μ1.

所以

假設(shè)圖2的虛線不存在，即完全不分流處理.那么流程二的平均逗留時間為

即分流后，流程二顧客在系統(tǒng)中逗留的時間一定不長于分流前的系統(tǒng)逗留時間.

1.2.2 情況2

假設(shè)在就診過程中，有一種服務過程在流程一中，作為服務窗第二階段進行，在流程二中是唯一服務窗口.設(shè)這個流程對于所有人服務率為μ2.進入流程一的顧客記為甲類患者，設(shè)他們到達的時間間隔分布滿足指數(shù)分布，到達率為λ1，進入流程二的顧客，設(shè)為乙類患者，設(shè)他們到達的時間間隔分布滿足指數(shù)分布，到達率為λ2.在流程二，乙類患者比甲類患者有更高的優(yōu)先度.此模型的拓撲結(jié)構(gòu)見圖3.

圖3 分流排隊系統(tǒng)(二)Figure 3 Diverted queuing system (2)

這里延續(xù)上文的假設(shè)：

λ2>λ1.

假設(shè)流程一第一階段的服務率為μ1，系統(tǒng)負荷水平小于1，即

那么，流程一的甲類患者在經(jīng)過第一階段之后，進入第二階段后的平均逗留時間為：

流程二的乙類患者在系統(tǒng)中逗留的時間為：

第二階段的甲類患者在系統(tǒng)中逗留的時間為：

此時假設(shè)圖3的虛線不存在，即完全不分流處理.那么流程一患者在第二階段的平均逗留時間為

即分流后，流程二顧客所等待的時間一定不長于分流前的等待時間.

2 數(shù)值實驗

本文中主要模型為情況1、情況2.所以利用Matlab對其進行建模，可以模擬出這兩種模型.

應用唐山怡想健康管理醫(yī)院在2014年的排隊統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行模擬.急診患者的平均到達時間間隔為40 min左右，普通患者到達的平均時間間隔為20 min左右.而診室的平均服務時間，急診的初步診斷時間，其中80%的患者都經(jīng)歷了10～20 min，而普通的CT檢查室中，80%的患者經(jīng)歷的檢查時間為3～8 min.

數(shù)值實驗的建模是利用最小生成元矩陣的思路，設(shè)置一個時刻變量，在每個單位時間中，生成若干個在區(qū)間(0,1)隨機分布的隨機數(shù).如果隨機數(shù)小于預設(shè)的到達率或者服務率，就相當于到達或者服務發(fā)生，從而進行隊列的增加或減少.

首先對情況1模型進行數(shù)值實驗.

將流程一的乙類患者平均等待時間設(shè)為W1，流程二的乙類患者平均等待時間為W2.

首先對情況1模型進行模擬.

預設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)值：

最終仿真系統(tǒng)重復多次得到的平均結(jié)果：

得到結(jié)果見圖4.

圖4中可以明顯看出，T1在[600,950]之間，兩個流程的平均等待時間相差并不大，而在[950,1 200]之間則會出現(xiàn)大量數(shù)值極大的值，而與T2的變化范圍關(guān)系并不密切.

圖4 函數(shù)的數(shù)值實驗結(jié)果Figure 4 The numerical experimental results of function

同時考慮與理論值的差距.如果完全不分流，所以乙類患者都到流程二，那么流程二的平均逗留時間為

考慮一個變量

即兩流程的平均逗留時間與理論上的平均等待時間的差距，模擬結(jié)果見圖5.

圖5 函數(shù)的數(shù)值實驗結(jié)果Figure 5 The numerical experimental results of function

然后對情況2模型進行模擬.

這里預設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)值不變，

依然使用倒數(shù)進行數(shù)值實驗，T1取值范圍是[600,1 200]s，T2的取值范圍是[180,480]s，有

首先設(shè)定函數(shù)

之后進行數(shù)值模擬，數(shù)值實驗結(jié)果見圖6.

從圖6中可以看出，這個函數(shù)值與T1的變化關(guān)系不大，但是T2在[1 050,1 200]之間時，會出現(xiàn)大量極端值.

圖6 函數(shù)的數(shù)值實驗結(jié)果Figure 6 The numerical experimental results of function

然后考慮另一個函數(shù)

這里Ws的確切值很難通過傳統(tǒng)的排隊論計算出來本文應用數(shù)值模擬的方法，讓所有流程一的患者都不分到流程二.通過數(shù)值實驗，數(shù)值實驗結(jié)果見圖7.

圖7 函數(shù)的數(shù)值實驗結(jié)果Figure 7 The numerical experimental results of function

不難看出，在T1處于[600,900]時，整體差距不大，而T1處于[900,1 200]且T2處于[180,350]時，會有很多極端值，因為兩個服務率差距過大，會導致計算時方差較大，偶爾出現(xiàn)極端值.

3 結(jié) 語

本文討論了兩種在醫(yī)療系統(tǒng)中比較特殊的排隊模型，并且通過排隊論理論，對其顧客的等待時間進行了估計.在第二種情況中，由于存在令顧客分流的調(diào)解情況，提出了通過系統(tǒng)中各個服務窗的到達率和服務率，提出了一種動態(tài)分配到各個流程的策略和算法.受限于計算方法，本文只能通過估計上下界，而很難得到排隊模型的平穩(wěn)分布，因而很難計算精準的等待時間期望，但是通過數(shù)值實驗，也可以將排隊分配策略模擬成功.因此可以嘗試使用一些更復雜的排隊模型分析方法來解決此問題.